湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)一中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)一中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．兩平行直線(xiàn)l1：3x+2y+1＝0與l2：6mx+4y+m＝0之間的距離為A.0 B.C. D.3．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）.A. B.C. D.4．某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為14人，則樣本中的中年職工人數(shù)為（）A.10 B.30C.50 D.705．平面與平面平行的條件可以是（）A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線(xiàn)與平行 B.直線(xiàn)，C.直線(xiàn)，直線(xiàn)，且， D.內(nèi)的任何直線(xiàn)都與平行6．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為：（）A. B.C. D.7．已知，則x等于A. B.C. D.8．若直線(xiàn)的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程是A. B.C. D.9．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0C.1 D.210．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為()A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，若對(duì)所有的及任意的都滿(mǎn)足，則的取值范圍是__________12．已知=，則=_____.13．求值：2+=____________14．已知，，則___________.15．已知函數(shù)，則=_________16．已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)既無(wú)最大值也無(wú)最小值；③對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)；④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求出函數(shù)在上解析式；（2）若與有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．若函數(shù)定義域?yàn)椋掖嬖诜橇銓?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意恒成立，稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)（1）分別判斷下列函數(shù)是否滿(mǎn)足性質(zhì)并說(shuō)明理由①②（2）若函數(shù)既滿(mǎn)足性質(zhì)，又滿(mǎn)足性質(zhì)，求函數(shù)的解析式（3）若函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)，求證：存在，使得19．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求證：函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)；（3）求滿(mǎn)足的的取值范圍.20．已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書(shū)館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書(shū)館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書(shū)館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書(shū)館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(?。?.414)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D2、C【解析】根據(jù)兩平行直線(xiàn)的系數(shù)之間的關(guān)系求出,把兩直線(xiàn)的方程中的系數(shù)化為相同的,然后利用兩平行直線(xiàn)間的距離公式,求得結(jié)果.【詳解】直線(xiàn)l1與l2平行,所以,解得,所以直線(xiàn)l2的方程為:,直線(xiàn):即,與直線(xiàn):的距離為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)平行的充要條件,兩平行直線(xiàn)間的距離公式,注意系數(shù)必須統(tǒng)一,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式化為，解得答案【詳解】解：由函數(shù)為奇函數(shù)，得，不等式即為，又單調(diào)遞減，所以得，即，故選：D.4、A【解析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)，結(jié)合已知求樣本中中年職工人數(shù).【詳解】由題意知，青年職工人數(shù)：中年職工人數(shù)：老年職工人數(shù)＝350：250：150＝7：5：3由樣本中的青年職工為14人，可得中年職工人數(shù)為10故選：A5、D【解析】由題意利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論【詳解】解：當(dāng)內(nèi)有無(wú)窮多條直線(xiàn)與平行時(shí)，與可能平行，也可能相交，故A錯(cuò)誤當(dāng)直線(xiàn)，時(shí)，與可能平行也可能相交，故B錯(cuò)誤當(dāng)直線(xiàn)，直線(xiàn)，且，，如果，都平行，的交線(xiàn)時(shí)滿(mǎn)足條件，但是與相交，故C錯(cuò)誤當(dāng)內(nèi)的任何直線(xiàn)都與平行時(shí)，由兩個(gè)平面平行的定義可得，這兩個(gè)平面平行，故D正確；故選：D6、C【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理即得.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)單調(diào)遞減，，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.7、A【解析】把已知等式變形，可得，進(jìn)一步得到，則x值可求【詳解】由題意，可知，可得，即，所以，解得故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理指數(shù)冪與根式的運(yùn)算，其中解答中熟記有理指數(shù)冪和根式的運(yùn)算性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】直線(xiàn)l的斜率等于tan45°=1，由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)l的方程為y-0=，即故選：B9、C【解析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到，然后利用方程求解，，則答案可求【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，故故選：C.10、D【解析】求出g(x)解析式，作出g(x)圖像，根據(jù)圖像即可求解﹒【詳解】由題得，，，∵，∴＝1且＝－1或且＝1，作的圖象，∴的最小值為＝，故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意得，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)，任意的時(shí)，，轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，即可求解.【詳解】由題意，得，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有，所以在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，所以或或解得：或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的求解，求解的關(guān)鍵是把不等式的恒成立問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.12、##0.6【解析】尋找角之間的聯(lián)系，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可【詳解】故答案為：13、-3【解析】利用對(duì)數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則求解【詳解】解：（）lg（1）lg1[（）3]2+（）02+1＝﹣3故答案為﹣3【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則的合理運(yùn)用14、【解析】根據(jù)余弦值及角的范圍，應(yīng)用同角的平方關(guān)系求.【詳解】由，，則.故答案為：.15、【解析】按照解析式直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：-3.16、①②③④【解析】分別作出，和的函數(shù)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時(shí)函數(shù)的圖象，對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，，圖象如圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對(duì)于②：由三個(gè)圖知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)既無(wú)最大值也無(wú)最小值；故②正確；對(duì)于③：如圖和圖中存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象與沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確對(duì)于④：如圖，對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式即可（2）與圖象交點(diǎn)有3個(gè)，畫(huà)出圖象觀察，求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）①由于函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.所以.綜上：.（2）圖象如下圖所示：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間：.因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不同的解，由圖象可知，，即18、（1）①②滿(mǎn)足性質(zhì)，理由見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）計(jì)算，，得到答案.（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)變換得到，，，解得答案.（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到，取，當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足條件，得到答案.【小問(wèn)1詳解】，故滿(mǎn)足；，故滿(mǎn)足.【小問(wèn)2詳解】且，故，，，解得.【小問(wèn)3詳解】，故，取得到，即，取，當(dāng)時(shí)，，故存在滿(mǎn)足.19、（1）為奇函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（Ⅰ）求出定義域?yàn)閧x|x≠0且x∈R}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較即可得到奇偶性；（Ⅱ）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號(hào)、下結(jié)論等步驟；（Ⅲ）討論x＞0，x＜0，求出f（x）的零點(diǎn)，再由單調(diào)性即可解得所求取值范圍試題解析：（1）定義域?yàn)閧x|x≠0且x∈R}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以為奇函數(shù)；（2）任取，所以在為單調(diào)增函數(shù)；（3）解得，所以零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由（2）可得的的取值范圍為，的的取值范圍為，又該函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由（2）可得的的取值范圍為，綜上：所以解集為.20、（1）（2）【解析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出A的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案；（2）根據(jù)，可得，由此列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.【小問(wèn)1詳解】，則或，當(dāng)時(shí)，，；【小問(wèn)2詳解】若，則，，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，即.21、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(s