114矩陣的初等行變換及應(yīng)用

第四節(jié)矩陣的初等行變換及應(yīng)用一矩陣的初等行變換定義1初等行變換（1）互換任意兩行的位置：（2）用非零數(shù)乘某行：（3）用一個常數(shù)乘矩陣的某一行，再加到另一行上去：定義2把滿足下列條件的矩陣稱為行階梯矩陣（簡稱階梯形）（1）如果第i行元素全為零，則當時，第j行（如果有的話）的元素也都為零；（2）如第i行元素不全為零，并且其第一個不為零的元素位于第j列，則時，。如

，，等都是階梯形，但不是階梯形。定義3一階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣，如果其元素不全為零行的第一個不為零的元素都為1，并且其所在列的其它元素都為零。如，都是行最簡形矩陣。例1將矩陣化為階梯形矩陣解：例2將矩陣化為行最簡矩陣解：二.矩陣初等行變換的應(yīng)用1用初等變換求逆矩陣方法：例3用初等變換求矩陣的逆矩陣

用初等變換求逆矩陣時，不必先考慮逆矩陣是否存在，只要注意在初等變換過程中，如果發(fā)現(xiàn)直線左邊某一行的元素都是零，則逆矩陣就不存在。例4用逆矩陣法求方程組的解：注：用逆矩陣法可解更為一般的矩陣方程。如由AXB=C得（只要右端有意義）.例5解矩陣方程AXB=C。其中2.用初等變換求矩陣的秩定義如果一個矩陣，從第二行起每個非零行的第一個非零元素出現(xiàn)在上一行第一個非零元素的右邊，同時，沒有一個非零行出現(xiàn)在零行之下，則稱該矩陣為階梯形矩陣。例如和都是階梯形矩陣例6利用初等變換將下列矩陣化為階梯形矩陣：定義如果矩陣A經(jīng)過初等變換化為階梯行矩陣B,且B的非零行的行數(shù)為r,則稱A的秩為r,記作R(A)=r.顯然，上例5中，R(A)=3.例7求矩陣的秩。例8求矩陣的秩。3.用初等變換解線性方程組——高斯消元法定義線性方程組（1）如果有解，我們稱方程組（1）是相容的；如果（1）無解，則稱方程組（1）是不相容的。定義由線性方程組（1）的系數(shù)構(gòu)成的矩陣，即叫做線性方程組（1）的系數(shù)矩陣。由線性方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成的矩陣，即叫做線性方程組（1）的增廣矩陣例9用消元法解線性方程組有時根據(jù)需要，可對線性方程組先進行加減消元，然后進行代入消元。如例8中，可先用加減消元法（初等行變換）將化為階梯形矩陣，此時，得到與原方程組同解的方程組

然后用代入消元法，由最后一個方程開始向上逐個回代，即可得到方程組的解高斯消元法的定義：（1）對線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換，使之成為階梯形矩陣，且使對應(yīng)的系數(shù)矩陣變成單位陣（如有可能的話），以求得線性方程組的解；（2）對線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換，使之成為階梯形矩陣，然后用代入消元法解相應(yīng)的同解方程組。以上兩種方法統(tǒng)稱為高斯消元法。例10用高斯消元法解線性方程組

一般地，線性方程組中未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù)不一定相等。對于方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相等的方程組，高斯消元法也同樣適用。定義如果方程組

（2）的常數(shù)項不全為零，則方程組（2）稱為非齊次線性方程組若全為零，即（3）則稱方程組（3）為齊次線性方程組例11討論線性方程組的解。結(jié)論：對于齊次線性方程組而言，（1）它必有解（例如零解）；（2）當R(A)等于未知數(shù)的個數(shù)n時，它僅有零解；（3）當R(A)小于未知數(shù)的個數(shù)n時，它有無窮多組解，且必存在基礎(chǔ)解系。例12討論方程組的解。例13求解方程組：結(jié)論：對于非齊次線性方程組而言，（1）它有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩；（2）當時，它無解；（3）當未知數(shù)的個數(shù)n時，它有唯一解；（4）當