江蘇省無錫市錫山區(qū)天一實驗學校2023-2024學年九年級上學期期中數學試題（解析版）VIP

第第頁無錫市天一實驗學校2023年秋學期初三年級數學學科期中試卷一．選擇題（共10小題，每小題3分，共計30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題根據一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A．不是整式方程，故錯誤．B．是一元一次方程，故錯誤；C．方程含有兩個未知數，故錯誤；D．符合一元二次方程的定義，正確．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解答的關鍵．2.已知，下列變形錯誤的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據比例式的性質，即可得到答案．【詳解】∵?，?，?，?，∴變形錯誤的是選項B．故選B．【點睛】本題主要考查比例式的性質，掌握比例式的內項之積等于外項之積，是解題的關鍵．3.若一元二次方程的兩個根是、，則的值是（）A.3 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據根與系數的關系直接可得答案．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系．一元二次方程中（，a，b，c皆為常數）中，兩根，與系數的關系為，．前提條件是判別式．4.如圖，在中，，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接運用正切的定義解答即可．【詳解】解：∵在中，，，∴．故選D．【點睛】本題主要考查了正切的定義，在Rt△ABC中,如果銳角A確定,那么角A的對邊與鄰邊的比值隨之確定,這個比叫做角A的正切．5.某網絡學習平臺年的新注冊用戶數為萬，年的新注冊用戶數為萬，設新注冊用戶數的年平均增長率為x（），根據題意所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據年的新注冊用戶數為萬列方程即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程解決增長率問題，解題的關鍵是找到等量關系式．6.下列說法正確的是（）A.等弧所對的圓心角相等 B.相等的弦所對的弧相等C.過三點一定可以確定一個圓 D.垂直于半徑的直線是圓的切線【答案】A【解析】【分析】根據弧，弦，圓心角的關系，圓的確定以及切線的判定，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、等弧所對的圓心角相等，選項正確，符合題意；B、弦對應的弧有優(yōu)弧和劣弧，相等的弦所對的弧不一定相等，選項錯誤，不符合題意；C、過不在直線上的三點可以確定一個圓，選項錯誤，不符合題意；D、經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，選項錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查弧，弦，圓心角的關系，圓的確定方法以及切線的判定．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．7.如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D、E，量出半徑OC=5cm，弦DE=8cm，則直尺的寬度是()A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm【答案】B【解析】【分析】過點O作OM⊥DE于點M,連接OD，根據垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”和勾股定理進行計算，即可求出答案.【詳解】過點O作OM⊥DE于點M,連接OD.∴DE=DE，∵DE=8cm，∴DM=4cm，在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm，∴∴直尺的寬度為3cm.故答案選B.【點睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，靈活運用這些定理是解答本題的關鍵.8.如圖，在中，，過點A作的垂線交于點D，平分交于點E．若，則的長為（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】過點A作于點G，根據含角的直角三角形的性質和勾股定理計算即可．【詳解】過點A作于點G，∵，∴，∴，∴；∵,，∴，，∵平分,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,故選D．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的特征，角的平分線的意義，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握直角三角形的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質是解題的關鍵．9.如圖，在的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據網格的特點作的垂直平分線，作的垂直平分線，設與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，先根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后根據，進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：作的垂直平分線，作的垂直平分線，設與相交于點O，連接，則點O是外接圓的圓心，由題意得：，，，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．10.如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當取得最大值時，取得最大值，結合圖形可知當，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵點為平面內一動點，，∴點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當取得最大值時，取得最大值，結合圖形可知當，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當線段取最大值時，點的坐標是，故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．二．填空題（共8小題，每小題3分共計24分）11.在比例尺為的地圖上，相距的兩地的實際距離為______．【答案】75【解析】【分析】本題考查比例尺，比例尺圖上距離與實際距離的比，由此即可計算．【詳解】解：．∴兩地A、B的實際距離為，故答案為：75．12.已知圓錐的底面半徑是1cm，母線長為3cm，則該圓錐的側面積為_____cm2．【答案】3π．【解析】【詳解】試題分析：圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2，把相應數值代入，∴圓錐的側面積=2π×1×3÷2=3π．考點：圓錐側面積的計算．13.如圖，點P把線段的黃金分割點，且．如果，那么_______（結果保留一位小數）．【答案】1.2【解析】【分析】由黃金分割的定義得，即可得出答案．【詳解】解：∵點P是線段的黃金分割點，∴，∴==≈故答案為：1.2．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，解題的關鍵是熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值．14.如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，則∠D的度數是__________．【答案】20°##20度【解析】【分析】先根據圓周角定理得∠ACB的度數及∠A=∠D，再利用直角三角形銳角互余，即可得答案．【詳解】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=70°，∴∠A=90°－70°=20°，∴∠D=∠A=20°，故答案為：20°．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，掌握直徑所對的圓周角是直角是解題關鍵．15.如圖，過原點O的直線與反比例函數y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的圖象分別交于點A1，A2，若，則＝_____．【答案】【解析】【分析】利用k的幾何意義和相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：分別過作，則：∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反比例系數k的幾何意義，熟練掌握k的幾何意義是解題的關鍵．16.小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為____________里．【答案】9【解析】【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質，切線長定理，關鍵是理解題意，得到，求出長即可．17.若實數滿足，則代數式的最大值為______．【答案】####【解析】【分析】聯(lián)立方程組，解得，設，然后根據二次函數的性質，即可求解．本題考查了二次函數的性質，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：依題意，，解得：，設，∴，∵，∴有最大值，最大值為故答案為：．18.如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點．若，用含的式子表示的長是________．【答案】【解析】【分析】先根據折疊的性質可得，，從而可得，再根據相似三角形的判定可證，根據相似三角形的性質可得，，然后將兩個等式相加即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．三．解答題（共10小題，共計96分）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答．【小問1詳解】解：或解得：；【小問2詳解】解：解得：．20.計算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了實數的運算，負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值，絕對值化簡．（1）先根據二次根式的性質，特殊角的三角函數值，零指數冪化簡，然后再進行計算即可解答；（2）先根據特殊角的三角函數值，負整數指數冪，絕對值化簡各式，然后再進行計算即可解答．小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．21.如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。敬鸢浮浚?）證明見試題解析；（2）90°．【解析】【詳解】試題分析：（1）由兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據相似三角形的對應角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．試題解析：（1）∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考點：相似三角形的判定與性質．22.已知關于x的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5．當△ABC是等腰三角形時，求k的值【答案】（1）詳見解析（2）或【解析】【分析】（1）先計算出△=1，然后根據判別式意義即可得到結論；（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．【詳解】（1）證明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有兩個不相等的實數根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，所以k的值為5或4．【點睛】本題考查了：1．根的判別式；2．解一元二次方程；3．三角形三邊關系；4．等腰三角形的性質．23.如圖，在平面直角坐標系中，、、．（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為______；（2）這個圓的半徑為______；（3）直接判斷點與的位置關系．點在______（內、外、上）；（4）在方格中，連接，，，將以原點O為位似中心，縮小為原來的，請在方格紙中畫出縮小后的圖形．【答案】（1）（2）（3）內（4）見解析【解析】【分析】本題主要考查與圓有關的作圖，垂徑定理、點與圓的位置關系和位視變化，（1）連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點M即為圓的圓心點，由圖即可求得點M的坐標；（2）連接，利用勾股定理得，即為圓的半徑；（3）連接，由勾股定理得的長，與半徑做對比即可判定與圓的位置關系；（4）根據位視的性質作圖即可；【小問1詳解】解：如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點M，則點M即為經過點A、點B和點C三點的圓弧所在圓的圓心點，M的坐標為；【小問2詳解】連接，由勾股定理得，，則這個圓的半徑為；【小問3詳解】連接，由勾股定理得，，則點在內；【小問4詳解】如圖上圖，即為所求；24.如圖，是的直徑，點在上，，點在線段的延長線上，且．（1）求證：EF與相切；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用圓周角定理得到，結合已知推出，再證明，推出，即可證明結論成立；（2）設半徑為x，則，在中，利用正弦函數求得半徑的長，再在中，解直角三角形即可求解．【小問1詳解】證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；【小問2詳解】解：設半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經檢驗，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質等知識，熟練掌握圓的相關知識和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．25.山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發(fā)現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【解析】【分析】（1）設每千克核桃降價x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；

（2）為了讓利于顧客因此應下降6元，求出此時的銷售單價即可確定幾折．【詳解】解：（1）設每千克核桃應降價x元根據題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化簡，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應降價4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應降價6元此時，售價為：60﹣6=54（元），答：該店應按原售價的九折出售．【點睛】本題考查了一元二次方程應用，解題的關鍵是根據題目中的等量關系列出方程．26.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊落在軸上，點的坐標為，邊與軸交于點．（1）直接寫出點的坐標；（2）在軸上取點，直線經過點，與軸交于點，連接．①當時，求直線的函數表達式；②當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，求點的坐標．【答案】（1）（2）①或；②或【解析】【分析】（1）利用矩形的性質求出相應線段，利用點的坐標的意義解答即可；（2）①求出線段，利用等腰直角三角形的性質和直角三角形的邊角關系求得點M的坐標，再利用待定系數法解答即可；②利用分類討論的思想方法分兩種情況：Ⅰ、當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，Ⅱ、當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，利用直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑的性質解答即可得出結論．【小問1詳解】解：點B的坐標為，．∵矩形中，．；【小問2詳解】解：①∵點，．，．．，或．或．或．∴或．解得：或∴直線的函數表達式為：或；②設的中點為G，過點G作于點H，延長交于點N，則，如圖，由題意：以線段EM為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．∴以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切，Ⅰ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時，則．設，則，．，．，∴為梯形的中位線．．∴．解得：．經檢驗，是原方程根，；Ⅱ、以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線可能相切時，則．，．，∴為梯形的中位線．．∴．解得：．經檢驗，是原方程的根，．綜上，當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，點M的坐標為或．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓的切線的性質，待定系數法確定直線的解析式，點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．27.如圖，正方形中，點關于直線的對稱點為，為邊上一動點，交于，交于.（1）當為中點時，求證；（2）若線段滿足.①求證：；②求的值.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據正方形的性質可得,，根據軸對稱的性質可得，推得，根據相似三角形的判定與性質可求得，即可證明；（2）①根據題意可得，根據相似三角形的判定和性質可得，根據正方形的性質可得，，根據平行線的性質可得，根據對稱的性質可得，根據等邊對等角可得，推得，根據全等三角形的判定和性質即可證明；②設正方形的邊長為，則，設，，根據列方程，求解得出，代入即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴,，∵點關于直線的對稱點為，∴，∴，∵為中點，∴，即，∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：①證明：∵，∴，∵，∴，∴；∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵點關于直線的對稱點為，∴垂直平分，∴，∴，∴．在和中，∴，∴；②由①知：，∴；設正方形的邊長為，則，設，∴，