初中升高中數(shù)學(xué)銜接：教材18講配答案

Qq初高中數(shù)學(xué)銜接教材

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1〃的分解，對系數(shù)不為"1”的涉及不多，而且對三

次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的

解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。

配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是

高中數(shù)學(xué)必須掌握的基此題型與常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類

題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被

視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右

平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這局部內(nèi)容視為重難點。

方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何局部很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定

理等：初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識的講授。

目錄

11數(shù)與式的運(yùn)算

11.1絕對值

11.2乘法公式

11.3二次根式

11.4分式

12分解因式

21一元二次方程

21.1根的判別式

21.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

22二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)尸&f+以+。的圖像和性質(zhì)

22.2二次函數(shù)的三種表示方式

22.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

23方程與不等式

23.1二元二次方程組解法

23.2一元二次不等式解法

31相似形

31.1.平行線分線段成比例定理

31.2相似形

32三角形

32.1三角形的“四心”

32.2幾種特殊的三角形

33圓

33.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

33.2點的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1,絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即

a,a>0,

|止(0,4=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：-目表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)Z?之間的距離.

例1解不等式：卜-1|+上一3|>4.

解法一：由冗一1=0,得x=l；由4—3=0,得x=3；

①假設(shè)x<l,不等式可變?yōu)橐?-1)一。-3)>4,

即-2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

：.x<0；

②假設(shè)1W1V2,不等式可變?yōu)?x-1)-(工-3)>4,

即1>4,

???不存在滿足條件的X；

③假設(shè)”之3,不等式可變?yōu)?x-l)+(x-3)A4,

即2x-4>4,解得4>4.

又應(yīng)3,、點B之間的距離|P8|,即儼B|=|x-3|.

所以，不等式

由H5|=2,可知

點P在點C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點P在點。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).

x<0,或x>4.

練習(xí)

1.填空：

(1)假設(shè)忖=5,那么戶；假設(shè)兇=卜4|,那么m.

(2)如果時+網(wǎng)=5,且。=一1,那么力=；假設(shè)|1-4=2,那么c=.

2.選擇題：

以下表達(dá)正確的選項是()

(A)假設(shè)同=|小那么a=6(B)假設(shè)同>網(wǎng),那么a>6

(C)假設(shè)avb,那么14VMi(D)假設(shè)同=網(wǎng)，那么a=±Z?

3.化簡：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中己經(jīng)學(xué)習(xí)過了以下一些乘法公式：

〔1〕平方差公式(a+b\a-b)=cr-b\

〔2〕完全平方公式(〃±Z?)2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式:

C1〕立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+Z?3；

〔2〕立方差公式(a-b)(a2+ab+Z/)=/一/；

〔3〕三數(shù)和平方公式(a+h-c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

〔4〕兩數(shù)和立方公式(a+bp=/+3a2b+3ab2+by；

〔5〕兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(X-1)(X2-X+1)(X2+X+1).

解法一：原式=。2一1)[(工2+])2一12]

=(X2-1)(X4+JT2+1)

=x6-l.

解法二：原式="+1)(/-x+l)(x-l)(x2+x+l)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-l.

例2a+b+c=4,ab-^-bc+ac=4,求[2+〃+/的值.

解：a2+b2+c2=(a+h+c)2-2(ab+be+ac)=8.

練習(xí)

1.填空：

(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m+)2=16ni2+4w+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)假設(shè)/+,對+人是一個完全平方式，那么欠等于

)

2

(A)m2(B)-nr(C)-nr(D)—m2

4316

(2)不管。，b為何實數(shù)，/+/一2。一46+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如NO)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為

無理式.例如3a+J/+"2b,后壽等是無理式，而缶2+等工+1,爐+應(yīng)孫+/，等

是有理式.

I.分母〔子〕有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化

因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互

為有理化因式，例如血與VL3&與百+C與2b-3頁與26+3近，等等.

般地，。五與4，a4x-\-b^[ya4x-by[y,白石+b與外后一互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化

那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

&揚(yáng)=A/拓(。20,620)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行

運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的根底上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式的意義

a,a>0,

-a,a<0.

例1將以下式子化為最簡二次根式:

(1)712^：(2)V^(?>0)；⑶也。(工〈0).

解：(1)Vi/=2?。?/p>

(2)\la2b=|a|\[b=a\[b(a>0)；

(3)y/^y=2|x3|7?=-2x3yfy(x<0).

例2計算：百.(3-百).

解法一：6+(3-百)=產(chǎn)=

3-V373(73-1)

_6.(3+@

一(3--)(3+拘V3-1

3肉36+1

(V3-1)(73+1)

9-3

_3(73+1)V3+1

62

_V3-H

2

n

解法二：6+(3—6)=產(chǎn)=

3-V3

例3試比擬以下各組數(shù)的大?。?/p>

(1)\fv2—JTT和JiT—>/10；(2)—7=----和2\/^—>/6.

V6+4

Vi2-Vn(V12-Vn)(Vi2+ViT)i

解:(1)v5/12-5/11=

V12+Vn一疵+而，

而一布—（而-加（而+加）]

Vn-Vio

1-VT1+屈ViT+Vio

又JiE十Jil>JTiT,

：.y/V2-y/n<y/H-y/\0.

⑵,：2丘-遙=巫巫=匹畢沁=一~^

12V2+V62V2+V6

又4>2g,

，加+4>加+2#，

???-?2—V2在一后

V6+4

例4化簡：（右+夜產(chǎn)-（石-應(yīng)產(chǎn).

解：（6+&）2期?（行-尤嚴(yán)§

=（百+祀產(chǎn)乂"-V2）2（X）4.（石-應(yīng)）

=[(G+&)?(G-垃)『期.(x/3-V2)

—12004.(5y—5/2)—y/3—5/2.

例5化簡：11)V9-45/5：

解：(1)原式=J5+4J5+4

(2)原式==x--

22\XX

=7(^)+2X2XX/5+2

VO<A<1,

二J(2-百了

*<?—>1>X,

=2_閩二石-2.X

所以，原式=1-兀

X

6-叵，二色e

例6&&y一艮近求3工2一5孫+3/的值.

解:.,?中=^^+卷*回?fù)P*用物2=1°,

_V3-V2V3+V2

:.3x2-5^+3y2=3(x+y)2-11^=3x102-11=289.

練習(xí)

填空:

(1)恪__________;

1+V3

(2)假設(shè)J(5-X)(X-3)2=(X-3)4^，那么尢的取值范圍是；

⑶45/24-6>/54+3796-25/150=；

(A)心、4亞琳，Vx+1—y/x—\Jx+l+Jx—1

(4)假設(shè)方=丁，那么/_^=+-7=_^==_________________

2yJX+\+yjx—\J/+1—\/x—\

2.選擇題：

成立QQ群416652117的條件是)

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

假設(shè)〃=也三士YEM,求。+人的值.

3.

。+1

4.比擬大?。?—小______小一幣（填,或"V"）.

1.1.4.分式

1.分式的意義

AAA

形如一的式子，假設(shè)8中含有字母，且5工0,那么稱一為分式.當(dāng)A#0時，分式一具有以下性質(zhì):

BBB

AAxM

BBxM

AA^M

萬一B+M

上述性質(zhì)被稱為分式的根本性質(zhì).

2.繁分式

a

像一生，，〃：〃十〃這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

n+p

SI-4-4AR

例1假設(shè)=々十二一,求常數(shù)A8的值.

x(x+2)xx+2

..AB4(x+2)4-Bx(A+B)x+2A5x+4

M：,?*-I---------=--------------------=---------------------=------------

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.14+8=5,

2A=4,

解得A=2,B=3.

例2(l)試證：---=-一——(其中〃是正整數(shù)〕：

n(n+\)n〃+1

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，有」—+」-+-+—!—<1.

2x33x4w(n-l)2

〔1〕證明：???4一一L=(〃+i)f__!_,

n〃+1〃("+1)〃(〃+1)

:.—!—=-一——(其中〃是正整數(shù))成立QQ群416652117.

〃(〃+1)n724-1

〔2〕解：由⑴可知

----+----+

1x22x3

9

1010

111_

〔3〕證明:--------1--------十???+

2x33x4n(n+\)

11

=--------，

2n+\

又吩2,且〃是正整數(shù),

???露一定為正數(shù)，

-L+-L+…

2x33x4n(n+l)2

例3設(shè)e=￡,fl.e>1,2c2—5優(yōu)?+2?=0,求《的信.

a

解：在2c5ac+2a2=0兩邊同除以白2,得

2/—5?+2=0,

???(2e-l)(e—2)=0,

?'?^=2〈I，舍去；或e=2.

；?e=2.

練習(xí)

1.填空題：

對任意的正整數(shù)〃，一!—=一(-一一—)：

n(n+2)nn+2

2.選擇題：

假設(shè)生？=那么土=

)

x+y3y

54(、6

(A)1(B)-(C)-(D)-

455

正數(shù)滿足肛，求^^的值.

3.Y-y?=2

x+y

計算」一+」一+」一+...+—5—

4.

1x22x33x499x100

習(xí)題1.1

A組

I.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.x+y=1,求V+y3+3肛的值.

3.填空：

⑴(2+物8(2_后9=；

(2)假設(shè)J(l_〃)2+J(1+a)2=2,那么〃的取值范圍是；

11111

瓦方十京百石酒京營后函=----

B組

1.填空:

.1口口，3a2-ab

(1)。=一b=一，那么-------------7

233a2+5ab-2b2

⑵假設(shè)Y+盯-2y2=0,那么_________

x+y

2?:x=；,y=!‘求廠”廠--廠立廠的值.

23y/x-y/y'x+'y

C組

1.選擇題：____________

(1)限設(shè)/"人2寂=口一行,那么)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

。行等于

(2)計算)

(A)4-ci(B)4a(C)一口(D)-\[a

2(f+4-)-3(X+-)-1=0.

2.解方程

xx

計算：-^-+—+—1

3.+…+

1x32x43x59x11

1

4.試證：對任意的正整數(shù)小有-------------1-----------------F???d--------------------------<4-

1x2x32x3x4〃(〃+l)(〃+2)

1.1.1.絕對值

1.(1)±5；±4(2)±4；一1或32.D3.3x-18

1.1.2.乘法公式

11J

1.⑴-a-bf⑵(3)4ab-2ac-4bc

322,4

2.⑴D(2)A

1.1.3.二次根式

1.(1)V3-2(2)3<x<5(3)-8限(4)卮

2.C3.14.>

1.1.4.分式

I—99

2.B3.>/2—I4.-----

2100

習(xí)題1.1

A組

1.(1)XV-2或x>4(2]-4<x<3(3)xV—3,或x>3

2.13.(1)2-V3(2)-l<a<l(3)娓-1

B組

-(2)2,或一12.4.

1.(1)

725

C組

?36

1.(1)C(2)C2.X.=—=23.一

12255

4,提示：-----!~-=h—!----------------!--]

〃(〃+1)(〃+2)2〃("+1)(714-1)(/24-2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及

待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(I)/一31+2；(2)f+4x—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-\+x-y.

解：(1)如圖1.2-1,將二次項/分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一1與一2的乘積,

而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是f—3x+2中的一次項，所以，有

X2—3x+2=(x—l)(x—2).

圖1.2-1圖1.2-2圖1.2-3圖1.2-4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.2-1中的兩個x用1來表示［如圖

1.2-2所示).

(2)由圖1.2-3,得

x2+4x—12=(x—2)(x+6).

(3)由圖1.2-4,得

x2一(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-\+x-yy)—1

圖I.2-5

=U-l)(y+l)(如圖1.2—5所示).

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)x3+9+3x2+3x；(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

解：(1)X3+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(X+3)(X2+3).

或

^+9+3%2+3^=(^3+3%2+3^+1)+8=(X+1)3+8=(X+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2/+(y_4)—(y_3)心_y+2)(%+y_3).

或

2x2-\-xy-y2-4x+5>-6=(2x2+xy-y2)~(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)—(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.關(guān)于x的二次三項式d+bx+c("0)的因式分解.

假設(shè)關(guān)于x的方程以2+云+。=0(。=0)的兩個實數(shù)根是否、/，那么二次三項式

2

ax-￥bx+c(aw0)就可分解為a(x-x,)(x-x2).

例3把以下關(guān)于x的二次多項式分解因式：

(1)x2+2x—1；⑵x2+4xy-4y2.

解：⑴令/+2工一1=0,那么解得％=-1+血，

?**x2+2%-1=[%-(-1+(-1-

=(x+l-x/2)(x+1+V2).

(2)令f+49—4y2=0,那么解得％=(-2+2亞?,%=(-2-20))

X2+4xy-4y2=[x+2(1-yf2)y][x+2(14->/2)y].

練習(xí)

1.選擇題：

多項式2/一孫一15y2的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)6x4-8；⑵8a3一〃；

⑶/一2七一1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)a3+l；(2)4c+9；

(3)b2+C2+2ab+2ac+2hc；(4)3/+5孫-2y2+工+9'-4.

2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x~—5x+3：(2)x~-2A/2x3；

(3)3x2+4xy-y2；[4J(x~—2x)"—7(x"-2.x)+12.

3.△4BC三邊a,b,c滿足a?+Z?2+/=a〃+Z?c+ca,試判定AABC的形狀.

4.分解因式：x2+x-(a2—a).

1.2分解因式

1.B

2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a—與(4/+2。/?+/)

⑶(x-l-V2)(x-l+V2)(4)(2-y)(2x-y+2).

習(xí)題1.2

1.(1)(4+1)(/_〃+1)(2)(2^+3)(2x-3)(x+l)(x-l)

⑶(力+c)0+c+%)(4)(3y-j+4)(x+2y-l)

(2)—5/2—V5—V2+j；

(4)(x-3)(x+l)(x-1->/5)(x-1+.

4.(X-6f+l)(%+<2)

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程“+辰+c=0("0),用配方法可以將其變形為

,b,b2-4ac

(F二①

4a2

因為"0,所以，4〃>0.于是

(1)當(dāng)加一4砒>0時,方程①的右端是一個正數(shù),因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b±\]b2-4ac

XL2=------------------；

2a

(2)當(dāng)〃-4訛=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根

b

X\=X2=——；

2a

(3)當(dāng)護(hù)一4女〈0時，方程①的右瑞是一個負(fù)數(shù)，而方程①的左邊*+2)2—定大于或等于零，因

2a

此，原方程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程aF+6+c=0("0)的根的情況可以由扶一4ac來判定，我們把扶一4ac

叫做一元二次方程ox2+bx+c=0(存0)的根的判別式，通常用符號“△〃來表示.

綜上所述，對于一元二次方程Q2+加r+c=0(。邦)，有

(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b±yjb2-4ac

(2)當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

b

Xl—X2———；

2a

(3)當(dāng)AV0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定以下關(guān)于x的方程的根的情況(其中〃為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

(1)/-3x+3=0；(2)/一改一1=0；

(3)X2—ar+(tz-1)=0；(4)2t+a=0.

解：⑴丁A=32—4xlx3=—3V0,，方程沒有實數(shù)根.

(2)該方程的根的判別式八=式-4x1x(11)=涼+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根

4+J/+4a-J〃2+4

x\~2，x2=，

(3)由于該方程的根的判別式為

△=〃-4x1x(。-1)=〃2_4。+4=(4—2)2,

所以，

①當(dāng)。=2時，△=(),所以方程有兩個相等的實數(shù)根

X\=X2=h

②當(dāng)W2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根

X\=19X2=d-1?

(3)由于該方程的根的判別式為

△=22—4x1x?=4—4?=4(1—a),

所以

①當(dāng)△>(),即4(l-a)>0,即時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

=1+\t\-a?Xj=l-Vl-a；

②當(dāng)△=(),即。=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根

X]X)—]?

③當(dāng)△<(),即時，方程沒有實數(shù)根.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著。的取值的變化而變化，于是，在解題過程

中，需要對。的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非

常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕

假設(shè)一元二次方程加+云+°=0(存0)有兩個實數(shù)根

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：

hc

如果“R+Ox+cu。(?/0)的兩根分別是孫，X2，那么41+工2=----，X「X2=—.這一關(guān)系也被稱為

aa

韋達(dá)定理.

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程f+px+q=O,假設(shè)汨，及是其兩根，由韋達(dá)定理可知

即+12=_p，xvxi=qt

即p~-(1l+12)，q=X「X2,

所以，方程x2+px+g=0可化為/一(汨+乃)程/+px+q=o的兩

根，出攵的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由

于了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根

之和求出人的值.

解法一：???2是方程的一個根，

A5X22+^X2—6=0?

:?k=-7.

3

所以，方程就為5f—7x—6=0,解得xi=2,X2=——.

所以，方程的另的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得加的值.但在解題中需要

特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.

解：設(shè)為，及是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得

Xi+彳2=-2("?-2),xrX2=/n2+4.

22

V^I4-X2-XI-X2=21,QQ群557619246

/.(X1+xi)2—3X1-X2=21,

即[~2(m-2)]2-3(m2+4)=21,

化簡，得nr—\6m—17=0,

解得m=-1,或/n=17.

當(dāng)〃?=一1時，方程為/+6x+5=0,A>0,滿足題意；

當(dāng)〃?=17時，方程為r+30x+293=0,A=302-4XIX293<0,不合題意，舍去.

綜上，機(jī)=17.

說明：(1)在此題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由

“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21〃求出機(jī)的值，取滿足條件的/〃的值即可.

(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式△是否大于或大于

零.因為，韋達(dá)定理成立QQ群416652117的前提是一元大方向個數(shù)分別為工，y,利用二元方程求解出這

兩個數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.

解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x,乃

那么x+y=4,①

xy=~\2.②

由①，得y=4—x,

代入②，得

x(4—x)=-12,

即A2-^—12=0,

,?4]=-2,X2=6.

.,內(nèi)=-2,或卜2=6,

,3=6,-7.

因此，這兩個數(shù)是一2和6.

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程

X2—4x—12=0

的兩個根.

解這個方程，得

QQ群557619246

xi=-2,E=6.

所以，這兩個數(shù)是一2和6.

說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷.

例5假設(shè)M和心分別是一元二次方程2d+5工-3=0的兩根.

（1）求⑶一及|的值;

（2）求'7+的值；

Xj

x2~

（3）X|3+xi3.

解：???鶯和必分別是一元二次方程及+5工-3=0的兩根，

53

..X+X,=——，

x.x2=——

（3）XI34-AT23=（^14-X2）（Xr-X\X2=（X1+x2）[（Xi+A：2）2-3X1X2]

55,3215

=（--）x（（--）2-3x（--）]=-—?

2228

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題,

為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)為和乃分別是一元二次方程這2+bx+c=0（a和），那么

-b-yjb2-4ac

,x-=-------------,

-b+yjb2-4ac-b-y/b2-4ac2dbi-4ac

2a2a2a

\Jb2-4ac_VA

于是有下面的結(jié)論:

而

假設(shè)X1和X2分別是一元二次方程a?+6x+c=0（〃制），那么|X1一X2尸(其中A=〃2—4ac).

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.

例6假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/一%+。-4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)。的取值范

圍.

解：設(shè)汨，X2是方程的兩根，那么

xiX2=fl—4<0,①

且△=(-1)2-4(67-4)>0.②

由①得。<4,

a<

由②得^4.

???。的取值范圍是a<4.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程/一2限v+3左2=0的

習(xí)題2.1

A組

1.選擇題：

(1)關(guān)于x的方程區(qū)一2=0的一個根是1,那么它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)以下四個說法：

①方程/+標(biāo)-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程9一2x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

7

③方程37=0的兩根之和為0,兩根之積為--；

3

④方程3/+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數(shù)是()

(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個

(3)關(guān)于X的一元二次方程以2-51+42+。=0的一個根是0,那么〃的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程收+4工-1=0的兩根之和為一2,那么攵=.

(2)方程2x2-x—4=0的兩根為a,p,那么(？+儼=.

(3)關(guān)于x的方程好一以一3。=0的一個根是一2,那么它的另一個根是

(4)方程2^+〃-1=0的兩根為為和必那么|加一詞=.

3.試判定當(dāng)機(jī)取何值時，關(guān)于x的一元二次方程序/一(2〃?+1?+1=0有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相

等的實數(shù)根沒有實數(shù)根

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程1=0各根的相反數(shù).

B組

1.選擇題：

假設(shè)關(guān)于x的方程f+(乃一1)工+4+1=0的兩根互為相反數(shù)，那么k的值為

()

(A)1,或一I(B)1(C)-I(D)0

2.填空：

(1)假設(shè)小，〃是方程r+2005工一1=0的兩個實數(shù)根，那么加2〃+m〃2一加的值等于.

(2)如果m力是方程r