上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為2．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要3．音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”……依此?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列4．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B.13C.45 D.1175．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：36．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.7．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.8．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為，則C的方程為A. B.C. D.9．方程表示的曲線是（）A.一個(gè)橢圓和一個(gè)點(diǎn) B.一個(gè)雙曲線的右支和一條直線C.一個(gè)橢圓一部分和一條直線 D.一個(gè)橢圓10．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.11．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個(gè)面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程，若此方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；若此方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.14．寫出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________15．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________16．已知函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為（1）求a，b的值；（2）的極值18．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計(jì)劃采用階梯電價(jià)，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價(jià)收費(fèi)，說明理由.19．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點(diǎn).（?。┤糁本€的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點(diǎn)在上，.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.20．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：21．（12分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵(lì)全民閱讀經(jīng)典書籍，某市舉行閱讀月活動(dòng)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)某街道約10000人在該活動(dòng)月每人每日平均閱讀時(shí)間（分鐘）的頻率分布直方圖如圖：（1）求x的值；（2）從該街道任選1人，則估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.2、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B3、C【解析】根據(jù)文化知識(shí)，分別求出相對應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C5、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.6、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：A7、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)8、A【解析】若△AF1B的周長為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)9、C【解析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個(gè)橢圓的一部分和一條直線.故選：C10、B【解析】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，利用點(diǎn)差法可得答案.【詳解】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則因?yàn)椋瑑墒较鄿p可得，，即由中點(diǎn)公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B11、C【解析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸，，，，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C12、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個(gè)面，則A錯(cuò)誤；對于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，則C錯(cuò)誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯(cuò)誤故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】分別根據(jù)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征建立不等式即可求解.【詳解】當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，則有且，所以的取值范圍是；當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，則有或，所以的取值范圍是.故答案為：；14、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）15、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)16、3【解析】根據(jù)定義域和值域，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，由余弦函?shù)的圖像與性質(zhì)可得，則，由值域?yàn)榭傻?，所以，故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）極大值為，極小值為【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為，列出方程組，解之即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【小問1詳解】解：，，；【小問2詳解】解：由（1）得，令，得或，，－1（－1，3）3＋0－0＋的極大值為，極小值為.18、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi)，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個(gè)區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)175作為眾數(shù)的估計(jì)值，所以眾數(shù)的估計(jì)值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計(jì)值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi).19、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式可求面積表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達(dá)定理化簡可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點(diǎn)，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點(diǎn)到直線的距離，所以，等號(hào)當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取，即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，，由（?。┲核?，所以，解得，，直線過定點(diǎn)或，所以D在以O(shè)Z為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點(diǎn)或，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上可得；21、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和為1計(jì)算可得的值；（2）求頻率分布直方圖中每人每日平均閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率即為這個(gè)人閱讀時(shí)間超過60分鐘的概率.【小問