141整式乘法（講練）-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)

14.1整式乘法單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.注意：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.題型1：單項式乘單項式計算1.計算3x2?(-2A．6x5 B．-6x5 C．【答案】B【解析】【解答】解：3x2?故答案為：B．【分析】利用單項式乘單項式的計算法則求解即可?！咀兪?1】計算：（1）＝；（2）6b2?4ab＝；（3）2m3n?（﹣mn2）＝；（4）﹣4a3b2c?3ab3＝．【分析】（1）根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則解決此題．（2）根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則解決此題．（3）根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則解決此題．（4）根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則解決此題．【解答】解：（1）＝2x2y；故答案為：2x2y．（2）6b2?4ab＝24ab3；故答案為：24ab3．（3）2m3n?（﹣mn2）＝﹣2m4n3；故答案為：﹣2m4n3．（4）﹣4a3b2c?3ab3＝﹣12a4b5c．故答案為：﹣12a4b5c．【點評】本題主要考查單項式乘單項式，熟練掌握單項式乘單項式的乘法法則是解決本題的關鍵．【變式12】計算：（1）5a2?a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2．【解答】解：5a2?a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2＝5a6﹣3a6+a6＝3a6．（2）（﹣ab）?（﹣4a2b）+6a?（﹣2ab）2．【解答】解：（﹣ab）?（﹣4a2b）+6a?（﹣2ab）2＝a3b2+6a?4a2b2＝a3b2+24a3b2．＝a3b2．【點評】此題考查了單項式乘單項式以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．題型2：單項式乘單項式科學計數(shù)法2.光的速度約為3×105km/s，太陽光射到地球上需要的時間約是5×102s，地球與太陽的距離約是多少千米？【分析】根據(jù)路程＝速度×時間，先列式表示地球到太陽的距離，再用科學記數(shù)法表示．【解答】解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108千米．故地球與太陽的距離約是1.5×108千米．【點評】此題主要考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．同時考查了同底數(shù)冪的乘法．【變式21】經(jīng)天文學家測算，太陽系外離地球最近的恒星系是南門二，其中比鄰星發(fā)出的光到達地球的時間約為4.22年，光的速度是3×105km/s，求比鄰星到地球的距離s．（結果用科學記數(shù)法表示，1年按3.15×107秒計算）【分析】直接利用已知求出時間×光速＝距離，進而得出答案．【解答】解：由題意可得，s＝4.22×3.15×107×3×105＝3.9879×1013（km），答：比鄰星到地球的距離s為3.9879×1013km．【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式，正確掌握運算法則是解題關鍵．【變式22】市環(huán)保局將一個長為2×106分米，寬為4×104分米，高為8×102分米的長方體廢水池中的滿池廢水注入正方體貯水池凈化，那么請你想一想，能否恰好有一個正方體貯水池將這些廢水剛好裝滿？若有，求出正方體貯水池的棱長；若沒有，請說明理由．【分析】根據(jù)單項式的乘法，可得長方體的體積，根據(jù)積的乘方等于乘方的積，可得正方體的體積，可得答案．【解答】解：有，因為長方體廢水池的容積為（2×106）×（4×104）×（8×102）＝64×1012＝（4×104）3，所以正方體水池的棱長為4×104分米．【點評】本題考查了單項式的乘法，利用單項式的乘法是解題關鍵．單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.注意：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.題型3：單項式乘多項式計算3.已知﹣4a與一個多項式的積是16a3+12a2+4a，則這個多項式是（）A．﹣4a2+3a B．4a2﹣3a C．4a2﹣3a+1 D．﹣4a2﹣3a﹣1【分析】直接利用整式的乘除運算法則得出答案．【解答】解：∵﹣4a與一個多項式的積是16a3+12a2+4a，∴這個多項式是：（16a3+12a2+4a）÷（﹣4a）＝﹣4a2﹣3a﹣1．故選：D．【點評】此題主要考查了整式的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．【變式31】計算：（1）（﹣2a2b）3?（3b2﹣4a+6）；（2）（﹣2m）2?（m2﹣5m﹣3）．【分析】（1）先算積的乘方，再算單項式乘多項式即可；（2）先算積的乘方，再算單項式乘多項式即可．【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3?（3b2﹣4a+6）＝﹣24a6b5+32a7b3﹣48a6b3；（2）原式＝．＝m4﹣20m3﹣12m2．【點評】本題主要考查單項式乘多項式，積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式32】計算：（1）．【分析】利用單項式乘多項式的法則進行求解即可．【解答】解：＝2x?x2﹣2x×+2x×1＝2x3﹣x2+2x．（2）6a2（ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．【解答】解：6a2（ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）＝2a3b﹣6a2b2﹣2a3b+2a2b2＝﹣4a2b2．多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.注意：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.題型4：多項式乘多項式計算4.計算（x+5）（x﹣3）的結果是（）A．x2﹣15 B．x2+15 C．x2+2x﹣15 D．x2﹣2x﹣15【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則，可表示為（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，計算即可．【解答】解：（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15．故選：C．【點評】本題主要考查多項式乘多項式．注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項．【變式41】（1）（2a+b）（2b﹣a）．【分析】利用多項式乘多項式的法則進行運算即可．【解答】解：（2a+b）（2b﹣a）＝4ab﹣2a2+2b2﹣ab＝3ab﹣2a2+2b2．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．（2）（2）．【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則解答即可．【解答】解：原式＝x2﹣xy+xy﹣y2＝x2+xy﹣y2．【點評】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．（3）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）．【分析】利用多項式乘多項式的法則進行求解即可．【解答】解：（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）＝6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y＝6x2﹣13xy﹣2x﹣28y2+7y．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式42】（1）計算：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．【分析】利用多項式乘多項式的法則及單項式乘多項式的法則進行運算，再合并同類項即可．【解答】解：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）＝x2﹣7x+3x﹣21﹣x2+x＝﹣3x﹣21．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，解答的關鍵是在運算過程中注意符號的變化．（2）（x+1）（x﹣2）+x（x+1）+1．【分析】根據(jù)多項式乘多項式、單項式乘多項式以及整式的加減運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝x2﹣x﹣2+x2+x+1＝2x2﹣1．【點評】本題考查多項式乘多項式，單項式乘多項式以及整式的加減運算法則，本題屬于基礎題型．（3）2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．【分析】先根據(jù)單項式乘多項式和多項式乘多項式進行計算，再合并同類項即可．【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x2+7x﹣2x﹣14＝3x2﹣x﹣14．【點評】本題考查了整式的混合運算，能正確根據(jù)整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．題型5：整式乘法與求字母的值5.若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，則（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣1【分析】先根據(jù)多項式乘多項式法則展開，根據(jù)多項式恒等的法則得出方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：（x+3）（2x﹣m）＝2x2﹣mx+6x﹣3m＝2x2+（﹣m+6）x﹣3m，∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，∴﹣m+6＝n，﹣3m＝﹣15，解得：m＝5，n＝1，故選：C．【點評】本題考查了多項式乘多項式和解二元一次方程組，能正確運用多項式乘多項式法則展開是解此題的關鍵．【變式51】已知A=（a+3）（a2）+a（2a）．

（1）化簡A；

（2）若a的值是不等式組的最大整數(shù)解，求A的值．【答案】（1）3a6；

（2）此不等式組的解集：2≤＜4，3．【分析】（1）去括號合并同類項；

（2）求出不等式組的解，根據(jù)a的值是不等式組的最大整數(shù)解，確定a的值，再代入（1）的結果計算．【解答】解：（1）A=（a+3）（a2）+a（2a）

=a2+a6+2aa2

=3a6；

（2）解每一個不等式，得∴此不等式組的解集：2≤a＜4，

∵a的值是不等式組的最大整數(shù)解，

∴a=3，

∴A=3×36=3．【點評】本題考查多項式與多項式相乘、單項式與多項式相乘、一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握多項式與多項式相乘、單項式與多項式相乘的運算法則，求出一元一次不等式組的整數(shù)解是解題關鍵．【變式52】已知（m+n）xnym2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，求m和n.【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即可．【解答】解：由（m+n）xnym2（3xy2+5x2y）=21xmyn+1+35xm+1yn，得【點評】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，計算時要注意符號的處理．題型6：整式乘法與化簡求值6.先化簡，再求值：（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8y，其中x=﹣1，y=2．【答案】解：原式=x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8y=x2﹣8y，當x=﹣1，y=2時，原式=1﹣16=﹣15．【解析】【分析】原式利用完全平方公式及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把x與y的值代入計算即可求出值．【變式61】．先化簡，再求值：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣3b）2﹣5b（3a﹣2b），其中a=﹣12，b=13【答案】解：原式=4a2﹣b2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣（15ab﹣10b2）=4a2﹣b2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣15ab+10b2=﹣3ab．當a=﹣12，b=13時，原式=﹣3×（﹣12）×【解析】【分析】首先利用平方差公式、完全平方公式以及單項式與多項式的乘法法則計算，然后合并同類項即可化簡，然后代入數(shù)值計算．【變式62】先化簡，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x=﹣4，y=12【答案】解：原式=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy）﹣4y2=﹣7xy，當x=﹣4，y=12時，原式=﹣7×（﹣4）×1【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式、單項式乘多項式的法則把原式進行化簡，代入已知數(shù)據(jù)計算即可．題型7：整式乘法錯看問題7.某同學在計算一個多項式乘以﹣3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣3x2，得到的結果是x2﹣4x+1，那么正確的計算結果是多少？【答案】解：這個多項式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，正確的計算結果是：（4x2﹣4x+1）?（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．【解析】【分析】用錯誤結果減去已知多項式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正確結果．【變式71】在計算(x+a)(x+b)時，甲把錯b看成了6，得到結果是：x2+8x+12；（1）求出a,b（2）在（1）的條件下，計算(x+a【答案】（1）解：由甲計算得：(∴6∴a=2代入乙的式子，得(∴-∴b=3（2）解：(=x=x2【解析】【分析】（1）按甲、乙錯誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結果.【變式72】在計算（x+a）（x+b）時，甲把b錯看成了6，得到結果是：x2+8x+12；乙錯把a看成了a,得到結果：x2+x6．

（1）求出a,b的值；

（2）在（1）的條件下，計算（x+a）（x+b）的結果．【分析】（1）根據(jù)題意得出（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，（xa）（x+b）=x2+（a+b）xab=x2+x6，得出6+a=8，a+b=1，求出a、b即可；

（2）把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，

（xa）（x+b）=x2+（a+b）xab=x2+x6，

所以6+a=8，a+b=1，

解得：a=2，b=3；

（2）當a=2，b=3時，（x+a）（x+b）=（x+2）（x+3）=x2+5x+6．【點評】本題考查了多項式乘以多項式法則和解方程，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．題型8：整式乘法遮擋問題8.在復習“整式的乘除與因式分解”時，老師在黑板上書與了一道練習題并正確地計算出結果，隨后用手遮住了一個多項式，形式如下：?（﹣22x）＝﹣8x3﹣4x2+4x（1）設老師遮住的多項式為A，求多項式A．（2）求多項式A與多項式x﹣的乘積．【分析】（1）由題意得所求的多項式A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x），從而可求解；（2）利用多項式乘多項式的法則進行求解即可．【解答】解：（1）由題意得：A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x）＝﹣8x3÷（﹣4x）﹣4x2÷（﹣4x）+4x÷（﹣4x）＝2x2+x﹣1；（2）由題意得：（2x2+x﹣1）（x﹣）＝2x3﹣x2+x2﹣x﹣x+＝2x3﹣x+．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式81】李老師給同學們講了一道題，小明認真地把它抄在筆記本上，放學后回到家拿出課堂筆記本，突然這道題的被除式的第二項和商的第一項被墨水污染了，污染后的習題如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能復原被污染的地方嗎？請你試一試．【分析】利用多項式除以單項式法則判斷即可確定出所求．【解答】解：根據(jù)題意得：5xy?（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y，則被污染的地方是35x3y2，﹣3x2y2．【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式82】莜莜不小心將墨水滴到了課本上，剛好把數(shù)學題（9x5y2﹣2x3y）■xy的運算符號遮?。?）若被墨水遮住的運算符號為乘號，求該數(shù)學題的計算結果；（2）若該數(shù)學題的結果為9x4y﹣2x2，求被墨水遮住的運算符號．【分析】（1）直接利用整式的乘法運算法則計算得出答案；（2）直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：（1）（9x5y2﹣2x3y）?xy＝9x6y3﹣2x4y2；（2）∵（9x5y2﹣2x3y）÷xy＝9x4y﹣2x2，∴墨水遮住的運算符號為：÷．【點評】此題主要考查了整式的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．題型9：整式乘法不含某項問題9.已知（x2+nx）與（x2﹣3x+m）的乘積中不含x2和x3的項，求m，n的值．【分析】利用多項式乘多項式法則計算得到結果，根據(jù)結果不含x2和x3的項，確定出m與n的值即可．【解答】解：根據(jù)題意得：（x2+nx）（x2﹣3x+m）＝x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n）x2+mnx，∵（x2+nx）與（x2﹣3x+m）的乘積中不含x2和x3的項，∴n﹣3＝0，m﹣3n＝0，解得：m＝9，n＝3．【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式91】已知將（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展開的結果不含x2和x3項，求a，b的值．【分析】先用多項式乘多項式展開，再讓x3，x2的系數(shù)為0．列方程求解．【解答】解：（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+ax3﹣3ax2+4ax+bx2﹣3bx+4b＝x5﹣3x4+（4+a）x3+（﹣3a+b）x2+（4a﹣3b）x+4b∵不含x3和x2項，∴4+a＝0，﹣3a+b＝0，解得a＝﹣4，b＝﹣12．【點評】本題考查了多項式乘多項式，方程思想是解題的關鍵．【變式92】關于x的代數(shù)式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化簡后不含有x2項和常數(shù)項，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【分析】先利用多項式乘多項式法則化簡整式，再根據(jù)化簡后不含有x2項和常數(shù)項求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．∵化簡后不含有x2項和常數(shù)項，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．∴a＝2，m＝3．∵an+mn＝﹣5，∴2n+3n＝﹣5．∴n＝﹣1．∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4×1+9＝﹣4+9＝5．【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握多項式乘多項式法則、一元一次方程的解法是解決本題的關鍵．【變式93】（1）已知計算（x2+mx+n）（x24x+2）的結果不含x3和x2項，求m、n的值．

（2）已知△ABC三邊分別為a、b、c,化簡：|a2bc|+|bca|+|cab|．【分析】（1）先利用多項式乘法法則把多項式展開，由于展開后不含x3和x2項，則含x3和x2項的系數(shù)為0，由此可以得到4m=0，24m+n=0，解方程組即可以求出m、n；

（2）根據(jù)三角形的三邊關系“兩邊之和＞第三邊，兩邊之差＜第三邊”，判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值即可．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x24x+2）

=x4（4m）x3+（24m+n）x2+（2m4n）x+2n,

∵展開的結果不含x3和x2項，

∴4m=0，24m+n=0，

解得：m=4，n=14．

即m=4，n=14；

（2）根據(jù)三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，

得a2bc＜0，bca＜0，cab＜0．

∴|a2bc|+|bca|+|cab|

=（a2bc）+（a+cb）+（a+bc）

=a+2b+c+a+cb+a+bc

=a+2b+c.【點評】考查了多項式乘多項式，三角形的三邊關系、絕對值及整式的加減，關鍵是根據(jù)多項式相乘法則以及多項式的項的定義解答，注意三角形的三邊關系和絕對值的性質的綜合運用．題型10：整式乘法新定義問題10.將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號叫做二階行列式，若＝5x，求x的值．【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程得到答案．【解答】解：由題意得（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣3）（x+1）＝5x，解得x＝﹣．【點評】本題考查的是新定義、多項式乘多項式和一元一次方程的解法，根據(jù)新定義列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式101】定義：一個多項式A乘以另一個多項式B化簡得到新的多項式C，若C的項數(shù)比A的項數(shù)多不超過1項，則稱B是A的“友好多項式”．特別地，當C的項數(shù)和A相同時，則稱B是A的“特別友好多項式”．（1）若A＝x﹣2，B＝x+3，那么B是否是A的“友好多項式”？請說明理由；（2）若A＝x﹣2，B是A的“特別友好多項式”，①請舉出一個符合條件的二項式B＝．②若B是三項式，請舉出一個符合條件的B，并說明理由；（3）若A是三項式，是否存在同樣是三項式的B，使得B是A的“友好多項式”？若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式的法則計算，根據(jù)“友好多項式”的定義判斷；（2）①根據(jù)“特別友好多項式”的定義解答；②根據(jù)“特別友好多項式”的定義寫出多項式，根據(jù)多項式乘多項式的法則證明；（3）根據(jù)“友好多項式”的定義寫出多項式，根據(jù)多項式乘多項式的法則證明．【解答】解：（1）B是A的“友好多項式”，理由如下：（x﹣2）（x+3）＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6，x2+x﹣6的項數(shù)比A的項數(shù)多不超過1項，則B是A的“友好多項式”；（2）①（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，∴x+2是A的“特別友好多項式”；②（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣2x2+2x2﹣4x+4x﹣8＝x3﹣8，∴x2+2x+4是A的“特別友好多項式”；（3）存在，例如，a+b+c與a+b﹣c是“友好多項式”，理由如下：（a+b+c）（a+b﹣c）＝（a+b）2﹣c2＝a2+2ab+b2﹣c2，∴a+b+c與a+b﹣c是“友好多項式”．【點評】本題考查的是多項式乘多項式，掌握“友好多項式”的定義，多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．【變式102】給出如下定義：我們把有序實數(shù)對（a，b，c）叫做關于x的二次多項式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關于x的二次多項式ax2+bx+c叫做有序實數(shù)對（a，b，c）的特征多項式．（1）關于x的二次多項式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為；（2）求有序實數(shù)對（1，4，4）的特征多項式與有序實數(shù)對（1，﹣4，4）的特征多項式的乘積；（3）若有序實數(shù)對（p，q，﹣1）的特征多項式與有序實數(shù)對（m，n，﹣2）的特征多項式的乘積的結果為2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接寫出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值為．【分析】（1）根據(jù)特征系數(shù)對的定義即可解答；（2）根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再根據(jù)多項式乘多項式進行計算即可；（3）根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．【解答】解：（1）關于x的二次多項式3x2+2x﹣1的特征系數(shù)對為（3，2，﹣1），故答案為：（3，2，﹣1）；（2）∵有序實數(shù)對（1，4，4）的特征多項式為：x2+4x+4，有序實數(shù)對（1，﹣4，4）的特征多項式為：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）根據(jù)題意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，令x＝﹣2，則（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，故答案為：﹣6．【點評】本題考查了多項式乘多項式，新定義問題，給x賦予特殊值﹣2是解題的關鍵．題型11：整式乘法與規(guī)律問題11.觀察下面的幾個算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8（1）按照上面的規(guī)律，依照上面的書寫格式，迅速寫出81×89的結果；（2）用公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab證明上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律[提示：可設這個兩位數(shù)分別是（10n+a）、（10n+b），其中a+b＝10]；（3）簡單敘述以上所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【分析】（1）觀察上面幾個式子，發(fā)現(xiàn)：左邊兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字和是10；則右邊的結果是一個四位數(shù)，其中個位和十位上的數(shù)是左邊兩個因數(shù)的個位相乘，百位和千位上的數(shù)是左邊十位上的數(shù)字和大于十位數(shù)字1的數(shù)相乘．根據(jù)這一規(guī)律即可寫出81×89＝7209；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的兩個數(shù)的特點，用字母表示出來，然后運用公式展開進行證明；（3）既要敘述等式左邊的規(guī)律，還要敘述等式右邊的規(guī)律，即（1）中的敘述．【解答】解：（1）81×89＝8×（8+1）×100+1×9＝7209；（2）設這兩個兩位數(shù)分別是10n+a和10n+b，其中a+b＝10，（10n+a）（10n+b）＝100n2+（a+b）×10n+ab＝100n2+100n+ab＝100n（n+1）+ab；（3）兩個十位數(shù)字相同，個位數(shù)字和是10的兩個兩位數(shù)相乘，等于它們的十位數(shù)字與十位數(shù)字加1的數(shù)相乘的100倍，再加上兩個數(shù)的個位數(shù)字的積．【點評】此題主要考查了整式混合運算的應用，找出題中的規(guī)律是解本題的關鍵．【變式111】觀察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（1）根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（2）利用上述規(guī)律，求1+2+22+23+…+250的值．【分析】（1）根據(jù)已知等式，歸納總結得到一般性結果即可；（2）原式變形后，計算即可得到結果．【解答】解：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+23+…+250）＝251﹣1．故答案為：（1）xn+1﹣1．【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式112】探究應用：（1）計算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計算結果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．【分析】（1）用多項式乘以多項式的法則計算即可；（2）觀察第（1）問的計算，找出規(guī)律，用字母表示即可；（3）判斷各選項是否符合公式的特點；（4）公式的逆用，求得A中有37的因數(shù)即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案為：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）從第（1）問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案為：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一個多項式不是減法，不符合題意；B．最后一項應該是4n2，不符合題意；C．符合題意；D．第二個多項式的第二項應該為mn，不符合題意．故選：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．【點評】本題考查了多項式乘以多項式的法則，考查學生的計算能力，能對公式進行逆用是解題的關鍵．單項式除以單項式法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.多項式除以單項式法則多項式除以單項式：先把多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.即注意：（1）法則包括三個方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式.（2）單項式除法的實質即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項式除以單項式的結果仍為單項式.注意：（1）由法則可知，多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式來解決，其實質是將它分解成多個單項式除以單項式.（2）利用法則計算時，多項式的各項要包括它前面的符號，要注意符號的變化.題型12：整式除法的運算與求值12.計算：（1）（3a2b3）?（﹣2ab4）÷（6a2b3）．【分析】根據(jù)整式的乘除法則進行計算便可．【解答】解：（3a2b3）?（﹣2ab4）÷（6a2b3）＝﹣6a3b7÷（6a2b3）＝﹣ab4．（2）a?a2?a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．【解答】解：a?a2?a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2＝a6+4a6﹣4a8÷a2＝a6+4a6﹣4a6＝a6．（3）計算：a2?a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2．【解答】解：a2?a4﹣6a8÷2a2+（﹣3a3）2＝a6﹣3a6+9a6＝7a6．（2）（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）．【解答】解：（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）＝﹣2x2+3x﹣1．【變式121】計算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．【分析】直接利用單項式乘多項式法則化簡，進而合并，再利用整式的除法運算法則，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加計算得出答案．【解答】解：原式＝[x3y2﹣x2y﹣（x2y﹣x3y2）]÷3x2y＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y＝2x3y2÷3x2y﹣2x2y÷3x2y＝xy﹣．計算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．【分析】把多項式的每一項除以單項式即可得出結果．【解答】解：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）+（﹣2x）＝8x4÷（﹣2x）﹣6x3÷（﹣2x）﹣4x2÷（﹣2x）+10x÷（﹣2x）＝﹣4x3﹣（﹣3x2）﹣（﹣2x）+（﹣5）＝﹣4x3+3x2+2x﹣5．【變式122】若某多項式除以2x2﹣3，得到的商式為x+4，余式為3x+1，求此多項式．【分析】根據(jù)“被除式＝除式×商式+余式”列式計算便可．【解答】解：根據(jù)題意得，這個多項式為：（2x2﹣3）（x+4）+（3x+1）＝2x3+8x2﹣3x﹣12+3x+1＝2x3+8x2﹣11．【點評】此題考查了整式的稅法和除法運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式123】如果，求m，a，b的值．【分析】先根據(jù)整式的除法運算法則計算已知等式的左邊，再根據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵，∴．則，解得【點評】此題考查的是整式的除法運算，掌握其法則是解決此題的關鍵．一、單選題1．下列各式正確的是（）.A．4=22 B．20=0 C．3【答案】D【解析】【解答】解：A、4=2，故A不符合題意；

B、20=1，故B不符合題意；

C、3a2a=a，故C不符合題意；

D、2（2）=2+2=4，故D符合題意；

故答案為：D.

【分析】利用正數(shù)的算術平方根只有一個，可對A作出判斷；利用任何不等于0的數(shù)的0次冪為1，可對B作出判斷；合并同類項是把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，可對C作出判斷；利用減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，可對D作出判斷2．下列計算結果是x6的是（）A．x3+x3 B．x4÷x2【答案】D【解析】【解答】解：A.x3+xB.x4÷C.x2?xD.(x3)2故答案為：D．

【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法除法、冪的乘方以及合并同類項等知識，熟練掌握相關法則是關鍵。3．已知(x-1)3=axA．1 B．0 C．1 D．不能確定【答案】B【解析】【解答】∵(x-1)3=∴a=1，b=3，c=3，d=1，∴a+b故答案為：B．【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則，求出a，b，c，d的值，進而即可求解．4．下列運算中，結果正確的是（）A．a(chǎn)3÷a3=a B．a(chǎn)2+a2=a4 【答案】D【解析】【解答】A、原式＝1，不符合題意；B、原式＝2a2，不符合題意；C、原式＝a6，不符合題意；D、原式＝a7，符合題意．故答案為：D．

【分析】利用同底數(shù)冪的除法、乘法，積的乘方及合并同類項逐項判定即可。5．下列運算正確的是（）A．（x3）3=x9 B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=x D．x6÷x3=x2【答案】A【解析】【解答】解：A、底數(shù)不變指數(shù)相乘，A符合題意.B、（﹣2x）3=﹣8x3，B不符合題意.C、不是同類項不能合并，C不符合題意.D、底數(shù)不變指數(shù)相減，D不符合題意.故答案為：A．【分析】冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.6．下列運算正確的是（）A．7a3-3C．a(chǎn)6÷a3【答案】D【解析】【解答】解：A、7a3與3aB、(a2C、a6÷D、-a(-故答案為：D.【分析】根據(jù)合并同類項、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、單項式乘以多項式分別計算，然后判斷即可.二、填空題7．計算(a2)3÷a【答案】a【解析】【解答】解：(==故答案為：a4【分析】由冪的乘方法則“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”及同底數(shù)冪的除法法則“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”進行計算.

8．計算：-9-π0【答案】-【解析】【解答】解：-9-π