2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷（蘇教版 2019）02（必修二解析版）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷

(蘇教版2019)02

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題區(qū)書寫的答案無

效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、單選題(本大題共8小題，共40分)

1.若向量麗=(2,3),XC=(-4,-7),則前=()

A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

【答案】A

【分析】

由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.

【詳解】

BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足反=1一》(，為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,可得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得答案.

【詳解】

因?yàn)榉?1一i，

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,

故選：c.

3.已知水平放置的AABC是按"斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中8，。，=<7。，=1,A0=昱,那么

2

原AABC的面積是（）

A.6B,20

C.BD.史

24

【答案】A

【分析】

先根據(jù)已知求出原AABC的高為A0=6,再求原AABC的面積.

【詳解】

由題圖可知原AA8c的高為4。=百，

SAZ（BC=~xBCxOA=—x2x,故答案為A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計(jì)算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能

力.

4.為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了〃名學(xué)生的課外閱讀時間，所得數(shù)據(jù)都在［50［50］中，其頻率

分布直方圖如圖所示.已知在［50,75）中的頻數(shù)為100,則〃的值是（）

A.500B.1000C.10000D.25000

【答案】B

【分析】

根據(jù)頻率分布直方圖可得在［50,75）中的頻率，進(jìn)而可得〃.

【詳解】

由圖可得在150,75）中的頻率為0.004x25=0.1,

所以〃=W2=1000,

0.1

故選：B.

5.已知一個直角三角形的邊長分別為3,4,5,若以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得

幾何體的體積等于（）

一481144乃

A.127TB.16nc.----D.---------

55

【答案】C

【分析】

先判斷所得幾何體是由兩個同底的圓錐拼接而成，中通過等面積法計(jì)算底面半彳仝B。，再利用圓

錐體枳之和求所得幾何體的體積即可.

【詳解】

依題意，所得幾何體是由兩個同底的圓錐拼接而成，如圖所示,

RMABC中，AB=4,BC=3,AC=5，

ABBC4x312加向博士

由R/AABC的面積S'=LA8BC=LACB。，得BO=--------=-----=一，即圓錐底面面積

22AC55

S=兀-BO1=匕色,

25

又上面圓錐體積為K=-SAO,下面圓錐體積為％=^S-OC,

33

|11|44^-AQjr

故幾何體的體積丫=乂+匕=匕=—S?(49+0C)=§S.AC=1X；—x5=，一.

故選：c.

71271

6.已知(一,TI),并且sina+2cosa二一，則tan(ad—)=()

D.-7

【答案】A

【分析】

將已知等式平方,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosa-2sina=-不，再結(jié)合已知等式作商可求得tana,

由兩角和與差的正切公式計(jì)算即可得解.

【詳解】

24

由sina+2cosa=-,得sin2a+4sinacosa+4cos2a=—,

525

4

所以(l-cos2。)+4sinacosa+4(1-sin2a)=-,

25

121

整理得cos2a-4sinacosa+4sin2a=-----，

25

…121

所以(cosa-2sina)2=-----,

71sincr>0

因?yàn)?―,n),所以<

2cosaVO

所以cosa-2sina=------,又sina+2cosa=—,

55

一724

所以cosa-----,sina-——,

25

24

所以tana=----,

7

一71tano+1

所以tan(ad—)

1-tana

故選:A.

【點(diǎn)睛】

211

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由sina+2cosa=一推出cosa-2sina=------是本題的解題關(guān)鍵.

7.已知點(diǎn)G是A4BC的重心，AG=AAB+e7?),若NA=120°，ABAC=-2'則|而|的

最小值是

V2_23

A也B.C.一D.-

3~T34

【答案】C

【分析】

由題意將原問題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問題，據(jù)此求解I而I的最小值即可.

【詳解】

如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得前亞=g(而+恁),

???ZA=12(r,AB-XC=-2,

根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得福?而=同X|蔗|Xcos120°=—2,

設(shè)jA3卜X,|AC|-y,則|AB|X|AC|-xy=4,

當(dāng)且僅當(dāng)“=y，EP|AB|=|AC|,AABC是等腰三角形時等號成立.

綜上可得|而|的最小值是|.

本題選擇C選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的加法運(yùn)算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知識，意在考查學(xué)生

的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

8.設(shè)a,b,c為△ABC中的三邊長，且o+b+c=l,則標(biāo)+^^+而兒的取值范圍是()

13i「13n131

L272j|_272J2752

【答案】B

【分析】

記/[a,b,c)=a2+b2+c2+4abc,貝ij/(a,b,c)=l-2ab-2c(a+b)+4abc,再根據(jù)三角形邊長性質(zhì)可以證得f(a,b,

(1C)

c)<L.再利用不等式和已知可得ab”(史21=g二立，所以/(a,b,C)>1-2x~~(l-2c)-2c(l

2I2J44

ii13

3

-C)=C--/+-,再利用求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性可以推得O2+b2+c2+4obc..._,繼而可以得出結(jié)果.

2227

【詳解】

記/(a,b,c)=a2+b2+c2+4abc,則

f(a,b,c)=l-2ab-2c(a+b)+4abc

=1-20b(1-2c)-2c(l-c)

=2(c+ab)2-202b2-2(ab+c)+l

=2[c+ab-]2-202b2+；

—2(c+cib----Fcth)(c+ah-----ah)H—

222

=2(c+lab-、)(c-1)+g

222

=2(1-?-/?+2aZ?--)(c--)+—

222

=2(--tz-Z?+2ab)(c--)+—

222

“1ab?1、1

42222

=4(c-g)(a-y)(b-g+J，

又。，b,c為AA8c的三邊長，

所以1-2。>0,1-2b>0,1-2c>0,

所以/(a,b,c)<—.

2

另一方面f(a,b,c)=l-2ab(l-2c)-2c(l-c),

由于Q>0,fa>0,

所以血=(17,

又1-2c>0,

所以/(a,b,c)>l-2x(1-C)(l-2c)-2c(l-c)=e3--e2+-,

422

不妨設(shè)。泌“，且a，b,c為△ABC的三邊長，

所以0<c〈乙

3

.191

令片c'-----c~+—,則y'=3c2-c=c（3c-l）<0,

22

而z_1iflY1_13

以/min-———d----------,

J/T272⑴227

從而成Vf（Q—C）.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=-時取等號.

3

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解三角形，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

二、多選題（本大題共4小題，共20分）

9.袋中裝有形狀完全相同的3個白球和4個黑球，從中一次摸出3個球，下列事件是互斥事件的是（）

A.摸出三個白球事件和摸出三個黑球事件

B.恰好有一黑球事件和都是黑球事件

C.至少一個黑球事件和至多一個白球事件

D.至少一個黑球事件和全是白球事件

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)互斥事件的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

對于A,摸出三個白球事件和摸出三個黑球事件不可能同時發(fā)生，故它們?yōu)榛コ馐录?，故A正確.

對于B,恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同時發(fā)生，故它們?yōu)榛コ馐录?，故B正確.

對于C,比如三個球中兩個黑球和1個白球，則至少一個黑球事件和至多一個白球事件可同時發(fā)生，故C錯

誤.

對于D,至少一個黑球事件和全是白球事件也不可能同時發(fā)生，故D正確.

故選:ABD.

10.已知心B是平面上夾角為笄的兩個單位向量，5在該平面上，且伍則下列結(jié)論

中正確的有()

A.\a-\-b\-\B.\a-b\-y/3

C.\c\<y/3D.a+b>1的夾角是鈍角

【答案】ABC

【分析】

2冗

在平面上作出函=[,OB=b，|04|=|OB|=1,NA05=T，作反=",則可得出C點(diǎn)在以A8為

直徑的圓上，這樣可判斷選項(xiàng)C、D.由向量加法和減法法則判斷選項(xiàng)A、B.

【詳解】

對于A：|萬+5|=同x^xcos等=1,故A正確；

對于B：設(shè)礪=￡,麗=5,|Q4|=|O卻=1,ZAOB=y，則\ABf=Ofic+OB'-2OA.OBcos與=3,

即忖一耳=百，故B正確；

OC=c>由(Z-c)-(b-2)=0得BC_LAC,點(diǎn)C在以AB直徑的圓上(可以與AB重合).設(shè)A3中點(diǎn)

是M，

「卜|OC|的最大值為\0M\+=號+增=；+*<0，

故c正確;

Z+B與訴同向，由圖，而■與之的夾角不可能為鈍角?故D錯誤.

故選：ABC.

C

8

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量數(shù)量積.解題關(guān)鍵是作出圖形，作出礪=￡，OB=b，

OC=c＞確定C點(diǎn)軌跡，然后山向量的概念判斷.

11.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！?4GA中，p,M，N分別為棱CG，CB,CO上的動點(diǎn)（點(diǎn)

P不與點(diǎn)C,G重合），若CP=CM=CN,則下列說法正確的是（）

4

A.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)兒到平面的距離為一

3

B.用過P,M，A三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

C.BD]〃平面PMN

D.用平行于平面PMV的平面C去截正方體，得到的截面為六邊形時，該六邊形周長一定為3&

【答案】ABD

【分析】

A.根據(jù)條件分析出從到平面尸的距離的取值范圍，即可進(jìn)行判斷；

B.根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，結(jié)合線段比例關(guān)系，作出過P,M，9三點(diǎn)的截面，并進(jìn)行判斷;

C.根據(jù)BA與平面BCQ的位置關(guān)系，以及平面的與平面BC,D的位置關(guān)系進(jìn)行判斷;

D.先利用平行關(guān)系作出截面a,然后根據(jù)長度關(guān)系求解出截面六邊形的周長并進(jìn)行判斷.

【詳解】

A.連接AG，5C1，Aa6￡>6。，4。中。,如圖所示:

因?yàn)镃P=CM=aV,所以易知MN//BDNP//CQ,MP//8G，且平面例NP//平面5a。,

又已知三棱錐4-8G。各條棱長均為、歷，所以三棱錐A-8G。為正四面體，

所以A到平面的距離為：J（、歷了一y^x73x|=竿，

因?yàn)锳4J?平面BCC4,所以乂8C|_L3C，且A耳

所以平面ABC，又ACu平面Age，所以8GA4C,

同理可得C,r>±A.C,且BC|CC|。=￡,所以4。，平面BCQ,

又因?yàn)樗訟到平面PMN的距離e1竿，百，旦<g（百，故正確；

B.如圖所示，連接2P并延長交QC的延長線于。點(diǎn)，連接QM并將其延長與AO相交于A'，

CPCMCQ,

因?yàn)镃P=CM，旦CP//DD\,CMUAD,則右_=中=/，所以D4'=DD1,所以A'即為A,

DLJ、JLZ/IDy.

連接AR,

所以過P，M.A的截面為四邊形AD|PM,

由條件可知MP//8G，8G//A。，且所以四邊形AOfM為梯形，故正確;

C.連接由A可知平面MVP〃平面BCQ,

又因?yàn)锽e平面BCQ.D,e平面BCQ,所以8?不平行于平面BCQ,

所以//平面PMN不成立，故錯誤;

D.在8片上取點(diǎn)過點(diǎn)<作《6//MP交用G于鳥，過鳥作EN"/MN交G2于M，以此類推,

依次可得點(diǎn)'2，"1,〃2,此時截面為六邊形，

根據(jù)題意可知：平面R4N1N2MlM2//平面MNP,

不妨設(shè)所以片區(qū)=6N=N2M=3x，所以6鳥=耳乂=M％=血(1一力，

所以六邊形的周長為：3[&x+0(l—x)]=30,故正確；

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：作空間幾何體截面的常見方法：

（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交

線的過程；

（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找

直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但是立體圖形中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后

借助交點(diǎn)找到截面形成的交線：

（4）輔助平面法：若三個點(diǎn)兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

12.在AABC中，角4B、C的對邊分別為a、b、c,且a=2,sin3=2sinC,有以下四個命題中正確

的是（）

A.滿足條件的△A3C不可能是直角三角形

4

B.△MC面積的最大值為一

3

C.當(dāng)A=2C時，△ABC的周長為2+2ji

D.當(dāng)A=2Cff寸，若。為AABC的內(nèi)心，則AAOB的面積為避二1

3

【答案】BCD

【分析】

對于A,利用勾股定理的逆定理判斷；

對于B,利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；

對于c,利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變形公式可得答案

對于D,由已知條件可得AABC為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得AAOB的面積

【詳解】

對于A,因?yàn)閟inB=2sinC,所以由正弦定理得，b=2c，若。是直角三角形的斜邊，貝U有4=/,

即4+/=公2,得c=2叵，所以A錯誤；

3

對于B,以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)

因?yàn)樨?2c,所以+n2_21（加+1）2+/,

化簡得（〃+g）2+〃2=與，所以點(diǎn)A在以（一|,0）為圓心，g為半徑的圓上運(yùn)動,

144

所以△A6C面積的最大值為一x2x-=—,所以B正確；

233

對于c,li]4=2C,可得3=%一3。，由sin5=2sinC得/?=2c,

b

由正弦定理得,,即-----------=-----

sinBsinCsin(i—3C)sinC

所以sin3c=2sinC,化簡得sinCcos2C+2cos2CsinC=2sinC，

3

因?yàn)閟inCrO,所以化簡得3$29。=一，

Fi1

因?yàn)榉?2c,所以5>C,所以cosC=9?，則sinC=—,

22

7T7T7T

所以sinB=2sinC=l,所以3=」，C=上,A=作，

263

rpiAlo由2>/34\/3

囚為。=2,1力以c=-----,b=------，

33

所以AABC的周長為2+2百，所以C正確;

TT%A=g,c=空,b=型,

對于D,由C可知,△ABC為直角三角形，且8=一

26333

1(2,34V3?V3

所以△ABC的內(nèi)切圓半徑為〃=彳2H—-------=1——,

23373

所以D正確，

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

此題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬

于難題.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.寫出一個虛數(shù)z,使得z?+3為純虛數(shù)，則2=.

【答案】l+2i（答案不唯一）.

【分析】

設(shè)2=。+例（?,岳口）），代入計(jì)算后由復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】

設(shè)2=。+沅（。，beR,歷之）），則z2+3=a2_b2+3+2abi，因?yàn)閦?+3為純虛數(shù)，所以從=—3

且ab^O.

任取不為零的實(shí)數(shù)。，求出。即可得，答案不確定，如z=l+2i,

故答案為：l+2i.

14.棱長均為1的正四棱錐，該正四棱錐內(nèi)切球半徑為耳，外接球半徑為凡，則分的值為

【答案】立二1

2

【分析】

對角線ACc3￡>=q,設(shè)外接球球心為。，外接球球心到各頂點(diǎn)距離相等列出關(guān)于用的方程可得用,利

用"體積法”可得%,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)外接球球心為。，尸?=卜］等

如圖所示，對角線ACcBD=O1,

、2、2，解得名=辛

則此=--R,+—

2?2J2

7

內(nèi)切球半徑R1滿足1;xR[xl+4x；xlxlxklx也,

332

解得舄=

2(1+73)1

于是鼠—k艮之

&2（1+V3）2

故答案為：避二1

2

S

15.在MBC中，設(shè)角4B,C對應(yīng)的邊分別為。力4，記ZkABC的面積為5,且4a?=〃+，則一?的

a

最大值為

【答案】叵

6

【分析】

根據(jù)題中條件利用余弦定理進(jìn)行簡化，然后化筒為二次函數(shù)，求出二次函數(shù)的最值即可.

【詳解】

由題知4/=/?24-2c2=>Z?2=4a2-2c2=a2+c2-laccosB，

整理得2?ccosB=-3a2+3c2ncosB=

2ac

、2

1.八

—acsmB222

csinBc(1-cosB

因?yàn)?______

2a4a2

7

sV(c4/)

代入COSBJS二f）整理得9-^-22—+9

令/=之，有

H)

<s<Vio

一記=/一7-

所以之的最大值為?

故答案為：叵

6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用余弦定理解三角形，結(jié)合考查了二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

16.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖"，亦稱

"趙爽弦圖"（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙

爽弦圖"，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等

邊三角形，設(shè)而=力通+〃/，若止=24F，則可以推出義+〃=.

12

【答案】—

13

【分析】

利用建系的方法，假設(shè)工產(chǎn)=1，根據(jù)NAD5=120°，利用余弦定理可得AB長度，然后計(jì)算

cosZDA5,sinZDAB,可得點(diǎn)。坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AF-1>則A。=3,BD=AF=1

如圖

由題可知：ZADB=120°.

由AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB

所以AB=JT5，則AC=AB=JI5

所以B（小,o）,c（孚，號）

,A(0,0)

又一￡V39

——=sinNBA。

sinZBADsinZADB~26~

所以cosABAD=Vl-sin2ZfiAZ)=

26

所以D(ADcos/BAD,ADsinABAD)

即。

所以才力=，福=（后,0）

，叵V39

AC=

Z.AD—AAB+fjAC

21V13=屈；1+巫〃I

所以《262n13

3國3

〃二—

,26r13

所以4+〃=—

13

12

故答案為：—

13

【點(diǎn)睛】

本題考查考查向量的坐標(biāo)線性表示，關(guān)鍵在于建系，充分使用條件，考驗(yàn)分析能力，屬難題.

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）2020年春季，受疫情的影響，學(xué)校推遲了開學(xué)時間.上級部門倡導(dǎo)“停課不停學(xué)"，鼓勵學(xué)生在

家學(xué)習(xí)，復(fù)課后，某校為了解學(xué)生在家學(xué)習(xí)的周均時長（單位:小時），隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，根據(jù)他們學(xué)習(xí)

的周均時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

0.040

0.025

0.020

0.010

0.005

（1）求該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時長的眾數(shù)的估計(jì)值；

（2）估計(jì)該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時長不少于30小時的概率.

【答案】（1）25小時；（2）0.3.

【分析】

（1）根據(jù)直方圖，頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)為眾數(shù)即可求眾數(shù)；（2）由學(xué)習(xí)的周均時長不少于30小時

的區(qū)間有［30,40）、［40,50）,它們的頻率之和，即為該校學(xué)牛.學(xué)習(xí)的周均時長不少于30小時的概率.

【詳解】

（1）根據(jù)直方圖知：頻率最大的區(qū)間中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，

由頻率最大區(qū)間為［20,30）,則眾數(shù)為竺±22=25；

2

（2）由圖知：不少于30小時的區(qū)間有［30,40）、［40,50）,

/.該校學(xué)生學(xué)習(xí)的周均時長不少于30小時的概率P=0.03x10=0.3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)直方圖求眾數(shù)、概率，應(yīng)用/眾數(shù)的概念、頻率法求概率，屬于簡單題.

2

18.(12分)已知復(fù)數(shù)2=。+，(。＞0,i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)Z+—為實(shí)數(shù).

z

(1)求復(fù)數(shù)Z；

(2)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)(m+以對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)z=l+i；(2)(0,+8).

【分析】

(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即求解.

(2)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)閦=o+i(a>0),

22

所以zH—=a+i-\-----

za+i

=o+i+-7------V7---------

2a-2i

/+1

22

由于復(fù)數(shù)z+一為實(shí)數(shù)，所以1—f—=0,

za+1

因?yàn)?。?,解得。=1,因此，z=l+i.

(2)由題意(m+z)2=(m+l+i)2

=(m+l)2—1+2(?77+l)/=(m2+2m)+2(m+l)/,

m2+2m>0

由于復(fù)數(shù)(m+z)2對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則〈7八，解得m>0.

2(m+l)>0

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,+oo).

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=—sin2x+cos2%

2

(1)求f(x)的最小正周期及/(x)的圖象的對稱軸方程;

(2)若尤w[—￡],求/(X)的取值范圍.

44

【答案】⑴最小正周期為四，對稱軸方程為*=看+如，ZeZ；(2)[[言，1】?

【分析】

jr1

(1)將/(x)化為/(x)=sin(2x+—)+—,然后可求出答案；

62

(2)由ff]可得2工+二￡[---，~~\?然、可得答案.

44633

【詳解】

(1)f(x)=sin2x4-cos2x

V3.八1+cos2x

=——sin2xH------------

22

—sin(2xH—)H—,

62

???/(x)的最小正周期r=§=萬，

令21+工=工+々萬，ZwZ，可得X=f+1版?，攵eZ,即/(X)的圖象的對稱軸方程為x=2+1依?，左eZ.

626262

(2)-：xe[--,—],

44

c71712冗、

2%H---G[r-----,----]，

633

/.sin(2x+—)e[-，I，可得/(x)=sin(2x+工)+上￡[^——?：]?

626222

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，較簡單.

20.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，。，C,且

,,asinA-Z?sinB-csinC八

4ccosA+-----------------------------=0.

cosAsinB

(1)求A；

(2)若”>c,求巴女的取值范圍.

c

TT

【答案】(1)A=—；(2)(2,+oo).

3

【分析】

（1）利用正弦定理與余弦定理將題中所給條件化簡整理，即可求出cosA=J,從而可得角A：

2

（2）先由題中條件，得到再由正弦定理將所求式子化為sm*+sm',進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的

kiJsinC

函數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

2,22

（1）由條件與正弦定理可得，4ccosA+"一"一°=0,

/?cosA

即4ccosA?=o,

bcosA

「—Eg/2/?ccosAc

由余弦定理得，4ccosA4-------------=0,

bcosA

所以2cosA-1=0,即cosA=—.

2

TT

由0<A</r得，A=—

3

(2)由可知，Ce[o,yj.

由正弦定理可知,

V3.

..-----Fsin3+且cosc+kinc

〃_sinA+sinB_23J_222

csinCsinCsinC

161+cosC1732cos2

=—I-----------------=—I----------------------

22sinC22.CC

o2sin—cos—

22

1也1

——?------------

22C

tan—

2

又知色(o總，所以tan?e[o,等]，所以空e>2,

故—的取值范圍為(2,+00).

C

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值(范圍)問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，

建立a+匕，ab,/+〃之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.

21.(12分)如圖，在AAOB中，。是邊0B的中點(diǎn)，C是邊OA上靠近點(diǎn)。的一個三等分點(diǎn)，AO與8C

交于點(diǎn)M.設(shè)OA=a，OB=b-

(1)用a，h表示OM-

__—.-12

(2)過點(diǎn)"的直線與邊OA,0B分別交于點(diǎn)E，尸.設(shè)OE=pa,OF=qb,求一+一的值.

pq

---1-2-12

【答案】(1)OM—-a-\—b(2)—I——5

55pq

【分析】

(1)設(shè)麗=+利用A，M-。三點(diǎn)共線和C，M.B三點(diǎn)共線可以得出的兩個方程,

然后解出即可

(2)利用的，喬共線即可推出

【詳解】

(1)設(shè)=+則AM=OAf-OA=(x-l)OA+yO6=(x-l)a+yB,

?：A,M,。三點(diǎn)共線，