浙江省湖州市普通高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年度高一年級(jí)第二學(xué)期學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試卷本卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，，則（）A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，求出、，進(jìn)而求出.【詳解】，，，.故選：C.2.用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則其直觀圖的面積為（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則可知，

所以對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為.

故選：D.3.“幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評(píng)價(jià)自己目前生活狀態(tài)滿(mǎn)意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿(mǎn)意程度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.9【答案】C【解析】【分析】計(jì)算得，然后由第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)求平均數(shù)可得.【詳解】因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)是.故選：C4.已知向量，若∥，則的值等于（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，且∥，由平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示結(jié)合商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)椋摇?，所以，即，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量校園旗桿的高度，如圖所示，在操場(chǎng)上選擇了C、D兩點(diǎn)，在C、D處測(cè)得旗桿AB的仰角分別為、，在水平面上測(cè)得，且C，D的距離為12米，則旗桿的高度為（）A.9米 B.12米 C.米 D.15米【答案】B【解析】【分析】設(shè)旗桿的高度為，在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)旗桿的高度為，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），故選：B6.若，則的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，再表達(dá)出，從而根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可【詳解】設(shè)，則，故，故，則故選：D7.如圖，在中，已知，，，、邊上的兩條中線(xiàn)，相交于點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取為基底，利用向量數(shù)量積求出，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】在中，令，，則，，因?yàn)?、邊上的兩條中線(xiàn)，相交于點(diǎn)，則，，于是，，，所以.故選：A8.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的條件構(gòu)造面面平行從而得到點(diǎn)的軌跡，在根據(jù)平面幾何知識(shí)求出的范圍.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，顯然，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平?所以平面，因?yàn)?，平面，平?所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)在側(cè)面上，所以點(diǎn)位于線(xiàn)段上，因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，所以，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不相同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若是異面直線(xiàn)，，則.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，，則平面內(nèi)必然存在一條直線(xiàn)，使得，并且，同理，在平面內(nèi)必然存在一條直線(xiàn)，使得，并且，由于是異面直線(xiàn)，與是相交的，n與也是相交的，即平面內(nèi)存在兩條相交的直線(xiàn)，分別與平面平行，，正確；設(shè)，并且，則有，顯然是相交的，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則平面上必然存在一條直線(xiàn)l與n平行，，即，正確；對(duì)于D，若，必然存在一個(gè)平面，使得，并且，，又，正確；故選:ACD.10.在中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（）A.則為等邊三角形；B.已知，則；C.已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D.在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計(jì)算可得；【詳解】解：對(duì)于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對(duì)于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對(duì)于C：因?yàn)?，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，，所以，即解得，因?yàn)?，所以，所以三角形只?解；故選：ABC11.如圖，圓臺(tái)O2O2中，母線(xiàn)AB與下底面所成的角為60°，BC為上底面直徑，O2A=6O1B=6，則（）A.圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為10B.圓臺(tái)的側(cè)面積為C.由點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離是D.在圓臺(tái)內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則正方體棱長(zhǎng)的最大值是4【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)軸截面分析即可；對(duì)B，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可；對(duì)C，將圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)，再計(jì)算即可；對(duì)D，計(jì)算圓臺(tái)內(nèi)能放下的最大球的直徑，再根據(jù)該球?yàn)榇苏襟w外接球求解即可【詳解】對(duì)A，母線(xiàn)長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B，由A母線(xiàn)長(zhǎng)為10，則根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式，故B正確；對(duì)C，由題意，側(cè)面全展開(kāi)的圓心角為，因?yàn)榇藭r(shí)，但線(xiàn)段有小部分不在扇環(huán)上，故由點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離大于，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題意，該圓臺(tái)的軸截面可補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為12的正三角形，故圓臺(tái)中能放下的最大球的半徑為，直徑為，故在圓臺(tái)內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則正方體為該球的內(nèi)接正方體，棱長(zhǎng)為，故D正確；故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】一組數(shù)據(jù)的方差是，另一組數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：13.已知，則______.【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，即可根據(jù)二倍角公式以及齊次式求解.詳解】由可得，，故答案為：14.如圖，在正方體中，E.分別為棱的中點(diǎn).則過(guò)點(diǎn)的截面分正方體上下兩部分的體積之比為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)可得截面為多邊形，即可利用錐體體積公式求解.詳解】連接并延長(zhǎng)交于，連接并延長(zhǎng)交于于，連接交于，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,根據(jù)相似可得,則截面即為所求；連接，如圖，則截面下部的體積.，則，于是，因此截面上下兩部分的體積之比為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷(xiāo)形式．某直播平臺(tái)800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖1所示．（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類(lèi)、玩具類(lèi)商家各多少家？（2）在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問(wèn)題；（?。┕烙?jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；（ⅱ）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）小吃類(lèi)16家，玩具類(lèi)4家；（2）（i）中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；（2）128.【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來(lái)估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.【小問(wèn)1詳解】，，所以應(yīng)抽取小吃類(lèi)16家，玩具類(lèi)4家.小問(wèn)2詳解】（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，解得，平均?shù)為，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.（ii）,所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為128.16.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為直角梯形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過(guò)證明平面，從而可證得；（2）用等體積法求出點(diǎn)到平面距離，進(jìn)而可得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，連接，，.由側(cè)面為正三角形知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.在底面中，，，∴，同理有，，由勾股定理知，即，又∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.【小問(wèn)2詳解】在中，，，∴，，，，，設(shè)到平面距離為，，∴.設(shè)與平面所成角為，則.17.在銳角中，記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)為的所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足.（1）若，求的值；（2）在（1）條件下，求的最小值；【答案】（1）1（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即為的外心，最后由正弦定理計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，求出的范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，即，因?yàn)?，所以，又由，可得，解得，即，所以為的外心，由正弦定理有，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，外接圓的半徑，其中，且為銳角，故，由，可得，因?yàn)?，解得，即，則，則，且，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以，所?18.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）連接與，兩線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得到，再利用線(xiàn)面平行的判定即可證.（2）應(yīng)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和得到，再利用線(xiàn)面垂直的判定即可證.（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，進(jìn)而有平面，再利用面面垂直的判定即可證.【小問(wèn)1詳解】連接與，兩線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，在中，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌?，平面，所?又為棱的中點(diǎn)，，所以.因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所?因?yàn)椋?又，在和中，，所以，即，所以，又，，平面，所以平面.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面.證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面.19.已知i是虛數(shù)單位，a，，設(shè)復(fù)數(shù)，，，且.（1）若為純虛數(shù)，求；（2）若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).①是否存在實(shí)數(shù)a，b，使向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，如果存在，求實(shí)數(shù)a，b的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若O，A，B三點(diǎn)不共線(xiàn)，記的面積為，求及其最大值.【答案】（1）或（2）①存在，；②，最大值為2【解析】【分析】（1）計(jì)算，然后使其實(shí)部為零，虛部不為零，再結(jié)合可求出的值，從而可求出求；（2）①方法一：由題意可得，然后解關(guān)于的方程組可得結(jié)果，方法二：設(shè)則，再由題意得，從而可求得結(jié)果，②設(shè)向量的夾角為θ，，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量為則，化簡(jiǎn)后再利用可求得其最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，而為純虛數(shù)，因此，即.又因?yàn)?，且，所以，由，解得或，所以?【小問(wèn)2詳解】①存在，理由