浙江省湖州市2023-2024學年高一下學期6月期末考試數(shù)學

湖州市2023學年第二學期期末調(diào)研測試卷高一數(shù)學注意事項：1．本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答．2．本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是兩個單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.4.設，是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D若，，，則5.如圖所示的頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，則根據(jù)此圖作出以下判斷，正確的是（）A.眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù) B.眾數(shù)<平均數(shù)<中位數(shù)C.中位數(shù)<平均數(shù)<眾數(shù) D.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)6.在正方體中，E是的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.7.湖州東吳國際雙子大廈是湖州目前已建成的第一高樓，也被稱為浙北第一高樓，是湖州的一個壯觀地標．如圖，為測量雙子大廈的高度CD，某人在大廈的正東方向找到了另一建筑物，其高AB約192m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D共線）處測得建筑物頂A、大廈頂C的仰角分別為45°和60°，在建筑物頂A處測得大廈頂C的仰角為15°，則可估算出雙子大廈的高度CD約為（）A.284m B.286m C.288m D.290m8.已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某學校為了豐富同學們的課外活動，為同學們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C. D.10.若復數(shù)z，w均不為0，則下列結(jié)論正確是（）A B.C. D.11.如圖，一張矩形白紙，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，BE交AC于點M，DF交AC于點．現(xiàn)分別將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面的同側(cè)，則下列命題正確的是（）A.當平面平面時，平面B.當A，C重合于點時，平面C.當A，C重合于點時，三棱錐的外接球的表面積為D.當A，C重合于點時，四棱錐的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知事件和事件相互獨立，且，，則__________．13.已知向量，，則在上的投影向量的坐標是__________．14.已知四面體中，棱BC，AD所在直線所成的角為，且，，，則四面體體積的最大值是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若某袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球從中不放回地依次隨機摸出2個球，記事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”．（1）求和的值；（2）求兩次摸到的不都是紅球的概率．16.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．17.某學校組織“防電信詐騙知識”測試，隨機調(diào)查400名學生，將他們的測試成績（滿分100分）的統(tǒng)計結(jié)果按，，…，依次分成第一組至第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中x的值；（2）估計參與這次測試學生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和第60百分位數(shù)；（3）現(xiàn)從以上第三組、第四組和第五組中參與測試的學生用分層隨機抽樣的方法選取15人，擔任學?！胺离娦旁p騙知識”的宣傳員．若這15名學校宣傳員中來自第三組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為75和5，來自第四組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為85和10，來自第五組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為93和5．2，據(jù)此估計這次第三組、第四組和第五組所有參與測試學生的成績的方差．18.如圖，在四棱臺中，底面為菱形，且，，側(cè)棱與底面所成角的正弦值為．若球與三棱臺內(nèi)切（即球與棱臺各面均相切）．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱臺的體積和球的表面積．19已知函數(shù)，．（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知點，是函數(shù)圖象上的兩個動點，且滿足，求的取值范圍．湖州市2023學年第二學期期末調(diào)研測試卷高一數(shù)學注意事項：1．本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答．2．本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是兩個單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用單位向量的定義求解即可.【詳解】單位向量的模長相等，則，故D正確；且兩者并不一定是相同或相反向量，故A錯誤；兩者不一定共線，故B錯誤；兩者不一定垂直，故C錯誤.故選：D.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由共軛復數(shù)的定義求出，即可得對應點的坐標得答案．【詳解】∵，∴，則∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：D．3.已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑為，則，所以，所以.故選：A.4.設，是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，對ABD找到反例即可，對C由線面平行的性質(zhì)分析即可判斷正確.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對A，若，，，直線可能平行、相交或異面，故錯誤；對B，若，，，平面可能相交或平行，故錯誤；對C：如圖，若，，，過直線作兩個平面，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得可得，則，因為，，則，又因為，，則，則，故C正確；對D，若，，，則，故D錯誤.故選：C.5.如圖所示的頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，則根據(jù)此圖作出以下判斷，正確的是（）A.眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù) B.眾數(shù)<平均數(shù)<中位數(shù)C.中位數(shù)<平均數(shù)<眾數(shù) D.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用眾數(shù)、中位數(shù)的意義，結(jié)合頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)時，中位數(shù)與平均數(shù)的關系判斷即可.【詳解】由頻率分布直方圖知，數(shù)據(jù)組的眾數(shù)為左起第2個小矩形下底邊中點值，顯然在過該中點垂直于橫軸的直線及左側(cè)的矩形面積和小于0.5，則眾數(shù)<中位數(shù)，由頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，得中位數(shù)<平均數(shù)，所以眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù).故選：A6.在正方體中，E是的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得異面直線DE與AC所成角為（或的補角），在中利用余弦定理運算求解.【詳解】取的中點，連接，因為//，且，則為平行四邊形，可得//，又因為分別為的中點，則//，所以//，故異面直線DE與AC所成角為（或的補角），設正方體的棱長為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線DE與AC所成角的余弦值是.故選：D.7.湖州東吳國際雙子大廈是湖州目前已建成的第一高樓，也被稱為浙北第一高樓，是湖州的一個壯觀地標．如圖，為測量雙子大廈的高度CD，某人在大廈的正東方向找到了另一建筑物，其高AB約192m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D共線）處測得建筑物頂A、大廈頂C的仰角分別為45°和60°，在建筑物頂A處測得大廈頂C的仰角為15°，則可估算出雙子大廈的高度CD約為（）A.284m B.286m C.288m D.290m【答案】C【解析】【分析】先求出，然后在中用正弦定理求出，最后求出.【詳解】因為是等腰直角三角形，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知：，在中，.故選：C8.已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換求得，再求得角的范圍，結(jié)合正弦定理邊角變換與倍角公式即可得解.【詳解】已知，由正弦定理得，得，由余弦定理，則，即，由正弦定理得，因為，則所以，即.因為為銳角三角形，，則，又在上單調(diào)遞增，所以，則，因為為銳角三角形，，解得，所以故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某學校為了豐富同學們的課外活動，為同學們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.【詳解】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動，與事件：一種科普活動都不參加，二者不可能同時發(fā)生，交集為空集，故A正確；對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個發(fā)生.事件和事件滿足兩個特點，故B正確；對C：表示：至多參加一種科普活動，即為事件，故C正確；對D：表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯誤.故選：ABC10.若復數(shù)z，w均不為0，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算，結(jié)合模長公式即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】不妨設且．對于A，，故，而，故A錯誤，對于B，，,則,,故，B正確，對于C,，，故，因此C正確．對于D，，，故，D正確．故選：BCD11.如圖，一張矩形白紙，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，BE交AC于點M，DF交AC于點．現(xiàn)分別將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面的同側(cè)，則下列命題正確的是（）A.當平面平面時，平面B.當A，C重合于點時，平面C.當A，C重合于點時，三棱錐的外接球的表面積為D.當A，C重合于點時，四棱錐的體積為【答案】AC【解析】【分析】對于A，利用面面平行的判定和性質(zhì)定理可以判斷；對于B，利用反證法可以說明B錯誤；對于C，根據(jù)題意判斷出外接球的球心為的中點，可求出外接球半徑，進而求出外接球的表面積；對于D，利用平面平面，可求得四棱錐的高，進而計算出體積.【詳解】由題意，將沿折起，且點在平面，此時、、、四點共面，平面平面，平面平面，當平面平面，，由題意得：，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；因為，所以，則可得，即，同理可得，當重合于點時，如上圖，在中，，又因為，所以，因為，所以，所以為等腰三角形，即，，，故和不垂直，則不垂直于平面，故B錯誤；在三棱錐中，，均為直角三角形，所以為外接球直徑，則外接球半徑，則三棱錐外接球表面積為，故C正確.，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，平面平面，過點作，因為是邊長為的等邊三角形，所以可得，由面面垂直性質(zhì)定理可知平面，即為四棱錐的高，所以，故D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：本題考查了面面平行的判定和性質(zhì)定理，線面垂直的判定理，幾何體的外接球及四棱錐的體積，解題的關鍵是弄清幾何題的結(jié)構(gòu)，利用相關定理去證明判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知事件和事件相互獨立，且，，則__________．【答案】##0.125【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】∵事件A與事件B相互獨立，則A與事件也相互獨立，且，，∴故答案為：．13.已知向量，，則在上的投影向量的坐標是__________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)投影向量的坐標公式計算即可.【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為：14.已知四面體中，棱BC，AD所在直線所成的角為，且，，，則四面體體積的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到，求出，由正弦定理得到點在半徑為的的外接圓的劣弧上，當平面⊥平面時，點到平面的距離最大，且最大距離為，從而求出三棱錐的體積最大值為，由得到答案.【詳解】在平面內(nèi)，分別過作的平行線交于點，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，則，在中，，，由正弦定理得，其中為的外接圓半徑，解得則點在半徑為的的外接圓的劣弧上，作⊥，垂足為，如圖1，則當為的中點，即時，最大，此時，如圖2所示，此時，當平面⊥平面時，點到平面的距離最大，且最大距離為，連接，此時三棱錐的體積最大，最大為，而，故四面體的最大值為故答案為：【點睛】關鍵點點睛，將四面體補形為四棱錐，從而結(jié)合異面直線夾角求出三角形面積，再結(jié)合點到平面的距離最大值求出體積最大值四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若某袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球從中不放回地依次隨機摸出2個球，記事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”．（1）求和的值；（2）求兩次摸到的不都是紅球的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用首先計算樣本容量，再計算事件和包含的樣本點，即可求解；（2）利用對立事件概率公式，即可求解.【小問1詳解】將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5．第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種，即，所以．第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種，即，所以．【小問2詳解】事件“兩次摸到都是紅球”包含2個可能結(jié)果，即，則兩次摸到都是紅球的概率，故兩次摸到的不都是紅球的概率．16.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換得，則得到的大??；（2）利用三角形面積公式得，再結(jié)合余弦定理得的值，則得到其周長.【小問1詳解】因為，由正弦定理，得，即，即.因在中，，所以.又因為，所以.【小問2詳解】因為的面積為，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.17.某學校組織“防電信詐騙知識”測試，隨機調(diào)查400名學生，將他們的測試成績（滿分100分）的統(tǒng)計結(jié)果按，，…，依次分成第一組至第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中x的值；（2）估計參與這次測試學生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和第60百分位數(shù)；（3）現(xiàn)從以上第三組、第四組和第五組中參與測試的學生用分層隨機抽樣的方法選取15人，擔任學?！胺离娦旁p騙知識”的宣傳員．若這15名學校宣傳員中來自第三組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為75和5，來自第四組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為85和10，來自第五組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為93和5．2，據(jù)此估計這次第三組、第四組和第五組所有參與測試學生的成績的方差．【答案】（1）（2）平均值為：，第60百分位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)求值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)公式和百分位數(shù)公式計算；（3）應用分層方差公式計算求解.【小問1詳解】由題意得，所以；【小問2詳解】參與測試學生的成績平均值：．第60百分位數(shù)為；【小問3詳解】設第三組，第四組，第五組測試學生成績的平均數(shù)和方差分別為，，，，，，且三組的頻率之比為4：6：5，則這三組的平均數(shù)，所以第三組、第四組和第五組所有參與測試學生的測試成績的方差18.如圖，在四棱臺中，底面為菱形，且，，側(cè)棱與底面所成角的正弦值為．若球與三棱臺內(nèi)切（即球與棱臺各面均相切）．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱臺的體積和球的表面積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）四棱臺的體積為，球的表面積為．【解析】【分析】（1）只需證明和即可；（2）做出二面角的平面角再做計算.（3）將四棱臺還原為四棱錐，把三棱臺的內(nèi)切球轉(zhuǎn)化為三棱錐的內(nèi)切球問題.【小問1詳解】設與、與BD分別交點E，F(xiàn)，連接EF，