清單07勾股定理勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））

清單07勾股定理、勾股定理逆定理（18種題型解讀（58題））【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】【考試題型1】利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)1．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤糁苯侨切蝺蓷l直角邊的長(zhǎng)分別為3和6，則該直角三角形斜邊上的高為．【答案】655【分析】本題考查了勾股定理的和面積法的應(yīng)用．由勾股定理求斜邊，再由面積法求斜邊上高即可．【詳解】解：由勾股定理該三角形的斜邊為6設(shè)斜邊上高為h，由面積法12∴h=6故答案為：652．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，做一個(gè)長(zhǎng)80cm，寬60cm的長(zhǎng)方形木框，需在對(duì)角的頂點(diǎn)間釘一根木條用來(lái)加固，則木條的長(zhǎng)為【答案】100【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，由于長(zhǎng)方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：木條的長(zhǎng)為802故答案為：100．3．（2023上·重慶忠縣·九年級(jí)重慶市忠縣忠州中學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=AC，AD是BC的中線(xiàn)，若AB=10，BC=12，則AD長(zhǎng)為．【答案】8【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，由等腰三角形的性質(zhì)，得到AD是BC邊上的高，再由勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵AB=AC，AD是BC的中線(xiàn)，∴AD⊥BC，BD=1在Rt△ABD中，AB=10，BD=6由勾股定理，得AD=A故答案為：8．4．（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為【答案】5【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理，由勾股定理可得AB=5，作DE⊥AB于E，再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得CD=DE，利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算可得CD=32，最后由【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A如圖，作DE⊥AB于E，，∵AC平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵S△ABC=∴1∴CD=3∴AD=AC-CD=4-3故答案為：52【考試題型2】利用勾股定理求面積5．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是．【答案】13【分析】本題主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB【詳解】解：由勾股定理得，AB∴正方形的面積是13，故答案為：13．6．（2023上·海南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，頂點(diǎn)A、B、C恰好分別落在一組平行線(xiàn)中的三條直線(xiàn)上，若相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度，則△ABC的面積是．【答案】50【分析】過(guò)點(diǎn)C作DE⊥AD，則BE⊥CE，證明△ACD≌△CBE，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得AC=BC=10，根據(jù)三角形面積公式即可求解．本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作DE⊥AD，則BE⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBEAAS∴BE=CD，∵相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴BE=CD=6,CE=8Rt△BCE中，BC=∴S故答案為：507．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形，面積分別為S1，S2．若S1=2，S【答案】2【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握“如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+【詳解】解：∵以AC、AB為邊向外作正方形，S1=2，∴AC2=2在Rt△ABC中，BC∴BC=2．故答案為：2．8．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在水平桌面上依次擺著三個(gè)正方形，已知位于中間的正方形的面積為5，兩邊的正方形面積分別是S1，S2，則S

【答案】5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=CD，∠ACD=90°，再根據(jù)等角的余角線(xiàn)段得∠BAC=∠DCE，則可根據(jù)“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC2=A【詳解】解：如圖，

∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，在△ACB和△DCE中，∠ABC=∠CED∠BAC=∠DCE∴△ACB≌△DCESAS∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即Sb∴S故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和正方形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段相等．9．（2023上·遼寧本溪·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面積依次為8、

【答案】4【分析】根據(jù)正方形的面積的計(jì)算方法，勾股定理的運(yùn)用，可得c2+e【詳解】解：設(shè)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，中間正方形E的邊長(zhǎng)為e∴SA=a2，SB=b根據(jù)所有三角形都是直角三角形，∴c2+e2=∵a2∴a2=e2-故答案為：4．【考試題型3】已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離10．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)Ax1,y1【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0)，∴線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為-3-1211．（2019下·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P5,-12到原點(diǎn)O0,0的距離是【答案】13【分析】本題主要考查求兩點(diǎn)之間的距離，利用勾股定理直接計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得，點(diǎn)P5,-12到原點(diǎn)O0,0的距離為故答案為：13．【考試題型4】勾股樹(shù)問(wèn)題12．（2023上·山東濟(jì)寧·七年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┫旅娓鹘Ma、b、c，是勾股數(shù)的是．（填序號(hào)）（1）a=7，b=24，c=25（2）a=5，b=13，c=12（3）a=4，b=5，c=6（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4【答案】（1）（2）【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形，據(jù)此逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：（1）72（2）53（3）22（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4均不是整數(shù)，故不符合題意；故答案為：（1）（2）．13．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿(mǎn)足a2+n2=n+12，這樣的三個(gè)整數(shù)a,n,n+1（如：3，4，5或5，12，【答案】7【分析】根據(jù)a2+n2=n+12，得到a2=2n+1【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∵n<115，∴2n+1<231，∴a2為231以?xún)?nèi)的數(shù)，有：9,25,49,81,121,169,225，共7∴共有7組這樣的“完美勾股數(shù)”；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)，理解并掌握“完美勾股數(shù)”的定義，是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】勾股定理與折疊問(wèn)題14．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則AE的長(zhǎng)為cm，BF的長(zhǎng)為【答案】45【分析】由折疊的對(duì)稱(chēng)性知BE=DE,AE=9-BE，在Rt△ABE中利用勾股定理可求得AE、BE；再由折疊性可證∠BEF=∠DEF結(jié)合內(nèi)錯(cuò)角∠BFE=∠DEF，可證∠BEF=∠BFE【詳解】解：∵EF是四邊形EFCD與EFC∴BE=DE,AE+BE=AE+DE=AD=9cm又∵AB=3設(shè)BE=xcm，則在Rt△ABE中，A∴3解得：x=5則BE=DE=5cmAE=9-5=4cm由折疊的性質(zhì)知∠BEF=∠DEF，再由AD∥BC知∠BFE=∠DEF∴∠BEF=∠BFE，則BF=BE=5故答案為：4；515．（2023上·貴州六盤(pán)水·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．E為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，連接CE，將邊BC沿CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'落在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．若AB=5，BC=4，則△B'

【答案】12【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，由勾股定理求得AC的長(zhǎng)，由面積關(guān)系可求得CD的長(zhǎng)，再由勾股定理可求得BD的長(zhǎng)；由折疊的性質(zhì)可得BC=B'C=4，S△BCE=S△【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC=∴CD=12∴BD=B由折疊的性質(zhì)可得BC=B'C=4∴12BE?CD=∴BE=5∵DE+BE=BD=16∴DE=6∴S故答案為：12516．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上，則BE【答案】3【分析】利用勾股定理求出AC=10，利用折疊的性質(zhì)得到∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，則CF=AC-AF=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，利用勾股定理得到x2+4【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=8∵把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上，∴∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，∴CF=AC-AF=10-6=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF∵EF∴x解得x=3，∴BE=3．故答案為：3．17．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是．

【答案】13【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明AD=AB=2，∠B=∠ADB，【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AD=AB=2，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，設(shè)AE=x，CE=DE=AC-AE=3-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：A∴22解得x=13∴AE=13故答案為：13618．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿直線(xiàn)AE翻折，得到△AB'E，點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，且DF=2，連接AF，B'F，則當(dāng)BE

【答案】3或6【分析】本題考查了勾股定理，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)；分兩種情況討論，利用直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】①當(dāng)點(diǎn)B'在直線(xiàn)AF下方，且∠A

又∵∠AB∴點(diǎn)E，B'，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)在Rt△AB'AB∴Rt∴B設(shè)BE=x，則B'E=x，在Rt△FEC中，由勾股定理，得F即(x+2)2解得x=3，故BE=3．②當(dāng)點(diǎn)B'在直線(xiàn)AF上方，且∠AB'F=90°時(shí)，點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，故BE=6．故答案為：3或6．【考試題型6】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題19．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，以數(shù)1表示的點(diǎn)為圓心，陰影正方形邊長(zhǎng)為半徑，畫(huà)圓弧交數(shù)軸于點(diǎn)A（點(diǎn)A位于原點(diǎn)右側(cè)），則點(diǎn)A表示的數(shù)為．

【答案】5【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸和勾股定理．先根據(jù)勾股定理求出圓弧的半徑，再求出點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離，然后結(jié)合點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置即可得出答案．【詳解】解：∵正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴陰影正方形的邊長(zhǎng)即圓弧半徑為12∴點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5+1∴點(diǎn)A表示的數(shù)是5+1故答案為：5+120．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，△ABC的面積是，點(diǎn)A到BC邊的距離為．

【答案】72【分析】本題主要考查了根據(jù)網(wǎng)格求三角形面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”．用割補(bǔ)法即可求出△ABC的面積，根據(jù)勾股定理得出BC=12+32【詳解】解：根據(jù)題意可得：S△ABC根據(jù)勾股定理可得：BC=1設(shè)點(diǎn)A到BC邊的距離為h，S△ABC則72解得：h=7故答案為：72，721．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，由四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到△ABC，則△ABC中AB邊上的高是．

【答案】3【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用三角形的面積求出三角形的高CD即可．【詳解】作CD⊥AB于D,如圖所示：

∵小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AB=1∵S△ABC∴S△ABC解得：CD=3故答案為：35【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)題意得出△ABC的面積等于正方形面積減去其他3個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】利用勾股定理證明線(xiàn)段的平方關(guān)系22．（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O．若AD=1,BC=4，則AB2

【答案】17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022下·河北石家莊·八年級(jí)石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=；（2）若AD=2，BC=5，則A（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】427【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到AB（3）由（2）得求解過(guò)程可以得到AB【詳解】（1）∵AC⊥BD，∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，∴OB===4，∴CB===42故答案為42（2）由（1）得：∴OB2+OC2=BC2，∵AD=2，BC=∴A=7．故答案為7．（3）由（2）得：AB∴m故答案為m2【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．24．（2022上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)分別為AC，BD，且AC⊥BD于點(diǎn)O，若AD＝2，BC＝6，則【答案】40【分析】AB、CD分別是兩個(gè)直角三角形的斜邊。在RtΔAOB中，AB在RtΔCOD中，CDAB進(jìn)而求解．【詳解】在RtΔAOB中和RtΔCOD中，AB2AB==A==40故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（2022·北京海淀·八年級(jí)校考期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，若AB=6，CD=10【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得，BO2在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO∴BO2+C∴AD故答案為：136．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．【考試題型8】勾股定理的證明方法26．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟?lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)你從圖1，圖2，圖3中任選一個(gè)圖形來(lái)證明該定理；(2)①如圖4，圖5，圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足S1+S②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1,S2，直角三角形面積為【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①3；②S1【分析】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；（1）根據(jù)面積法即可證明勾股定理；（2）①設(shè)面積為S1的正方形邊長(zhǎng)為a，面積為S2的正方形邊長(zhǎng)為b，面積為S3的正方形邊長(zhǎng)為c②結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、非陰影部分去除三角形后的面積，再根據(jù)陰影部分面積（S1+S2）=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積【詳解】（1）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正形面積的和．即c2化簡(jiǎn)得：a2在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．大正方形面積為：a+b2小正方形面積為：c2四個(gè)直角三角形面積之和為：4×1∵大正方形面積=小正方形面積+四個(gè)直角三角形面積之和∴a+b∴a2在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12化簡(jiǎn)得：a2（2）①三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足S1+S設(shè)面積為S1的正方形邊長(zhǎng)為a，面積為S2的正方形邊長(zhǎng)為b，面積為S3根據(jù)題意得：a如圖4：S1=a2，∴S1如圖5：S1=12π∵1∴S1如圖6：S1=12×a×∵3∴S1∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足S1+S故答案為：3；②S1以a為直徑的半圓面積為：12以b為直徑的半圓面積為：12非陰影部分去除三角形后的面積為：12∵陰影部分面積(S1+S2)=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積∴S1結(jié)合（1）的結(jié)論：a∴1∴S127．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1所示，有若干張正方形和長(zhǎng)方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分別是邊長(zhǎng)為a、b的正方形，C型卡片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，且它的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為c（如圖1中的虛線(xiàn)）．(1)【操作一】若用若干張圖1中的卡片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+3b的正方形，則需要A型卡片__________張，B型卡片__________張，C型卡片__________張；(2)【操作二】將兩張C型卡片沿如圖1所示虛線(xiàn)剪開(kāi)后，拼成如圖2所示的正方形，請(qǐng)借助于圖2中陰影部分面積的兩種表達(dá)方式，探索a、b、c滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；(3)【操作三】如圖3，將2張A型卡片和2張B型卡片無(wú)疊合的置于長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的長(zhǎng)方形中．若圖2中陰影部分的面積為4，圖3中陰影的部分面積為15，記每張A型、B型、C型卡片的面積分別為SA、SB、SC【答案】(1)1；9；6(2)a2(3)13【分析】本題主要考查了完全平方公式應(yīng)用，關(guān)鍵能夠分割圖形，了解各個(gè)部分組成，便可表示各個(gè)類(lèi)型的數(shù)量，善用整體代入法，表示出相應(yīng)部分面積，利用整體代入法求解．（1）根據(jù)完全平方公式把a(bǔ)+3b2（2）求出陰影部分圖形的面積即可；（3）利用圖2中陰影部分的面積為4，圖3中陰影的部分面積為15，得到a-b=2，ab=3，利用整體代入法進(jìn)而求得答案．【詳解】（1）解：∵a+3b2故需要A型卡片1張，B型卡片9張，C型卡片6張；故答案為：1；9；6；（2）解：a2圖②陰影部分圖形的面積可表示為：a-b2或c∴a-b∴a∴a（3）解：∵圖2中陰影部分的面積為4，∴a-b∵圖3中陰影的部分面積為15，∴2a+b∴ab=3，∴SA【考試題型9】分類(lèi)討論思想在直角三角的應(yīng)用28．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則斜邊長(zhǎng)為（

）A．13 B．119 C．13或15 D．15【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直接根據(jù)勾股定理解答即可，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，∴由勾股定理得，斜邊長(zhǎng)=5故選：A．29．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，已知其兩邊長(zhǎng)分別為a，b，且滿(mǎn)足a-32+A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)可得a=3,b=4，然后分兩種情況：當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)為3,4時(shí)，當(dāng)斜邊長(zhǎng)為4時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵a-32∴a-3=0，解得：a=3，當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)為3，4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為32當(dāng)斜邊長(zhǎng)為4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為42綜上所述，第三邊長(zhǎng)的平方為25或7．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．30．（2022上·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┲苯侨切蔚膬芍苯沁叺拈L(zhǎng)分別為6，10，第三邊長(zhǎng)為（

）A．8 B．234 C．8或234 D．8【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為6和10，∴斜邊==6故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考試題型10】利用勾股定理解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題31．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線(xiàn)BC，AD是腰BC的高線(xiàn)，E是△ABC外射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE．

(1)當(dāng)AD=4，BC=5時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BC=CE時(shí)；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=18【答案】(1)3；(2)見(jiàn)解析；(3)2或116【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）證明CA=CE=CB，推出∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理，可得結(jié)論；（3）由S△ACD：S△ACE=18：25，推出CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k，則【詳解】（1）解：∵∠CAB=∠B，∴AC=BC=5，∵AD⊥BE，∴∠ADC=90°，∴CD=A（2）∵BC=CE，AC=CB，∴AC=CE=CB，∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，∴2∠AEB+2∠B=180°，∴∠AEB+∠B=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB；（3）∵S△ACD：S△ACE∴CD：CE=18：25，設(shè)CD=18k，CE=25k，則DE=7k，∵AD⊥EC，DE≠CD，∴AC≠AE，當(dāng)CE=CA=25k時(shí)，BC=CA=25k，∴BE=BC+CE=50k，BEBC當(dāng)AE=EC=25k時(shí)，AD=A∴AC=A∴BC=AC=30k，∴BE=BC+CE=55k，∴BE綜上所述，滿(mǎn)足條件的BEBC的值為2或11【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理,三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．32．（2023上·江西·八年級(jí)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm(1)如圖（1），當(dāng)t=時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；(2)如圖（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌【答案】(1)112或(2)154cm【分析】本題主要考查直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)C上；②當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B上，AP=4，AQ=5，分別求出P移動(dòng)的距離和時(shí)間，進(jìn)而求出【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖①-1若△APC的面積等于△ABC面積的一半，則CP=1此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CP=12+9移動(dòng)的時(shí)間為：332②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，如圖①若△APC的面積等于△ABC面積的一半，則PD=12AB，即點(diǎn)P此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CB+BP=12+9+15移動(dòng)的時(shí)間為：572故答案為：112或19（2）△APQ≌△DEF，即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與①當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)C上，如圖②-1此時(shí)，AP=4，AQ=5，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為5÷4÷3②當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B上，如圖②-2此時(shí)，AP=4，AQ=5，即，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為9+12+15-4=32cm，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為9+12+15-5=31∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為31÷32÷3綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為15433．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)段AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交射線(xiàn)AC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t>0

(1)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．(2)連接CP，當(dāng)△ACP是等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)直線(xiàn)PQ把△ABC分成的兩部分圖形中有一個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)13(2)t的值為52或1013或(3)t的值為12或5【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可得；（2）分如圖21所示，當(dāng)AC=AP時(shí)；如圖22所示，當(dāng)AP=CP時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，利用面積法求出CE=125，進(jìn)而利用面積法求出PD=45AP=125（3）分圖31和圖32兩種情況討論計(jì)算，由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，用相等的線(xiàn)段建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12∴AB=A故答案為：13；（2）解：如圖21所示，當(dāng)AC=AP時(shí)，∴2t=5，∴t=5

如圖22所示，當(dāng)AP=CP時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，

∴AD=CD=1∵S△ABC∴CE=AC?BC∵S△ACP∴PD=AP?CE∵AP=2t，∴PD=24在Rt△ADP中，由勾股定理得：A∴2t2解得t=10當(dāng)AC=CP時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，∵CE=60∴AE=A∴AP=2AE=50∴t=綜上所述，t的值為52或1013或（3）解：由題意，分以下兩種情況：①如圖31所示，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且CQ=PQ時(shí)，連接BQ，

在Rt△BCQ和RtBQ=BQCQ=PQRt△BCQ≌∴四邊形PBCQ是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意，∵PB=BC=12，∴13-2t=12，解得t=1②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在A(yíng)C延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AP=AC時(shí)，設(shè)PQ交BC于點(diǎn)D，連接AD，

同理可證：Rt△ACD≌∴四邊形ACDP是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意，∵AP=AC=5，∴2t=5，解得t=5綜上，當(dāng)直線(xiàn)PQ把△ABC分成的兩部分圖形中有一個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，t的值為12或5【點(diǎn)睛】本題考主要查了勾股定理、等腰三角形三線(xiàn)合一、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【考試題型11】利用勾股定理解決規(guī)律問(wèn)題34．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2023【答案】1【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類(lèi)，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“Sn=4×12n-1”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為S【詳解】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE,∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的22∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，S1∴面積標(biāo)記為S2的正方形邊長(zhǎng)為2則S2面積標(biāo)記為S3的正方形邊長(zhǎng)為2則S3面積標(biāo)記為S4的正方形的邊長(zhǎng)為2則S4……，∴S則S2023的值為：4×故答案為：1235．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、babc345861015817………………xy122A．142 B．143 C．144 D．145【答案】A【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a=【詳解】解：由題可得，3=22-1，4=2×2，∴a=n2-1，b=2n，c=n2∴當(dāng)c=n解得：n=11，∴x=120，y=22，∴x+y=142，故選：A．36．（2023上·河北保定·八年級(jí)保定十三中?？计谥校﹫D1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形演化而成的．若圖2中的OA1

（1）線(xiàn)段OA12的長(zhǎng)為（2）若S1代表△A1OA2的面積；S2代表△A2【答案】23【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，數(shù)字的規(guī)律探究，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．熟練掌握勾股定理，推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理得，OA2=OA1+A1A2（2）由題意知，S1=S△A1OA2=1【詳解】（1）解：由勾股定理得，OAOAOA……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為OA∴OA故答案為：23（2）解：由題意知，S1S2S3……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為Sn∴S===33故答案為：33237．（2023上·四川成都·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，等腰Rt△OA1A2，OA1=A1A2=1，以O(shè)

【答案】64【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和勾股定理結(jié)合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的性質(zhì)分別求出OA1、OA2、……、【詳解】∵OA1=∴OA又∵Rt△O∴OA∴OA同理可得：OA4=2OA3=22根據(jù)題意可得：OA∴S△O故答案為：64．【考試題型12】利用勾股定理解決新定義問(wèn)題38．（2023上·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：將一個(gè)凸四邊形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等腰直角三角形的對(duì)角線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線(xiàn)”．已知一個(gè)直角梯形的“等腰直角線(xiàn)”等于4，它的面積是．【答案】4+42或【分析】分兩種情況，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，AD=AC=4，

∴AB∴AB=22∴梯形ABCD的面積為12如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4，

∴∠BAD=∠B=90°，∠BAC=45°，∴∠CAD=∠D=45°，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=2∴梯形ABCD的面積為12如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；綜上所述，它的面積為4+42或12故答案為：4+42或【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．39．（2020上·山西太原·八年級(jí)太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、2、7，則該三角形（填“是”或者“不是”）奇異三角形．【答案】是【分析】根據(jù)奇異三角形的定義，即可求解．【詳解】解∵12∴該三角形是奇異三角形．故答案是：是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義的理解，明確題意，理解新定義是解題的關(guān)鍵．40．（2022上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P1a,b，P2c,b，P3c,d，這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P1，P例如：點(diǎn)P1-1,2，P21,2，P31,3的（1）理解：點(diǎn)Q10,1，Q24,1，Q34,4的（2）探究：已知點(diǎn)O0,0，A-4,0，B-4,y．則點(diǎn)O，A，B的“最佳間距”【答案】34【分析】（1）求出Q1Q2、Q1Q3、Q2Q3的值即可得到點(diǎn)Q（2）求出AB=y，OA=4，并得到結(jié)論△OAB是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以“最佳間距”等于A(yíng)B或BC的長(zhǎng)度，即4或y【詳解】解：（1）∵Q1Q2=4-0∴點(diǎn)Q10,1，Q24,1，Q34,4的故答案為：3；（2）∵點(diǎn)A-4,0，B∴AB⊥x軸，AB=y∵點(diǎn)O0,0，A∴點(diǎn)O，A是x軸上兩點(diǎn)，且OA=4；∴△OAB是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以“最佳間距”等于A(yíng)B或OA的長(zhǎng)度，即4或y．當(dāng)AB>OA，即y>4時(shí)，“最佳間距”等于4當(dāng)AB=OA，即y=±4時(shí)，“最佳間距”等于4；當(dāng)AB<OA，即y<4時(shí)，“最佳間距”等于y所以點(diǎn)A，B，C的“最佳間距”的最大值為4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理求兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，提煉出新定義的規(guī)則，根據(jù)規(guī)則，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．41．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形某邊上高的長(zhǎng)度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱(chēng)為三角形某邊的“中偏度值”．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB邊上的高，則△ABC中AB邊的“中偏度值”為．

【答案】24【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出△ACB中AB邊上的高和該邊上的中點(diǎn)到CD的距離，再求它們的比值即可．【詳解】解：作CE為△ACB的中線(xiàn)，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=A∵1∴1∴CD=12∴BD=∵CE為Rt△ABC斜邊AB上的中線(xiàn)，AB=5∴BE=∴ED=BE-BD=即點(diǎn)E到CD的距離為710則△ABC中AB邊的“中偏度值”為125【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AB邊上的高和該邊上的中點(diǎn)到高的距離．【考試題型13】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形42．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)?？计谥校┤切蔚娜呴L(zhǎng)分別是7,24,25，可以判斷這是三角形．【答案】直角【分析】本題考查勾股定理的逆定理；由勾股定理的逆定理可知，該三角形為直角三角形．【詳解】解：∵72∴該三角形是直角三角形，故答案為：直角．43．（2022下·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5、5、25，則該三角形的面積為【答案】5【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的面積，根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形的直角三角形，再求出三角形的面積即可．【詳解】解：∵52+2∴52∴三角形的直角三角形，直角邊是5和25∴三角形的面積是12故答案為：5．44．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若n>1，△ABC三邊長(zhǎng)分別是n2-1，2n，n2+1，則【答案】直角【分析】此題考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用較短兩邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方即可得到三角形是直角三角形．【詳解】∵n∴△ABC是直角三角形，故答案為：直角．45．（2023上·山東威?！ぐ四昙?jí)威海經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)皇冠中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a2c2-b【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．把已知等式移項(xiàng)分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個(gè)為0得到關(guān)系式，即可做出判斷．【詳解】解：∵a2∴a2∴c2∴a2∴a+ba-b∵△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∴a+b≠0，∴a-b=0,c∴a=b,c∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故答案為：等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【考試題型14】圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)46．（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┰谌鐖D所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿(mǎn)足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．47．（2019·福建·校聯(lián)考一模）點(diǎn)A（2，m），B（2，m5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，點(diǎn)A在x軸上，進(jìn)而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，m?5＝0，解得：m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．【考試題型15】在網(wǎng)格上判斷直角三角形48．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC是（

）

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出△ABC各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀即可．【詳解】解：由圖形可知：AB2=42∴AB∴△ABC是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a249．（2023上·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是由6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形組成的網(wǎng)格，則∠1+∠2=（）

A．80° B．85°C．90° D．95°【答案】C【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理逆定理得到∠A=90°，再由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，

則AB=12+22∴AB∴∠A=90°，∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=180°-∠A=180°-90°=90°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．50．（2021上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．△ABC的面積為10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是【答案】A【分析】求出AC、BC，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的意義可以判斷【詳解】解：∵AC=12+22∴AC∴∠BAC=90°，故B、C正確，不符合題意；∴S△ABC=設(shè)點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是h，∵S∴1∴h=2∴點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【考試題型16】利用勾股定理逆定理求解51．（2023上·山東青島·八年級(jí)校考期中）若△ABC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=2∠C B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．a(chǎn)=1，b=2，c=3 D．a(chǎn)=1，b=2，【答案】D【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形內(nèi)角和定理求出△ABC中最大的內(nèi)角度數(shù)即可判斷A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，那么該三角形是直角三角形，即可判定C、D．【詳解】解：A、∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=72°，∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°×5∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；C、∵12∴不能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、∵12∴能判斷△ABC是直角三角形，符合題意；故選D．52．（上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，且∠B=90°，下列結(jié)論中：①∠D=90°；②∠A+∠C=180°；③∠C=120°；④S四邊形ABCD=204A．② B．①② C．①④ D．①③④【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四邊形內(nèi)角和定理，先根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2+BC2=625，進(jìn)而證明CD2+AD2=AC2【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20，BC=15∴AC∵CD=7，DA=24，∴CD∴CD∴△ACD是直角三角形，且∠D=90°，故①正確；∴∠BAD+∠BCD=360°-∠D-∠B=180°，故②正確；S四邊形ABCD=根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到∠C=120°，故③錯(cuò)誤；故選B．53．（2023下·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a+ca-cA．∠A為直角 B．∠B為直角 C．∠C為直角 D．∠A是銳角【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵a+ca-c∴a∴a∴△ABC是直角三角形，∴∠A為直角，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【考試題型17】利用勾股定理逆定理證明54．（2023上·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD=12cm，(1)求證：△BDC是直角三角形．(2)求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)△ABC的周長(zhǎng)為26+4【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理判定直角三角形的運(yùn)用，掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，分類(lèi)討論，①當(dāng)AB=AC=13cm時(shí)；②當(dāng)AB=BC=13（2）根據(jù)（1）中可知△BDC是直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出BC的值，由此即可求解．【詳解】（1）證明：已知等腰△ABC的腰AB=13cm①當(dāng)AB=AC=13cm時(shí)，在△ACD中，CD=12cm，∴AD2=52∴AD∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°，∴CD⊥AB，∴△BCD是直角三角形；②當(dāng)AB=BC=13時(shí)，在△BCD中，BD=AB-AD=13-5=8，∴BD2=82∵BD∴△BCD不是直角三角形，與上述證明矛盾，∴△ABC是以AB=AC的等腰三角形；∴△BDC是直角三角形．（2）解：由（1）可知，△ABC是以AB=AC=13cm的等腰三角形，△BDC∴BC=B∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=13+13+413即△ABC的周長(zhǎng)為26+41355．（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD為BC邊上的中線(xiàn)，且AD＝12，過(guò)點(diǎn)

(1)求證：AD⊥BC；(2)求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6013【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾