11.1-余弦定理-教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第十一章解三角形11.1余弦定理學(xué)習(xí)本章之前，已經(jīng)研究過有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形、平面向量等知識，解三角形是在這些知識的基礎(chǔ)上，對任意三角形的邊長和角度關(guān)系作進一步的探索研究．通過研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題；通過研究，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、猜想、論證能力以及分析問題和解決問題的能力，同時讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)的對稱美與和諧美；通過解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識既來源于生活，又服務(wù)于生活．課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.a邏輯推理:通過運用向量方法得出余弦定理，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).b數(shù)學(xué)運算:通過運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1.教學(xué)重點：證明余弦定理的向量方法.2.教學(xué)難點：通過探究，了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.多媒體調(diào)試、講義分發(fā)。如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°.問題1我們知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知兩條直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的結(jié)論？提示在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC.這個公式是余弦定理的形式之一.當(dāng)C＝90°時，則cosC＝0，將cosC＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.問題2你能通過上面的問題1的結(jié)論計算求出山腳的長度BC嗎？提示利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA可求出BC的長.余弦定理的表示及其推論文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號語言：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).題型一已知兩邊及一角解三角形【例1】在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解這個三角形.解由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.當(dāng)c＝3時，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；當(dāng)c＝6時，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.綜上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.規(guī)律方法已知兩邊及一角解三角形的方法利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長，然后利用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出另外兩個角.【訓(xùn)練1】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.解5x2＋7x－6＝0可化為：(5x－3)(x＋2)＝0.解得x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2.又cosC∈(－1，1)，且cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，∴cosC＝eq\f(3,5).據(jù)余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋33－2×5×3×eq\f(3,5)＝16.∴c＝4.題型二已知三邊解三角形【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大內(nèi)角.解由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大邊，其所對角C為最大內(nèi)角.由余弦定理推論得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大內(nèi)角為120°.規(guī)律方法已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求一個角，繼續(xù)用余弦定理求另一個角，進而求出第三個角.【訓(xùn)練2】若△ABC的三條邊a，b，c滿足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，則△ABC()A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形解析∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨設(shè)a＋b＝7k，則b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不為0的正常數(shù))，解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(11,24)<0，∵0<C<π，故C為鈍角，△ABC為鈍角三角形.答案C題型三判斷三角形形狀【例3】已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，試判斷△ABC的形狀.解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，與①聯(lián)立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC為等邊三角形.規(guī)律方法判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.1.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解析∵b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.答案D2.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq\f(3,5)，則三角形的另一邊長是________.解析設(shè)另一邊長為x，則x2＝52＋32－2×5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq\r(13).答案2eq\r(13)3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角的大小為________.解析∵a>b>c，∴C為最小角，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)4.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為________.解析設(shè)三角形的底邊長為a，則周長為5a.所以等腰三角形的腰長為2a，設(shè)頂角為α，由余弦定理，得cosα＝eq\f(（2a）2＋（2a）2－a2,2×2a×2a)＝eq\f(7,