2024屆黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體高三下學期第一次模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體2024屆高三下學期第一次模擬數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，因為，所以．故選：B．2.五名應(yīng)屆畢業(yè)生報考三所高校,每人報且僅報一所院校,則不同的報名方法的種數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，每個人可以報任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項.3.一份新高考數(shù)學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個〖答案〗，猜對〖答案〗的概率為，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件表示“考生答對”，設(shè)事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：故選：C.4.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，，且滿足，求點到直線距離的最大值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，，則，即，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最大值為．故選：．5.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過4小時才能駕駛.故選：D.6.已知為不共線平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，故選：D．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若關(guān)于實數(shù)的不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，，所以可化為：，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在0,+∞上遞增，所以，即或，即或．故選：．8.已知函數(shù)，．若有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知當時，，令f'x<0可得：；令f'故上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，，且當時，，當趨近于負無窮時，趨近于0；當時，圖象的對稱軸為直線，．故作出的大致圖象如圖所示．令，數(shù)形結(jié)合可知要使有5個零點，需使方程有2個不同的實數(shù)根，且，或．①若，，則，不成立，舍去．②若，，則，解得．當時，方程為，解得或，不符合方程2個根的取值范圍，舍去．故實數(shù)的取值范圍為．故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列說法中正確的是（）A.某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為B.若隨機變量，且，則C.若隨機變量，且，則D.對一組樣本數(shù)據(jù)，，，進行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上〖答案〗ABC〖解析〗對于A，把10次射擊成績從小到大排列為，，，，，，，，，.由，可得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第個數(shù)，等于，故A正確；對于B，若隨機變量，且，則，，故B正確；對于C，若隨機變量，且，則，，故C正確；對于D，對于線性回歸方程為：，其中的樣本數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯誤.故選：ABC.10.已知為函數(shù)的一個對稱中心，則（）A. B.函數(shù)為奇函數(shù)C.曲線y=f(x)關(guān)于對稱 D.函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗因為為函數(shù)的一個對稱中心，所以，即，解得，故A錯誤；所以，，顯然為奇函數(shù)，故B正確；，是最小值，所以曲線y=f(x)關(guān)于對稱，故C正確；當時，，所以函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增，故D正確．故選：BCD．11.如圖，已知正方體的棱長為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得C.若，則點在正方形底面內(nèi)的運動軌跡長為D.若點是的中點，點是的中點，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，，，，，，，，若，則，即，取，此時點與點重合，滿足題意，所以存在點，使得，B正確；對于C，，若，，即，所以點的軌跡就是線段，軌跡長為，C錯誤；對于D，如圖取中點，連接，由題可得，平面，連接，因為，平面，則，，又，平面，則平面，又取中點為，則，有四點共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點，故是中點，是中點，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長為，則，故截面面積為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已如角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點在終邊上，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.13.已知，則______.(用數(shù)字作答)〖答案〗〖解析〗由二項式定理可得展開式中含的項為，所以．14.設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可設(shè)，，Mx,y，又F1,0，，，，，，，當且僅當，即時，等號成立，直線的斜率的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)，若數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為是與的等差中項，可得，當時，可得，解得，當時，由，可得，兩式相減可得，即為，可得數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，所以；（2）若是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，可得，數(shù)列的前項和，，兩式相減可得，化簡可得．16.某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進行答題，答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎，分為二等獎，分為一等獎．某班小張同學類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．（1）求小張同學被終止比賽的概率；（2）現(xiàn)已知小張同學第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學第二輪答完題后總得分的分布列及期望；（3）求小張同學獲得三等獎的概率．解：（1）從類道題中任選道，其中2道會做，2道不會做，則被終止比賽，所以小張同學被終止比賽的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為40,60,80,100，則，，，，所以的分布列為：所以．（3）小張獲得三等獎，共有兩種情況，①第一輪得30分（答對3道），則第二輪得40分（對2道），概率為；②第一輪得40分（答對4道），則第二輪得40分（對2道），概率為，所以小張同學獲得三等獎的概率為．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）設(shè)點在上，且判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．（1）證明：因為平面，又平面，則，又，且，，平面，故CD平面；又面，，，為中點，，，CD，面，面；（2）解：過點作AD的垂線交于點，因為平面，且，平面，所以，，故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則A0,0,0，，，，，因為為的中點，則，所以，又，所以，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，令，則y=-1，x=-1，故，又因為平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為；（3）解：直線不在平面內(nèi)，因為點在上，且，又，故，則，由（2）可知，平面的法向量為，所以，所以直線不在平面內(nèi)．18.已知雙曲線的左，右焦點分別為，雙曲線C的虛軸長為2，有一條漸近線方程為．如圖，點A是雙曲線C上位于第一象限內(nèi)的點，過點A作直線l與雙曲線的右支交于另外一點B，連接并延長交雙曲線左支于點P，連接與，其中l(wèi)垂直于的平分線m，垂足為D．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）求證：直線m與直線的斜率之積為定值；（3）求的最小值．（1）解：因為虛軸長為2，即，所以．又因為有一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線C的標準方程為；（2）證明：由題意，點A與點P關(guān)于原點對稱．設(shè)Ax0,由題意可知直線m的斜率存在，設(shè)直線m的斜率為k，記直線m的方向向量為，又直線m為的平分線，則．因為，所以，同理，又，代入得，，化簡得．所以，即直線與直線m的斜率之積為定值；（3）解：由（2）可知．又，所以，將代入得，，所以．設(shè)直線m的方程為，將代入得，所以直線m的方程為．由點到直線距離公式得，．又直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，將代入得，所以直線的方程為．將其與聯(lián)立得．設(shè)Ax1,由得，所以．所以，當且僅當，即時等號成立，所以當且僅當時，的最小值為3．19.設(shè)，.（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）當時，證明：；（3）證明：.（1）解：因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，下取，當時，，則，當時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當時，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，因為，則，使得，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則在內(nèi)恒成立，可知fx在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：fx在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)的最小值為，又因為為偶函數(shù)，所以在內(nèi)的最小值為.（2）解：由（1）可知為定義在上的偶函數(shù)，下取，可知，令，因為，則，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)的最小值為，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：.（3）證明：由（2）可得：當時，，當且僅當時，等號成立，即，令，則，當時，，即，則有：，，，，相加可得：，因為，則，所以，即.黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體2024屆高三下學期第一次模擬數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，因為，所以．故選：B．2.五名應(yīng)屆畢業(yè)生報考三所高校,每人報且僅報一所院校,則不同的報名方法的種數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，每個人可以報任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項.3.一份新高考數(shù)學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個〖答案〗，猜對〖答案〗的概率為，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件表示“考生答對”，設(shè)事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：故選：C.4.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，，且滿足，求點到直線距離的最大值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，，則，即，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最大值為．故選：．5.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過個小時才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過4小時才能駕駛.故選：D.6.已知為不共線平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，故選：D．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若關(guān)于實數(shù)的不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，，所以可化為：，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在0,+∞上遞增，所以，即或，即或．故選：．8.已知函數(shù)，．若有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知當時，，令f'x<0可得：；令f'故上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，，且當時，，當趨近于負無窮時，趨近于0；當時，圖象的對稱軸為直線，．故作出的大致圖象如圖所示．令，數(shù)形結(jié)合可知要使有5個零點，需使方程有2個不同的實數(shù)根，且，或．①若，，則，不成立，舍去．②若，，則，解得．當時，方程為，解得或，不符合方程2個根的取值范圍，舍去．故實數(shù)的取值范圍為．故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列說法中正確的是（）A.某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為B.若隨機變量，且，則C.若隨機變量，且，則D.對一組樣本數(shù)據(jù)，，，進行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上〖答案〗ABC〖解析〗對于A，把10次射擊成績從小到大排列為，，，，，，，，，.由，可得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第個數(shù)，等于，故A正確；對于B，若隨機變量，且，則，，故B正確；對于C，若隨機變量，且，則，，故C正確；對于D，對于線性回歸方程為：，其中的樣本數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯誤.故選：ABC.10.已知為函數(shù)的一個對稱中心，則（）A. B.函數(shù)為奇函數(shù)C.曲線y=f(x)關(guān)于對稱 D.函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗因為為函數(shù)的一個對稱中心，所以，即，解得，故A錯誤；所以，，顯然為奇函數(shù)，故B正確；，是最小值，所以曲線y=f(x)關(guān)于對稱，故C正確；當時，，所以函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增，故D正確．故選：BCD．11.如圖，已知正方體的棱長為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得C.若，則點在正方形底面內(nèi)的運動軌跡長為D.若點是的中點，點是的中點，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，，，，，，，，若，則，即，取，此時點與點重合，滿足題意，所以存在點，使得，B正確；對于C，，若，，即，所以點的軌跡就是線段，軌跡長為，C錯誤；對于D，如圖取中點，連接，由題可得，平面，連接，因為，平面，則，，又，平面，則平面，又取中點為，則，有四點共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點，故是中點，是中點，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長為，則，故截面面積為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已如角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點在終邊上，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.13.已知，則______.(用數(shù)字作答)〖答案〗〖解析〗由二項式定理可得展開式中含的項為，所以．14.設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可設(shè)，，Mx,y，又F1,0，，，，，，，當且僅當，即時，等號成立，直線的斜率的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)，若數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為是與的等差中項，可得，當時，可得，解得，當時，由，可得，兩式相減可得，即為，可得數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，所以；（2）若是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，可得，數(shù)列的前項和，，兩式相減可得，化簡可得．16.某高中舉辦詩詞知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進行答題，答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎，分為二等獎，分為一等獎．某班小張同學類題中有5道會做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．（1）求小張同學被終止比賽的概率；（2）現(xiàn)已知小張同學第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學第二輪答完題后總得分的分布列及期望；（3）求小張同學獲得三等獎的概率．解：（1）從類道題中任選道，其中2道會做，2道不會做，則被終止比賽，所以小張同學被終止比賽的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為40,60,80,100，則，，，，所以的分布列為：所以．（3）小張獲得三等獎，共有兩種情況，①第一輪得30分（答對3道），則第二輪得40分（對2道），概率為；②第一輪得40分（答對4道），則第二輪得40分（對2道），概率為，所以小張同學獲得三等獎的概率為．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）設(shè)點在上，且判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．（1）證明：因為平面，又平面，則，又，且，，平面，故CD平面；又面，，，為中點，，，CD，面，面；（2）解：過點作AD的垂線交于點，因為平面，且，平面，所以，，故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則A0,0,0，，，，，因為為的中點，則，所以，又，所以，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，令，則y=-1，x=-1，故，又因為平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為