北京市第一零一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期統(tǒng)考二（10月）數(shù)學(xué)試題 含解析

北京一零一中2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算集合,再計(jì)算結(jié)果，判斷選項(xiàng).【詳解】由x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1取等號(hào)，則，故.故選：A2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)，，計(jì)算，得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)點(diǎn)分別為，，則，，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D3.若，給出下列不等式：①；②；③．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)逐一判斷各個(gè)不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故①正確；因?yàn)椋?，，故②正確；因?yàn)?，所以，又，故③正確.故選：D4.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050根據(jù)這些數(shù)據(jù)，要得到函數(shù)的圖象，需要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出關(guān)于的方程組，解方程組得出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象的變換即可得出結(jié)果.【詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得，，解得，所以，，將圖象向左平移單位后得到的圖象.故選：A5.在菱形中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的幾何特征結(jié)合向量加法的法則，得，得到，利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，連接，根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)有，有：對邊互相平行，四條邊均相等，所以，且，所以，所以，根據(jù)向量加法的三角形法則有，，所以；又因?yàn)?，，所以，在，，，由余弦定理有：，所?故選：B6.在ΔABC中，“,b=,”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】在三角形中，根據(jù)正弦定理，分別求解的值，反之利用正弦定理求得，得到，再根據(jù)充分不必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】在ΔABC中，由正弦定理可得，解得，又由，則，所以，又由在ΔABC中，若，則，由正弦定理，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分不必要條件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要條件的判定方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法與圖象符合的是A B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由圖象可知，且，，可知的兩根為，由韋達(dá)定理得，異號(hào)，同號(hào)，又，異號(hào)，只有選項(xiàng)符合題意，故選B.8.保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍?個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：A.9.已知．若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過對參數(shù)分類討論，研究在和的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件，即可求解.【詳解】解：由題意，不妨令，；，，①當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，易知在上的值域?yàn)?，又因?yàn)榇嬖谧钚≈?，只需，解得，又由，從而；②?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榇嬖谧钚≈?，故，即，解得，，這與矛盾；③當(dāng)時(shí)，，易知的值域?yàn)?，顯然無最小值；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而無最小值.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.已知數(shù)列滿足，，是的前項(xiàng)和．若，則正整數(shù)的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得，由累加迭代法可得，進(jìn)而可得，由得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和可得，兩種情況結(jié)合可得進(jìn)而可求解.【詳解】由，得，由累加法，當(dāng)時(shí)，，因此，即得；所以，當(dāng)時(shí)，，故；由，得所以，以此類推，得，因此，即，得；又，所以，即；綜上可知，，故滿足條件的正整數(shù)所有可能取值的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用不等式將數(shù)列an的通項(xiàng)公式通過放縮法和累加法可求得且，再由解不等式即可得出正整數(shù)的所有可能取值.二、填空題共5小題.11.若等邊三角形的邊長為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則______.【答案】-2【解析】【詳解】試題分析：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.12.已知角，的終邊關(guān)于直線對稱，且，則，的一組取值可以是______．【答案】，（答案不唯一，符合，，或，，即可）【解析】【分析】由條件角的終邊關(guān)于直線對稱可得，由可得或，，解方程求，即可.【詳解】因?yàn)榻牵慕K邊關(guān)于直線對稱，所以，，又，所以或，，所以，，或，，取，時(shí)，可得，或，所以，的一組取值可以是，.故答案為：，.13.在數(shù)列中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用迭代法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可.【詳解】由得，，又由得，，，，，由此可得數(shù)列為周期數(shù)列，周期為，又因?yàn)?，所以，故答案為?14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以在區(qū)間恒成立，因?yàn)?，所以在區(qū)間恒成立所以因?yàn)椋运缘娜≈捣秶强键c(diǎn)：1．恒成立問題；2．導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．15.設(shè),函數(shù),若fx恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．三、解答題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.條件①：；條件②：；條件③：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若選擇①②作為已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得公差d，代入公式即可求得答案；若選擇②③作為已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得公差，根據(jù)，即可求得，代入公式即可求得答案；（2）根據(jù)題干條件，結(jié)合（1）可求得，的值，代入公式，即可求導(dǎo)、q，進(jìn)而可得，根據(jù)分組求和法，結(jié)合等差、等比的求和公式，即可得答案.【詳解】解：(不能選擇①③作為已知條件)若選擇①②作為已知條件.因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.所以.若選擇②③作為已知條件.因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.因?yàn)?，所?所以，解得.所以.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合（1）可得，，所以，所以.所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為.所以所以.17.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最值，并求此時(shí)的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度并向下平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．若在中，角，，的對邊分別為，，，，，，求的面積．【答案】（1）最大值為，此時(shí)；最小值為，此時(shí)；（2）.【解析】【分析】（1）由向量的數(shù)量積及三角恒等變換得，根據(jù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由圖象的平移及伸縮變化可得，再由，可得，由余弦定理可得，最后由三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值，為；當(dāng)，即時(shí)，取最大值，為；所以在上的最大值為，此時(shí)；最小值為，此時(shí)；【小問2詳解】解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得，再將的圖象向左平移個(gè)單位長度并向下平移個(gè)單位長度，得，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，由余弦定義可得：，所以，解得，所以.18.如圖所示，已知中，為上一點(diǎn)，．（1）求；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由兩角差的正弦展開式求出，在中由正弦定理可得答案．【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，所以，由?）結(jié)論，計(jì)算可得，法1：由正弦定理可知，又，所以，由余弦定理可得，化簡整理得，解得．法2：因?yàn)榍遥?，由題意可得，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以．19.已知函數(shù)（）.（I）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（I）（II）見解析【解析】【分析】（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論，最后根據(jù)對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性確定最值【詳解】解：（I）當(dāng)時(shí)，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即（II），，①當(dāng)時(shí)，在上導(dǎo)函數(shù)，所以在上遞增，可得的最小值為；②當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如下表所示—0＋極小所以的最小值為；③當(dāng)時(shí)，在上導(dǎo)函數(shù)，所以在上遞減，所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題20.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求、的值；（2）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）（-，0]【解析】【詳解】（1）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，．（2）由（1）知，所以．考慮函數(shù)，則．(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，，h(x)遞減．而故當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾．（iii）設(shè)k1.此時(shí)，（x）>0而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾．綜合得，k的取值范圍為（-，0]點(diǎn)評：求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解．若求導(dǎo)后不易得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時(shí)，就要使用參數(shù)討論法了．即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意．求的答案．此題用的便是后者．21.已知無窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為寫出集合A與集合B；（2）若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）定義，可知，結(jié)合題中通項(xiàng)公式分析求解；（2）根據(jù)題意可知，可得，即可分析證明；（3）由題意可知：，可知集合在均不在元素，分類討論集合是否為空集，結(jié)合題意利用數(shù)學(xué)歸納法分析證明.【小問1詳解】定義，由題意可知，若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，可知，所以，因?yàn)?只能寫成，不合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；所以.【小問2詳解】因?yàn)?，由題意可知：，且，即，因?yàn)椋创嬖诓幌嗤捻?xiàng)，使得可知，所以.【小問3詳解】因?yàn)?，令，可得，則，即，即集合在內(nèi)均不存在元素，此時(shí)我們認(rèn)為集合在內(nèi)的元素相同；（i）若集合A是空集，則B是空集，滿足；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素為t，可知，由（2）可知：集合B存在的最小元素為s，且，設(shè)存在，使得，可知集合在內(nèi)的元素相同,可知，則，因，即，則，可知，