2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2第2課時基本不等式與最大值最小值學案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE其次課時基本不等式與最大值、最小值內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.嫻熟駕馭基本不等式及變形的應用．邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模2.會用基本不等式解決簡潔的最大(小)值問題．3.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.授課提示：對應學生用書第22頁[教材提煉]學問點基本不等式求最大值、最小值eq\a\vs4\al(預習教材，思索問題)(1)當x＞0，y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是幾？(2)當x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是幾？學問梳理(1)用基本不等式求最值．①設x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(s為定值)，則當x＝y(tǒng)＝eq\f(s,2)時，積xy有最大值為eq\f(s2,4).②設x，y為正實數(shù)，若xy＝p(p為定值)，則當x＝y(tǒng)＝eq\r(p)時，和x＋y有最小值為2eq\r(p).(2)基本不等式求最值的條件①x，y必需是正數(shù)．②求積xy的最大值時，應看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時，應看積xy是否為定值．③等號成立的條件是否滿意．[自主檢測]1．x2＋y2＝4，則xy的最大值是()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4答案：C2．已知－1≤x≤1，則1－x2的最大值為________．答案：13．當x＞1時，x＋eq\f(1,x－1)的最小值為________．答案：3授課提示：對應學生用書第22頁探究一用基本不等式求最值[例1][教材P45例1探究拓展](1)若x＞0，求函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)的最小值，并求此時x的值；[解析]∵x＞0.∴x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4當且僅當x＝eq\f(4,x)，即x2＝4，x＝2時取等號．∴函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)(x＞0)在x＝2時取得最小值4.(2)設0＜x＜eq\f(3,2)，求函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值；[解析]∵0＜x＜eq\f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).當且僅當2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)時，等號成立．∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函數(shù)y＝4x(3－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值為eq\f(9,2).(3)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；[解析]∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，當且僅當x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4時，等號成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值為6.(4)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[解析]∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12時，上式取等號．故當x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16.應用基本不等式的常用技巧(1)常值代替這種方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均為正數(shù))，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值”和“已知eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1(a，b，x，y均為正數(shù))，求x＋y的最小值”兩類題型．(2)構造不等式當和與積同時出現(xiàn)在同一個等式中時，可利用基本不等式構造一個不等式從而求出和或積的取值范圍．(3)利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應比照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設應用基本不等式的條件．設x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．解析：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2x＋y,x)＋eq\f(2x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(\f(y,x)·\f(2x,y))＝3＋2eq\r(2)，當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(2x,y)，即y＝eq\r(2)x時，等號成立，解得x＝1－eq\f(\r(2),2)，y＝eq\r(2)－1，∴當x＝1－eq\f(\r(2),2)，y＝eq\r(2)－1時，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值3＋2eq\r(2).探究二基本不等式的實際應用[例2]如圖，汽車行駛時，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫做“剎車距離”．在某馬路上，“剎車距離”s(米)與汽車車速v(米/秒)之間有閱歷公式：s＝eq\f(3,40)v2＋eq\f(5,8)v.為保證平安行駛，要求在這條馬路上行駛著的兩車之間保持的“平安距離”為“剎車距離”再加25米．現(xiàn)假設行駛在這條馬路上的汽車的平均身長5米，每輛車均以相同的速度v行駛，并且每兩輛車之間的間隔均是“平安距離”．(1)試寫出經(jīng)過觀測點A的每輛車之間的時間間隔T與速度v的函數(shù)關系式；(2)問v為多少時，經(jīng)過觀測點A的車流量(即單位時間通過的汽車數(shù)量)最大？[解析](1)T＝eq\f(s＋25＋5,v)＝eq\f(\f(3v2,40)＋\f(5v,8)＋30,v)＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8).(2)經(jīng)過A點的車流量最大，即每輛車之間的時間間隔T最?。逿＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8)≥2eq\r(\f(30,v)·\f(3v,40))＋eq\f(5,8)＝eq\f(29,8)，當且僅當eq\f(3v,40)＝eq\f(30,v)，即v＝20時取等號．∴當v＝20米/秒時，經(jīng)過觀測點A的車流量最大．利用基本不等式解決實際問題時，一般是先建立關于目標量的函數(shù)關系，再利用基本不等式求解目標函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件．某公司一年須要一種計算機元件8000個，每天需同樣多的元件用于組裝整機，該元件每年分n次進貨．每次購買元件的數(shù)量均為x，購一次貨需手續(xù)費500元．已購進而未運用的元件要付庫存費，假設平均庫存量為eq\f(1,2)x件，每個元件的庫存費為每年2元，假如不計其他費用，請你幫公司計算，每年進貨幾次花費最??？解析：設每年購進8000個元件的總花費為S，一年總庫存費用為E，手續(xù)費為H，每年分n次進貨，則x＝eq\f(8000,n)，E＝2×eq\f(1,2)×eq\f(8000,n)，H＝500n.所以S＝E＋H＝2×eq\f(1,2)×eq\f(8000,n)＋500n＝eq\f(8000,n)＋500n＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,n)＋n))≥4000.當且僅當eq\f(16,n)＝n，即n＝4時總費用最少，故以每年進貨4次為宜．授課提示：對應學生用書第23頁一、用基本不等式求最值的策略eq\x(?邏輯推理、數(shù)學運算)1．配湊以拼湊出和是定值或積是定值的形式為目標，依據(jù)代數(shù)式的結構特征，利用系數(shù)的改變或?qū)Τ?shù)的調(diào)整進行奇妙變形，留意做到等價變形．一般地，形如f(x)＝ax＋b＋eq\f(e,cx＋d)的函數(shù)求最值時可以考慮配湊法．[典例]函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x＞－1)的最小值為________．[解析]因為y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，因為x＞－1，所以x＋1＞0，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，當且僅當x＝0時，等號成立．[答案]02．常值代換利用“1”的代換構造積為定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))為定值，求cx＋dy(或eq\f(c,x)＋eq\f(d,y))的最值(其中a，b，c，d均為常參數(shù))”時可用常值代換處理．[典例]若正數(shù)x，y滿意3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)(eq\f(3,y)＋eq\f(1,x))＝eq\f(1,5)(4＋9＋eq\f(3y,x)＋eq\f(12x,y))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，當且僅當eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x時，等號成立，故4x＋3y的最小值為5.[答案]D3．探究通過換元法使得問題的求解得到簡化，從而將困難問題化為熟識的最值問題處理，然后利用常值代換及基本不等式求最值．[典例]設x，y是正實數(shù)，且x＋y＝1，則eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值為________．[解析]令x＋2＝m，y＋1＝n，則m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)＝eq\f(m－22,m)＋eq\f(n－12,n)＝eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)－2＝(eq\f(4,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,4)＋eq\f(n,4))－2＝eq\f(m,4n)＋eq\f(n,m)－eq\f(3,4)≥2eq\r(\f(m,4n)·\f(n,m))－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,4n)＝\f(n,m)，,m＋n＝4))即m＝eq\f(8,3)，n＝eq\f(4,3)時取等號．所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值為eq\f(1,4).[答案]eq\f(1,4)4．減元當題中出現(xiàn)了三個變元，我們要利用題中所給的條件構建不等關系，并減元，在減元后應留意新元的取值范圍．[典例]已知x，y，z均為正實數(shù)，且x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為________．[解析]由x－2y＋3z＝0得y＝eq\f(x＋3z,2)，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2).又x，z均為正實數(shù)，所以eq\f(x,4z)＞0，eq\f(9z,4x)＞0，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2)≥2eq\r(\f(x,4z)·\f(9z,4x))＋eq\f(3,2)＝3，當且僅當eq\f(x,4z)＝eq\f(9z,4x)即x＝3z時取等號．所以eq\f(y2,xz)的最小值為3.[答案]3二、忽視基本不等式的應用條件eq\x(?邏輯推理、數(shù)學運算)[典例]已知一次函數(shù)mx＋ny＝－2過點(－1，－2)(m＞0，n＞0)．則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\f(3＋2\r(2),2) D.eq\f(3－2\r(2),2)[解析]由題意得eq\f(m,2)＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,2)＋n)＝eq\f(3,2)＋eq\f(m,2n)＋eq\f(n,m)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(1,2))＝eq\f(3＋2\r(2),2)，當且僅當eq\f(m,2n)＝eq\f(n,m)即m＝eq\r(2)n時取等號．故選C.[答案]C糾錯心得應用基本不等式求最值時，必需遵循“一正、二定、三相等”的依次．本題中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若采納兩次基本不等式，有如下錯