101二重積分的概念與性質(zhì)

第10章二重積分

10.1

二重積分的概念與性質(zhì)10.1.1背景材料１．曲頂柱體的體積設(shè)有一立體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面，此立體稱為曲頂柱體。這里且在上連續(xù)。它的頂是曲面柱體體積=特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=曲頂柱體特點(diǎn)：曲頂.分析：底面積×高？回憶：曲邊梯形面積如何求？思想是以直代曲、以不變代變。如何創(chuàng)造條件使平與曲這對矛盾轉(zhuǎn)化？

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：(2)用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，(1)先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，(3)

曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似所有小塊質(zhì)量之和在點(diǎn)處的面密度為假定在上連續(xù)，設(shè)有一平面薄片，面上的閉區(qū)域占有平面薄片的質(zhì)量為多少？看作均勻薄片，近似等于薄片總質(zhì)量10.1.2二重積分的定義

定義10.1

是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，分割將閉區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域其中表示第個小閉區(qū)域，也表示它的面積；作乘積，求和上任取一點(diǎn)(1)在每個(2)作和積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素若極限即令各小閉區(qū)域的直徑中的最大值為記為二重積分，在閉區(qū)域上的則稱此極限為函數(shù)（3）取極限存在，在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的；在小區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的取法是任意的。二重積分中面積元素象征著積分和中的因此

在直角坐標(biāo)系下用平行于則面積元素為坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域故在直角坐標(biāo)系下二重積分可寫為●●●10.1.2二重積分的定義

二重積分的幾何意義若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在D上的二重積分存在。（1）當(dāng)時，二重積分表示以為底的曲頂柱體體積。為頂，以此時，二重積分表示曲頂柱體體積的負(fù)值。（2）當(dāng)被積函數(shù)時，柱體在面下方，●●（3）當(dāng)在10.1.2二重積分的定義

的若干部分區(qū)域上是正的，而在其它部分區(qū)域上是負(fù)的，取為正，面下方的柱體體積取為負(fù)，在上的二重積分就等于這些區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.例設(shè)為圓域二重積分則面上方的柱體體積可以把為常數(shù)，則性質(zhì)10.2設(shè)10.1.3二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)10.1若為的面積，則性質(zhì)10.3設(shè)性質(zhì)10.4對區(qū)域具有可加性在在上可積，則性質(zhì)10.5則有若在上，性質(zhì)10.6若在上，可積，則有性質(zhì)10.7最大值和最小值，為D的面積，設(shè)分別是在閉區(qū)域D上的則10.1.3二重積分的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)),(yxf在閉上連續(xù)，（二重積分中值定理）性質(zhì)10.10

的面積，為證顯然在上的最大值和最小值分別為則所以由介值定理可知：在上至少存在一點(diǎn)使得兩端乘以就得所要證的不等式.上至少存在一點(diǎn)使得則在區(qū)域10.1.3二重積分的性質(zhì)

●二重積分中值定理幾何意義若為在閉區(qū)域