求函數(shù)極限方法的探討

本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）：Begfunctionlimitmethodisdiscussed學(xué)號(hào)院（系）：指導(dǎo)教師：目錄目錄 21 緒論 62 一元函數(shù)極限概念與求法 72.1 一元函數(shù)極限的概念 72.2 一元函數(shù)極限的求解方法 72.2.1 利用一元函數(shù)的定義求解 72.2.2 利用極限的四則運(yùn)算求函數(shù)極限 82.2.3 利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)極限 92.2.4 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限 102.2.5 利用無(wú)窮小量性質(zhì)法 112.2.6 利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 112.2.7 利用數(shù)學(xué)公式，定理求函數(shù)極限 122.2.8 利用變量替換求函數(shù)極限 162.2.9 用左右極限與極限關(guān)系 173 二元函數(shù)極限的概念與求法 183.1 二元函數(shù)極限的概念 183.2 二元函數(shù)極限的求法 183.2.1 利用二元函數(shù)的極限的定義求極限 183.2.2 利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解 193.2.3 利用極限的四則運(yùn)算求解 203.2.4 利用有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量求解 203.2.5 利用等價(jià)無(wú)窮小替換求解 213.2.6 利用分子或分母有理化求解 213.2.7 利用夾逼定理求解 213.3 小結(jié) 224 結(jié)語(yǔ) 225 致謝 236 參考文獻(xiàn) 23求函數(shù)極限的方法探討摘要函數(shù)極限概念與函數(shù)極限求法是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)，本文主要對(duì)一元函數(shù)、二元函數(shù)極限定義和它們的求解方法進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并在某些具體的求解方法中就其中要注意的細(xì)節(jié)和技巧做了說(shuō)明，以便于我們了解函數(shù)的各種極限以及對(duì)各類函數(shù)極限進(jìn)行計(jì)算。函數(shù)極限的求法有很多，每種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)某個(gè)具體的求極限問(wèn)題，我們應(yīng)該選擇最簡(jiǎn)單的方法?！娟P(guān)鍵詞】：函數(shù)定義，數(shù)學(xué)定理，公式，函數(shù)極限BegfunctionlimitmethodisdiscussedAbstractFunctionlimitconceptandfunctionlimitofmoderncalculusisintroduced,thispapermainlybasedonacircularfunction,dualfunctionlimitdefinitionandtheirsolvingmethods,andsummarizessomeconcrete,andthesolvingmethodofshouldpayattentiontointhedetailsandskillssothatweunderstandthatvariousextremeandthefunctionofvariousfunctionlimittocalculate.Wehavemanyfunctionlimit,eachmethodhasitsadvantagesanddisadvantages,toaspecificask,weshouldchoosethelimitofthemostsimplemethod【keywords】:afunctiondefinition,mathematicaltheorems,formula,functionlimit緒論極限研究的是函數(shù)的變化趨勢(shì),在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能無(wú)限接近某個(gè)確定的數(shù)，那這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念,是貫穿高等數(shù)學(xué)的一條主線,它將高等數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連在了一起。所以,求極限的方法顯得尤為重要的。我們知道,函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象,而極限方法則是在高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的重要方法,因此怎樣求極限就非常重要。早在我國(guó)古代劉徽的《九章算術(shù)》中提到“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”就涉及了到了極限。古希臘人的“窮竭法”也蘊(yùn)含了極限思想。到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過(guò)各自的定義。在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一函數(shù)是否有極限，人們必須不斷地對(duì)極限存在的充分條件和必要條件進(jìn)行探討。在經(jīng)過(guò)了許多數(shù)學(xué)家的不斷努力之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西獲得了完善的結(jié)果，即柯西收斂原理。到了近代，在數(shù)學(xué)家們的努力下給了極限一個(gè)專業(yè)的定義.有了極限的定義自然就有了許多求極限的方法。求函數(shù)極限的方法有很多，其中有利用定義求函數(shù)極限、利用夾逼定理求函數(shù)極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用極限的四則運(yùn)算、利用變量替換、利用等價(jià)無(wú)窮小代換、利用定積分求合公式、利用導(dǎo)數(shù)定義、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收斂原理、利用羅必達(dá)法則求極限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函數(shù)的極限。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。比如,極限的四則運(yùn)算法則是相同的,但是隨著變量個(gè)數(shù)的增加,二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)極限變得要復(fù)雜得多。因此本文除了對(duì)一元函數(shù)的求解方法進(jìn)行概括總結(jié)外，還對(duì)二元函數(shù)的求極限方法進(jìn)行了一些簡(jiǎn)單的歸納和說(shuō)明，并與求一元函數(shù)的極限方法進(jìn)行了比較，從而使閱讀本文的人更快更好的掌握一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的求解技巧和它們的異同點(diǎn)。一元函數(shù)極限概念與求法一元函數(shù)極限的概念設(shè)f:(a,+∞)→R是一個(gè)一元實(shí)值函數(shù)，a∈R.如果對(duì)于任意給定的ε＞0，存在正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式x＞X的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式.│f(x)-A│<ε,則稱數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限，記作f(x)→A(x→+∞).一元函數(shù)極限的求解方法利用一元函數(shù)的定義求解設(shè)f:(a,+∞)→R是一個(gè)一元實(shí)值函數(shù)，a∈R.如果對(duì)于任意給定的ε＞0，存在正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式x＞X的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式.│f(x)-A│<ε,則稱數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限，記作f(x)→A(x→+∞).證明：證:由 取則當(dāng)時(shí),就有由函數(shù)極限定義有:小結(jié)：利用極限定義求函數(shù)極限的熟悉和掌握求極限方法的基礎(chǔ)，是最直接也是較容易解決的求極限的方法。利用極限的四則運(yùn)算求函數(shù)極限若 (I)(II)(III)若B≠0則：（IV）（c為常數(shù)）上述性質(zhì)對(duì)于我們來(lái)做一個(gè)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的習(xí)題：求的極限解:=小結(jié)：函數(shù)極限的運(yùn)算也一樣符合四則運(yùn)算的規(guī)律，因此對(duì)于一些和差函數(shù)的極限的求解不妨試試用加減乘除來(lái)解決。利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限原理：例題：（1）求的極限（2）求的極限利用函數(shù)極限的存在性定理定理:設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且有:則極限存在,且有例題:求的極限(a>1,n>0)解:當(dāng)x≥1時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使得k≤x≤k+1于是當(dāng)n>0的時(shí)候有:以及又因?yàn)楫?dāng)x時(shí),k有及則：=0小結(jié)：利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)求解函數(shù)極限對(duì)一些特定的函數(shù)極限的求解有著十分重要的作用，熟悉和了解函數(shù)的基本性質(zhì)是解決此類函數(shù)極限方法的重要前提。利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限設(shè)都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有：， 存在，則也存在，且有=例題：求極限解: =注：在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”此外不僅無(wú)窮小量代換能求函數(shù)極限，還能運(yùn)用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，以及無(wú)窮小量的性質(zhì)法來(lái)求解函數(shù)極限。利用無(wú)窮小量性質(zhì)法（特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：（1）(2) (M為正整數(shù))則：例題:求的極限解:由而故原式=利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系（1）若：則(2)若:且f(x)≠0則例題:求下列極限（1）（2）解:（1）由故由故=利用數(shù)學(xué)公式，定理求函數(shù)極限羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若此定理是對(duì)型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為時(shí)不可求導(dǎo)。應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。例題：（1）（2）解：（1）令f(x)=,g(x)=l,由于但從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到（2）由故此例屬于型，由羅比塔法則有：小結(jié)：對(duì)于一些特定類型的函數(shù)求極限（型，型）可以適用羅比塔法則進(jìn)行求解，關(guān)系是要知道此類函數(shù)的類型是屬于型還是型。利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式：1、2、3、4、5、6、上述展開(kāi)式中的符號(hào)都有:例題:求解:利用泰勒公式，當(dāng)有于是===小結(jié)：此類題型考驗(yàn)的是我們對(duì)泰勒展式的熟悉程度，因此解決此類題目要十分熟悉泰勒展式的結(jié)構(gòu)以及用途。利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限原理:若函數(shù)f滿足如下條件：(I)f在閉區(qū)間上連續(xù)(II)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得此式變形可為:例題:求解:令對(duì)它應(yīng)用中值定理得即:連續(xù)從而有:小結(jié)：利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限關(guān)鍵至于拉格朗日中值定理的合理運(yùn)用。利用黎曼引理求函數(shù)極限求（a>0）解：原式=利用夾逼定理求函數(shù)極限若存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),有Xn≤Yn≤Zn,且,則有.例題：求f(n)=的極限.解:對(duì)任意正整數(shù)n,顯然有,而,,由夾逼性定理得即f(n)=的極限是0數(shù)學(xué)公式，定理在求函數(shù)極限的方法中有著大量的運(yùn)用。不僅僅只有上述公式，定理能求解出函數(shù)極限，還有柯西收斂準(zhǔn)則，定積分求和公式等一些數(shù)學(xué)公式定理能將函數(shù)極限求解出來(lái)。利用變量替換求函數(shù)極限此方法適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型特別地有：m、n、k、l為正整數(shù)。例題：求下列函數(shù)極限（1）、n（2）解:（1）令t=則當(dāng)時(shí),于是原式=（2）由于=令：則：===用左右極限與極限關(guān)系(此方法適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。原理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：==A例題：設(shè)=求及由二元函數(shù)極限的概念與求法二元函數(shù)極限的概念設(shè)為定義在上的二元函數(shù),為的一個(gè)聚點(diǎn),是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給正數(shù),總存在某正數(shù),使得當(dāng)時(shí),都有,則稱在上當(dāng)時(shí),以為極限,記作二元函數(shù)極限的求法利用二元函數(shù)的極限的定義求極限f(x,y)根據(jù)點(diǎn)沿任意連續(xù)曲線趨于時(shí)趨于.我們可取某一特殊方向,求出當(dāng)趨于時(shí),的極限,然后再利用定義驗(yàn)證這一極限是即為二重極限.例設(shè)求解取特殊方向,求出沿直線趨于時(shí)的極限現(xiàn)在用定義證明對(duì),當(dāng)或時(shí),則當(dāng),,時(shí),有當(dāng),時(shí),,當(dāng),,時(shí),有=于是,對(duì),,當(dāng),,時(shí),有所以利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解若在點(diǎn)處連續(xù),則例求極限解因?yàn)樵谔庍B續(xù)所以=利用極限的四則運(yùn)算求解設(shè)時(shí)函數(shù)和的極限存在,則；；.例求極限解因?yàn)榍夜释硭岳糜薪绾瘮?shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量求解若當(dāng)時(shí),,而為有界變量,則當(dāng)時(shí),例求極限解因?yàn)楫?dāng)時(shí),與均有界所以利用等價(jià)無(wú)窮小替換求解設(shè)與,與均是等價(jià)無(wú)窮小量,且,,則當(dāng)時(shí),必有例求極限解因?yàn)橛炙岳梅肿踊蚍帜赣欣砘蠼馊舴肿踊蚍帜傅臉O限為,不能運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則時(shí),采用通過(guò)分子或分母有理化,消去分母中趨于零的因子,再運(yùn)用極限運(yùn)算法則.例求極限解利用夾逼定理求解若在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi),成立不等式,且,則例求極限解因?yàn)橛炙孕〗Y(jié)對(duì)于求二元函數(shù)極限，其中很多地方都能使用到求解一元函數(shù)極限的方法：定義求解法、無(wú)窮小替代法，夾逼法等都能從中看到求一元函數(shù)極限的方法的蹤跡，要解得一個(gè)二元函數(shù)的極限就必須得熟練的掌握好一元函數(shù)極限極限的求解方法，將其方法融入到求解二元函數(shù)極限中去，從而使得問(wèn)更加的簡(jiǎn)單化，明朗化。結(jié)語(yǔ)本文主要是在考慮函數(shù)極限存在的前提下撰寫的。求函數(shù)極限的方法并不是一成不變的，每一個(gè)題目適用于它的解決方法也不是唯一的，只要一個(gè)函數(shù)的極限存在總會(huì)有一個(gè)或者多個(gè)方法與之對(duì)應(yīng)。本文重點(diǎn)在于對(duì)一元函數(shù)極限的求解方法，對(duì)于多元函數(shù)，只列舉了部分求解二重極限的方法，而其中與一元函數(shù)極限的求法有很大的聯(lián)系，細(xì)觀一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的解法，可以從中更好的了解到一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，乃至用途。函數(shù)極限不僅僅是數(shù)分中的重點(diǎn)難點(diǎn)，更是近代微積分學(xué)的基礎(chǔ)，因此了解和熟練的掌握一個(gè)函數(shù)極限的求法對(duì)于整個(gè)高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)都是十分重要的。以上只是列舉了大部分的函數(shù)極限的求解方法，但方法并不只限于以上幾種，或許還有未知的方法等著我們?nèi)グl(fā)掘。參考文獻(xiàn)1、王艷,周文麗,張俊麗,湯木蘭.求極限的幾種方法[J].西安歐亞學(xué)院學(xué)報(bào),2005(3)2、張宏達(dá).高等數(shù)學(xué)中求極限的常用方法[J].北京交通管理干部學(xué)院報(bào),2004.Vol4(3)3、胡喜和.談求極限的方法[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊,2005(1)4、徐榮貴.求極限的方法和技巧[J].四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2006(1)5、王偉珠.常用求極限方法淺析[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(472)6、歐陽(yáng)光中、朱學(xué)炎、金福臨等.數(shù)學(xué)分析[M].高教出版社，19