微積分-經(jīng)管類-下冊-7.1 二重積分的概念與性質(zhì)

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第7章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分三、二重積分的性質(zhì)第1節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算二重積分的概念與性質(zhì)

第7章解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體4)“取極限”令2.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xOy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊.2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,元素d

也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上例2.估計的值,其中D

為解:

被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值例3.估計下列積分之值解:

的面積為由于不等式性質(zhì)即:1.96

I2D例4.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)

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