2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪教師用書第2章第9節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用[考綱](教師用書獨(dú)具)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè))[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．(3)二次函數(shù)模型：y＝axeq\s\up7(2)＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·beq\s\up7(x)＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝aeq\s\up7(x)(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢因n而異圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜aeq\s\up7(x)3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：[知識(shí)拓展]“對(duì)勾”函數(shù)形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x＞0時(shí)，x＝eq\r(a)時(shí)取最小值2eq\r(a)，當(dāng)x＜0時(shí)，x＝－eq\r(a)時(shí)取最大值－2eq\r(a).[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2eq\s\up7(x)的函數(shù)值比y＝xeq\s\up7(2)的函數(shù)值大．()(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快．()(3)不存在x0，使ax0＜xeq\o\al(n,0)＜logax0.()(4)f(x)＝xeq\s\up7(2)，g(x)＝2eq\s\up7(x)，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A．100只 B．200只C．300只 D．400只B[由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log39＝200.]3．某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，變化的情況是()A．減少7.84% B．增加7.84%C．減少9.5% D．不增不減A[設(shè)某商品原來(lái)價(jià)格為a，依題意得：a(1＋0.2)eq\s\up7(2)(1－0.2)eq\s\up7(2)＝a×1.2eq\s\up7(2)×0.8eq\s\up7(2)＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，減少7.84%.]4．若一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()B[由題意h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖象為B．]5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為________．eq\r(1＋p1＋q)－1[設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)eq\s\up7(2)＝(1＋p)·(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁(yè))用函數(shù)圖象刻畫變化過程(1)某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()(2)如圖2-9-1所示的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用容器下面所對(duì)的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中正確的有()圖2-9-1A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)(1)A(2)C[(1)前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說明呈高速增長(zhǎng)，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，產(chǎn)品的總產(chǎn)量應(yīng)呈直線上升，故選A．(2)將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的增長(zhǎng)速度上反映出來(lái)，①中的增長(zhǎng)應(yīng)該是勻速的，故下面的圖象不正確；②中的增長(zhǎng)速度是越來(lái)越慢的，正確；③中的增長(zhǎng)速度是先快后慢再快，正確；④中的增長(zhǎng)速度是先慢后快再慢，也正確，故②③④正確．選C．][規(guī)律方法]判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法1構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.2驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190066】D[y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C．又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，故排除B，故選D．]應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的重量(kg)與其運(yùn)費(fèi)(元)由如圖2-9-2所示的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的重量最大為________kg.圖2-9-2(2)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．(1)19(2)16[(1)由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－eq\s\up7(2)4b，則t＝24，所以再經(jīng)過16min.][規(guī)律方法]求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)1認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).2根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).3利用該模型求解實(shí)際問題.易錯(cuò)警示：解決實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍.[跟蹤訓(xùn)練](2017·西城區(qū)二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2017年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190067】月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A[根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)(20－5)＝11.5，故選A．]構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題(2017·山西孝義模考)為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？[解](1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3xeq\s\up7(2)－68x＋115＜0.又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈N*.))(2)對(duì)于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185.對(duì)于y＝－3xeq\s\up7(2)＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up7(2)＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈N*)，當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.又∵270＞185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．[規(guī)律方法]構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的常見類型與求解方法1構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解.2構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法.3構(gòu)建fx＝x＋eq\f(a,x)a＞0模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)求解.易錯(cuò)警示：求解過程中不要忽視實(shí)際問題是對(duì)自變量的限制.[跟蹤訓(xùn)練](2016·四川高考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0