專題二、分式不等式的解法

（一）分式不等式：型如：或（其中為整式且）的不等式稱為分式不等式。（2）歸納分式不等式與整式不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化：（1）（3）（2）（4）（3）小結(jié)分式不等式的解法步驟：（1）移項(xiàng)通分，不等式右側(cè)化為“0”，左側(cè)為一分式（2）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次項(xiàng)前系數(shù)為正）（1）分式不等式的解法：解關(guān)于x的不等式方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：或變式一：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：比較不等式及的解集。（不等式的變形，強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)化，分母不為零）練一練：解關(guān)于x的不等式解關(guān)于x的不等式：解：即，（保證因式分解后，保證一次項(xiàng)前的系數(shù)都為正）等價(jià)變形為：原不等式的解集為例2、解關(guān)于x不等式方法一：恒大于0，利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項(xiàng)、通分，利用兩式同號(hào)、異號(hào)的充要條件，劃歸為一元一次或一元二次不等式。解關(guān)于x的不等式：解：移項(xiàng)通分即，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為⒈一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào)，∴原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集的并集，即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.書寫時(shí)可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0或x∈φ或-4<x<1-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程的兩根為，則；①若當(dāng)時(shí)，得或；當(dāng)時(shí)，得.②若當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(hào)（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+④由上表可知，原不等式的解集為：{x|-2<x<1或x>3}.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……；②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；④看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解例2圖練習(xí)圖直接寫出解集：{x|-2<x<1或x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么）；④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次（自右上方開始），如下圖：④∴原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<x<3}.說明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根，∴在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：①將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；②求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1，3；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.說明：注意不等式若帶“=”號(hào)，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉.2．分式不等式的解法例4解不等式：.錯(cuò)解：去分母得∴原不等式的解集是.解法1：化為兩個(gè)不等式組來解：∵x∈φ或，∴原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解：∵，∴原不等式的解集是說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是{x|-7<x3}.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要變；分母中有