湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

2023—2024學(xué)年下學(xué)期聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的補(bǔ)集概念即得.【詳解】依題，由可得，.故選：A.2.已知，是不共線的向量，且，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用向量的減法運(yùn)算得，B，C，D三點(diǎn)共線，即，根據(jù)向量平行求出.【詳解】因?yàn)?，且B，C，D三點(diǎn)共線，即,又，所以，解得.故選：C.3.已知一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的8個(gè)球，其中有3個(gè)白球（標(biāo)號(hào)為1~3），5個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為），現(xiàn)從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次摸到同種顏色球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步以及分類計(jì)數(shù)原理，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.【詳解】不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球,共有種選擇，則兩次都摸到同色球共有種選擇，故兩次摸到同種顏色球的概率為，故選：A4.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.3 B.3 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，賦值即可求解．【詳解】若，，變形得到，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；故選：B.6.已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作圓的切線，若切線長為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由圓的切線的性質(zhì)可求得，結(jié)合拋物線方程計(jì)算可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離.【詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為Q，則，則，設(shè)，則由兩點(diǎn)間距離公式得到，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈臏?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離PE為.故選：A.7.折紙發(fā)源于中國19世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車（如圖1）是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開始，沿對角線部分剪開成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖2，則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，直接判斷與是否平行，即可判斷A;再根據(jù)轉(zhuǎn)化向量求數(shù)量積判斷B；根據(jù)幾何關(guān)系，以及相等相等向量轉(zhuǎn)化，判斷C；根據(jù)向量轉(zhuǎn)化證明數(shù)量積相等.【詳解】A.，則與不平行，故①錯(cuò)誤；B.設(shè)，，，，故②正確；C.，故③正確；D.，故④正確.故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，分，和三種情況討論即可得解.【詳解】令，即，解得或，如圖，作出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，有無數(shù)個(gè)解；當(dāng)時(shí)，則方程無解，因?yàn)楹瘮?shù)在有6個(gè)不同零點(diǎn)，所以方程在有6個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象在有6個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，，所以，當(dāng)時(shí)，則方程無解，則方程在有6個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象在有6個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分類討論是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，且復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則下面說法正確的有（）A.B.若，則，中至少有個(gè)是C.滿足的點(diǎn)形成的圖形的面積為D.若，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，對于A，分別計(jì)算即可；對于B，根據(jù)可得即可判斷；對于C，由可得即可判斷；對于D，由得，并計(jì)算即可計(jì)算最小值.詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對于A，，則，所以，而，故A正確；對于B，若，則，即，則或，則或，則，中至少有個(gè)是，故B正確；對于C，，所以，所以點(diǎn)形成的圖形面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，因，所以，且，所以，且所以，所以最小值為，故D正確.故選：ABD.10.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動(dòng)點(diǎn)．則（）A.平面平面B.為的中點(diǎn)時(shí)，C.存在點(diǎn)，使得直線與的距離為D.存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判斷；選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)，連接，，可證，，從而作出判斷；選項(xiàng)C，先證平面，從而將原問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離，即可作出判斷；選項(xiàng)D，利用向量法求線面角，即可得解．【詳解】對于選項(xiàng)A，由題意知，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)楹投际堑妊苯侨切危?，所以，所以，即選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，所以直線與的距離等價(jià)于直線到平面的距離，也等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，其中，，由射影定理知，，即，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，而點(diǎn)到平面的距離，所以不存在點(diǎn)，使得直線與的距離為，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與平面所成的角為，則，由，知，代入上式整理得，此方程無解，所以不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．11.已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點(diǎn)，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（）A.的離心率等于 B.切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)漸近線方程求出，得到離心率；B選項(xiàng)，由雙曲線定義和切線長定理得到，得到切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合；C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線定義和的內(nèi)切圓的半徑得到；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到，利用萬能公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，解得，故離心率，A正確；B選項(xiàng)，，由雙曲線定義可得，，兩式相減得，即，故切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，B正確；C選項(xiàng)，的內(nèi)切圓的半徑為，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接，則平分，其中，故，所以.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線定義和切線長定理推出切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，從而推理得到四個(gè)選項(xiàng)的正誤.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用分離參變量思想，再用換元法轉(zhuǎn)化到對鉤函數(shù)求最小值，即可得到取值范圍.【詳解】由，因?yàn)?，所以，令，由，?gòu)造函數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以故答案為：.13.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒有1個(gè)紅球和1個(gè)白球.先從甲盒中取出2個(gè)球放入乙盒，再從乙盒中取出2個(gè)球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個(gè)紅球”，事件B為“乙盒還剩1個(gè)紅球和1個(gè)白球”，則______，______.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用條件概率與獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個(gè)紅球和一個(gè)白球，乙盒中還剩下兩個(gè)紅球或者兩個(gè)白球.則故答案為：；.14.如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為和位于平面的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑即得；先設(shè)，外接球半徑為R，則由以及已知條件可求得，再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.【詳解】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，由正棱錐性質(zhì)知，且，則、，，設(shè)，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解的關(guān)鍵是由以及已知數(shù)據(jù)求出.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在等差數(shù)列（）中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，（方法一），∴化簡得：，∴.（方法二），∴.16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，（1）已知，（i）求；（ii）若，為邊上的中點(diǎn)，求的長.（2）若為銳角三角形，求證：【答案】（1）（i）或；（ii）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）（i）由，結(jié)合正弦定理化簡可得結(jié)果；（ii）由，，利用正弦定理求出，，在，由余弦定理求出的長即可得解；（2）求出，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用，化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】（i）因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得：，即，因?yàn)樵?，，，則，因?yàn)?，所以或；（ii），所以，則，則，由正弦定理可得：，即，又，解得，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，在中，由余弦定理可得：，即，則.【小問2詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，則，則，要證，即證，由于，由，則，所以，故，則，則，證畢.17.如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角即可．【小問1詳解】由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，所以，，，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以，，故二面角的正弦值．18.某校舉行投籃趣味比賽，甲、乙兩位選手進(jìn)入決賽，每位選手各投籃4次，選手在連續(xù)投籃時(shí)，第一次投進(jìn)得1分，并規(guī)定：若某次投進(jìn)，則下一次投進(jìn)的得分比本次得分多1分；若某次未投進(jìn)，則該次得0分，且下一次投進(jìn)得1分.已知甲同學(xué)每次投進(jìn)的概率為，乙同學(xué)每次投進(jìn)的概率為，且甲、乙每次投籃相互獨(dú)立.（1）求甲最后得3分的概率；（2）記甲最后得分為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（3）記事件B為“甲、乙總分之和為7”，求.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生哪幾種情形，再計(jì)算概率即可；（2）利用記分規(guī)則，統(tǒng)計(jì)四次投籃中的得分情形，最低0分，最高10分，再計(jì)算概率，即可得分布列，求期望；（3）同比甲的概率計(jì)算方法，再來計(jì)算乙的得分概率，利用兩獨(dú)立事件相乘，再考慮各種情形相加即可.【小問1詳解】記事件A為“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在這四次投籃中，連續(xù)兩次投中，另兩次沒中，記甲得3分，所以【小問2詳解】X的取值為0，1，2，3，4，6，10，01234610【小問3詳解】記為乙最后得分，則事件為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”故19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值．【答案】（1）（2）答案見詳解（3）4【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對進(jìn)行分類討論即可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值的范圍，即可求得整數(shù)的最大值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得，可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以函數(shù)的最小值為.小問2詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)