安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中城南學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.2.下列命題中，正確的是(

)A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3.關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為2，則b的值為(

)A. B.2 C.3 D.74.如圖，菱形ABCD對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，，，則菱形的面積為(

)A.48

B.96

C.24

D.65.關(guān)于x的一元二次方程根的情況是(

)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根 D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根6.如圖，在矩形ABCD中，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，當(dāng)E為OB中點(diǎn)時(shí)，則AC的長為(

)

A. B.4 C. D.87.如圖，正方形OMNP的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的邊長都是2，則圖中重疊部分的面積是(

)A.1

B.2

C.

D.

8.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng).某款燃油汽車今年2月份售價(jià)為23萬元，4月份售價(jià)為萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x，則所列方程正確的是(

)A. B.

C. D.9.用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是(

)A. B. C. D.10.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，，，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是(

)A.

B.

C.

D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11.一元二次方程的根為______.12.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且，，E，F(xiàn)為垂足，，，則的值為______.

13.已知a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為______.14.如圖1，點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間的變化關(guān)系圖象如圖

______；

的值是______.三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題8分

解方程：16.本小題8分

已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且求證：四邊形AECF是菱形

17.本小題8分

如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為問：當(dāng)梯子的頂端下滑幾米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等？18.本小題8分

如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，，，連接

求證：

19.本小題10分

某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？20.本小題10分

如圖，在四邊形ABCD中，，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)．

求證：四邊形EGFH是菱形；

若，則當(dāng)時(shí)，求四邊形EGFH的面積．21.本小題12分

社區(qū)利用一塊矩形空地ABCD建了一個(gè)小型停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路.已知鋪花磚的面積為求道路的寬是多少米？22.本小題12分

如圖，在中，，，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，連接DE、

求證：；

四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)說明理由．23.本小題14分

【問題情境】

已知正方形ABCD，點(diǎn)E在CD的延長線上，以CE為一邊構(gòu)造正方形CEFG，如圖1所示，則BE和DG的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______.

【繼續(xù)探究】

若正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為一邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，如圖2所示.

①請(qǐng)判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②連接BG，若，求線段BG長.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，方程為是一元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；

B、方程是一元二次方程，該選項(xiàng)符合題意；

C、方程的左邊不是整式，方程不是一元二次方程，該選項(xiàng)不合題意；

D、方程整理為，是一元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；

故選：

據(jù)此即可判定求解．

本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確；

C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：

根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法逐一進(jìn)行判定．

本題考查了矩形、菱形、平行四邊形、正方形的判定方法．熟練掌握特殊四邊形的判定方法是解決此類問題的關(guān)鍵．3.【答案】C

【解析】解：，

故選：

把代入方程中，求解即可．

本題考查一元二次方程的解，代入求值是關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：四邊形ABCD為菱形，且，，

故選：

根據(jù)菱形面積公式即可計(jì)算得出該菱形的面積．

此題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半是解決問題的關(guān)鍵．5.【答案】A

【解析】解：在關(guān)于x的一元二次方程中，，，，

，

因?yàn)椋裕?/p>

所以關(guān)于x的一元二次方程根的情況是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

故選：

先根據(jù)已知方程，求出根的判別式，然后根據(jù)判別式的正負(fù)，判斷方程根的情況即可．

本題考查了一元二次方程的根的判別式．熟練掌握利用一元二次方程根的判別式判斷方程解是解題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】解：四邊形ABCD是矩形，

，，，

，

，E為OB中點(diǎn)，

垂直平分OB，

，

，

故選：

由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出，得出，即可．

此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．7.【答案】A

【解析】解：設(shè)OP與AD交于點(diǎn)G，如圖所示：

四邊形ABCD和四邊形OMNP均為正方形，且邊長都是2，

，，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

正方形ABCD的邊長為2，

，

，

故選：

證明和全等得，進(jìn)而得，然后再根據(jù)即可得出答案．

此題主要考察了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得：

故選：

利用該款燃油汽車今年4月份的售價(jià)=該款燃油汽車今年2月份的售價(jià)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9.【答案】B

【解析】解：，

，

，即，

故選：

先配方，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，即可得出選項(xiàng)．

本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．10.【答案】B

【解析】解：如圖，連接AC、CF，

正方形ABCD和正方形CEFG中，，，

，，

，

，

由勾股定理得，，

是AF的中點(diǎn)，

故選：

連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，，再求出，然后利用勾股定理求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．11.【答案】，

【解析】解：，

，

或，

，

故答案為：，

先移項(xiàng)，再利用提公因式法把方程左邊分解得到，則原方程化為或，然后解一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0，再把方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積，這樣原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．12.【答案】

【解析】解：連接OP，如圖所示：

四邊形ABCD是矩形，

，，

在中，，，

由勾股定理得：，

，，

，

，，

，，

，

，

故答案為：

連接OP，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理得，，再根據(jù)三角形的面積公式得，，，然后根據(jù)即可得出的值．

此題主要了矩形的性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．13.【答案】2

【解析】解：，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，，

，

故答案為：

直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．

本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：過點(diǎn)D作交BC的延長線于點(diǎn)E，

由圖象可知，點(diǎn)F從點(diǎn)A到D用as，此時(shí)，的面積為

，

，

，

，

當(dāng)點(diǎn)F從D到B時(shí)，用時(shí)，

，

中，，

四邊形ABCD是菱形，

，，

在中，，

解得

故答案為：5cm；

通過分析圖象，點(diǎn)F從點(diǎn)A到D用as，此時(shí)，的面積為，依此可求菱形的高DE，再由圖象可知，，應(yīng)用兩次勾股定理分別求BE和

本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，掌握菱形性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.【答案】解：，

，，

，

【解析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．

本題考查了解一元二次方程的求解，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中．16.【答案】證明：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，

四邊形ABCD是正方形，

，，，

，

，

，且，

四邊形AECF是平行四邊形，

又，

四邊形AECF是菱形.

【解析】由正方形的性質(zhì)可得，，，可得，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形，再由，即可證四邊形AECF是菱形．

本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)．17.【答案】解：未滑動(dòng)前梯子底端距墻的水平距離為，

設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm，則梯子底端也滑動(dòng)xm，

此時(shí)梯子的頂端距地面的垂直距離為，梯子的底端距墻面的垂直距離為，

可得方程：，

解得，舍去，

當(dāng)梯子的頂端下滑2米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等．

【解析】利用勾股定理算出未滑動(dòng)前梯子底端距墻的水平距離，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm，則梯子底端也滑動(dòng)xm，利用勾股定理列方程，即可解答．

本題考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．18.【答案】證明：，，

四邊形OCED是平行四邊形，

四邊形ABCD是菱形，

，

四邊形OCED是矩形，

，

，，

【解析】先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直求出，證明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出

本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．

根據(jù)題意，得

，

解得：，

答：襯衫的單價(jià)降了15元．

【解析】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷量每件的利潤，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．20.【答案】證明：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，

，，，

，

四邊形EGFH是菱形．

解：四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點(diǎn)，

，

，

菱形EGFH是正方形．

，

正方形EGFH的面積

【解析】利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得；

根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長，則正方形的面積可以求得．

本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位線定理是關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意結(jié)合平移的性質(zhì)可得：

，

，

，

，

解得：舍去或，

答：道路的寬為6米．

【解析】設(shè)道路的寬為x米，利用平移的性質(zhì)可得鋪花磚部分組成一個(gè)邊長為米，寬為米的矩形，再根據(jù)矩形的面積公式列出方程，解答檢驗(yàn)即可．

本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握利用一元二次方程解決面積問題是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：證明：在中，，，，

又，

；

能；

理由如下：

，，

又，

四邊形AEFD為平行四邊形．

，，

，

，

若使能夠成為等邊三角形，

則平行四邊形AEFD為菱形，則，

，

；

即當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；

當(dāng)