【2023屆新高考數(shù)學(xué)考前模擬沖刺卷】 模擬沖刺仿真卷03 （新高考）解析版

絕密★考試結(jié)束前

【2023屆新高考考前模擬沖刺卷】模擬沖刺仿真卷03（新高考通用）

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

2023年高考臨近，在原有江蘇省、廣東省、湖南省、湖北省、山東省等10個省市納入新

高考范圍基礎(chǔ)上，浙江省高考數(shù)學(xué)今年從新高考自主命題卷調(diào)整為新高考全國卷，安徽省、

山西省、吉林省、黑龍江省、云南省，5省高考數(shù)學(xué)今年從老高考全國卷調(diào)整為新高考全國卷，

針對新高考出題的最新動態(tài)和命題趨勢，特推出《2023屆新高考考前模擬沖刺卷》以供大家

參考！

一、2023高考四大趨勢

?落實立德樹人，鮮明體現(xiàn)時代主題

?高考由“考知識”向“考能力”轉(zhuǎn)變

?聚焦“關(guān)鍵能力”和“思維品質(zhì)”的考察

。高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)：出題方式發(fā)生重大變化，數(shù)學(xué)考試出題將加入復(fù)雜情景，重點強調(diào)數(shù)學(xué)思維方法考察，比以往

的數(shù)學(xué)難度更大。

二、2023年新高考數(shù)學(xué)命題方向

<|新高考數(shù)學(xué)卷以情境作為依托，呈現(xiàn)出新氣象，營造出“理念新、內(nèi)容新、結(jié)構(gòu)新”的新氛圍。

國高考卷預(yù)期會繼續(xù)強化情境類試題的命制，側(cè)重知識的應(yīng)用性:情境類試題可以分為:課程學(xué)習(xí)情境、

探索創(chuàng)新情境、生活實踐情境。

跟意板塊知識均有可能命制壓軸題，不固化試題的位置；

?!、題的最后兩題不再是函數(shù)唱主角，數(shù)列、三角、立體幾何、新定義等內(nèi)容將登場

教材有而新教材刪減的內(nèi)容，原則上不會考查，新高考主干知識的試題量明顯增加。

三、2022年新高考卷試題整體分析

今年數(shù)學(xué)新高考I卷，難度堪稱十幾年來的最高，今年數(shù)學(xué)新高考I卷試題難度大，主要體現(xiàn)在基礎(chǔ)

性題型偏少，難題量比往年增加，總體計算量比往年增加較大。今年新高考I卷題型難中易比例大概4:3:3,

體現(xiàn)出綜合性、創(chuàng)新性的考查。在考查學(xué)科素養(yǎng)方面，突出理性思維和數(shù)學(xué)運算的考查。在試題的設(shè)置上，

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，增加了綜合性、探究性和創(chuàng)造性試題內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)

學(xué)科在高考中的選拔性功能。今年數(shù)學(xué)新高考I卷高考很好的貫徹了深化考試內(nèi)容改革.試題設(shè)置上，給

人第一感覺就是中規(guī)中矩，考題中沒有出怪題、偏題，但真正在兩個小時內(nèi)要完成考卷，考出理想分?jǐn)?shù)卻

是非常不容易，其中，除了考題總體計算量偏大外，更加體現(xiàn)了命題者在問題設(shè)置、考查的角度上非常有

考究。試題從考查的知識點來看，都是高中數(shù)學(xué)的主干知識，但題目的問法更加靈活，這就意味著我們更

加需要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和思維能力的培養(yǎng)。

四、2023年高考備考建議

?重視教考銜接

?研究高考命題方向

?夯實基礎(chǔ)，落實“四基”

。加強學(xué)生運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

?重視學(xué)生思維的訓(xùn)練

2022年新高考數(shù)學(xué)卷，很好地落實了“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅持高考的核心

價值，突出學(xué)科特色，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)新課改理念.試卷的靈活性難度有所提高，計算量也相對偏大，

對學(xué)生的心理素質(zhì)要求較高。此外，試卷命題符合高考評價體系要求，很好地發(fā)揮了高考的選拔功能，對

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。我們教師要指導(dǎo)學(xué)生從整體上架構(gòu)起高中知識體系，系統(tǒng)學(xué)習(xí)

各章節(jié)知識，打通各個章節(jié)的聯(lián)系，綜合學(xué)習(xí)和運用所學(xué)知識，才能在考試時游刃有余。2023年新高考數(shù)

學(xué)備考中，大家一起加油，為學(xué)生決戰(zhàn)高考保駕護航。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.若昔=i，則z（2+l）的實部為（）

A.1B.2C.3D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則可求得z,結(jié)合共甄復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)乘法運算可求得z（2+l）,根據(jù)實部定義可

得結(jié)果.

【詳解】==i,??.z=2+（l+i）i=l+i,.-=1-i,

.-.z（z+l）=（l+i）（2-i）=3+i,則z仁+1）的實部為3.

故選：C.

2.若忖=應(yīng),忖=1,且aJLA,則（a+b”的值為（）

A.-1B.1C.,/2D.>/3

【答案】B

【分析】由（。+可力=a力+時和己知條件可得答案.

【詳解】因為所以a-b=0，

由卜卜庭,忖=1,得

（a+b）-b=a.b+（b）=1.

故選:B.

3.已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱為高斯取整函數(shù)，例如[3.4]=3,[-4.2]=-5,方程〔3/-2x]=0的

解集為A,集合8={地2/-76+片>0},且AB=R,則實數(shù)。的取值范圍是（）

QQ

A.Tva<0或一B.一lva<0或一<。（3

33

88

C.一IKaKO或一工。<3D.一IWaWO或一<。43

33

【答案】A

【分析】由[3f_2x]=0求出集合A,分〃>0,。<0和。=0三種情況求出集合8,結(jié)合AB=R,即可得

出答案.

0y2_10

【詳解】由[3f-2x]=0,得043/-2x<l,即[?一”，，解得一：<0或?4x<1,

—2x<1J3

所以A二|x|-^<x<0ng-1<x<1j,12x2-7ax+tz2=（3x-tz）（4x-a）>0,

當(dāng)a>0時、8=x>'I?或x<：）,

a

8

由4B=R,得，解得六a<3；

g〉23

.4-3

、"la<0時，B=1x|"或

山4B=R,得2>」n-l<a<0；

33

當(dāng)°=0時-，3={x|xw0},滿足AB=R9

Q

綜上所述實數(shù)。的取值范圍是-IvaWO或14a<3,

故選：A.

4.已知A民CD四點都在表面積為100兀的球。的表面上，若A￡）是球。的直徑，且3c=3百，NBAC=120,

則該三棱錐A-BCD體積的最大值為（）

A.3gB.6石C.—>/3D.

【答案】B

【分析】設(shè)△ABC的外接圓半徑為廣，圓心為。一根據(jù)正弦定理可求r,根據(jù)幾何關(guān)系可求。到平面4BC

的距離為定值200-當(dāng)△4BC面積最大時，三棱椎A(chǔ)-BCO體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角

形面積公式可求△ABC面積的最大值，即得.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R，因為球。的表面積為100兀，故4成2=100兀，即R=5,

?:BC=36，ZBAC=120°,設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,圓心為Q,

，根據(jù)正弦定理知，稅叵_=2r,即r=3,

sin120°

二版|=河2_0用=>/52-32=4,

是直徑，O是中點，故。到平面4BC的距離為2|OQ|=8,

在AABC中，根據(jù)余弦定理得，BC2=AB2+AC'-2ABAC-cosABAC，

即27=AB2+AC2+ABAC>2AB-AC+ABAC,

：.AB-AC^9,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，等號成立，

△A8C面積的最大值為S='A8.AC-sinN8AC=■!■x9x且=型,

2224

，三棱錐4一BC。體積的最大值V=1x2叵x8=.

34

故選：B.

5.有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球，1個紅球，乙袋中有2個紅球，1個白球.這6個球手感上不可

區(qū)別.今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，此球是紅球的概率為（）

A.—B.—C.；D.-

121223

【答案】A

【分析】設(shè)4=”從甲袋放入乙袋的是白球“，A2="從甲袋放入乙袋的是紅球“，8="從乙袋中任取一球是

紅球”,利用尸(8)=P(81A)P(A)+尸(814)P(4)求解即可.

【詳解】設(shè)4=“從甲袋放入乙袋的是白球“，A2=”從甲袋放入乙袋的是紅球“，8=”從乙袋中任取一球是

紅球”:

12317

P(B)=P(B\Al)P(A,)+P(B\A2)P(A2)=~x-+~x-=-.

故選：A

6.2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯

觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)

家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條

邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程.已

知圖①中正三角形的邊長為3,則圖③中OM.ON的值為()

【答案】C

【分析】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運算求得。M,ON的坐標(biāo),

再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

\OM\=2,OM=(2cos-,2sin-)=,

1133

II44

\MP\=-,即"尸=(§,0),

pM=g，由分形知取〃OM,所以PN=，,f),

所以CW=OM+MP+PN=

所以O(shè)M-ON=lx*+Wx氈=6.

7.在銳角三角形A8C中，點。為BC延長線上一點，且線=2,AB=5卡,AC=10,B=f,則三角形ABD的

CD4

面積為()

A.25。+⑹B,25(3叫

22

C75(3+⑹D.75(3叫

44

【答案】C

【分析】在△A8C中，利用余弦定理求解BC,根據(jù)已知銳角三角形條件排除不符合條件的解，再利用三角

形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)CD=x，則8c=2x.

在△A8C中，由余弦定理AC2=AB2+BC2-2XABX8CCOSB，

得100=150+4X2-206X,即2蟲-iogx+25=0,解得x='6±D.

當(dāng)x=5(6l)時,BC=5(石一1)=*25('D；T5病。=50子相〈0,/AC5是

22x10x5(73-1)100(73-1)2

一個鈍角，不合題意，舍去.

5(月+1)IO?+25(6+1產(chǎn)-(5#750+506I4

時，BC=5(A/5+1),cosNAC8=彳，所以NACB=；,

22xl0x5(百+1)100(73+1)23

TT\冗

又NB=3,則NBAC=碧.符合題意.

在△4姐中，8力=3x=+,則△ABQ的面積

2

1

c-R1c[715(73+1)&75(3+6)

S=—xABxBDxsinB=—x5v6x--------------x——=-----------------.

22224

故選：C.

-x2+2x+l,0<x<2

8.已知函數(shù)/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時，f(x)=4x-5，如果關(guān)于x的方程

-------,%>2

.x+1

時/⑺于+磯力+1=0恰有7個不同的實數(shù)根，那么，的值等于()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

-x2+2%+l,0<x<2

【分析】畫出偶函I數(shù)f(x)=4x-5在R上的圖象，數(shù)形結(jié)合得到/(》)=，的解得情況，從而

---,x>2

x+1

確定關(guān)于/的方程初產(chǎn)+川+1=0要有兩個不同的解，且乙=2出=1,由韋達定理得到八"的值，進而求出

加一〃的值.

【詳解】當(dāng)x>2時，〃力竺，3+1)-9=4__2_,

且當(dāng)x=2時，^^=1,

X+1

又/(x)為R上的偶函數(shù)，則函數(shù)圖象如下所示：

當(dāng)1=2時,/(x)=r有4個解，

當(dāng)t?l,2)時,〃力=/有6個解，

當(dāng)1=1時,f(x)=f有3個解,

當(dāng)t<l時，〃x)=f無解,

要想關(guān)于x的方程機［〃同丁+硝》)+1=0恰有7個根，

則關(guān)于，的方程加2+川+1=0要有兩個不同的解，設(shè)出

〃1

則4=2,L=1,由韋達定理得：1+2=,1x2=一,

mm

一13

解得：m=-,n=--,

故機一〃=g_(_|)=2.

故選：A

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分)

9.下列命題中，正確的命題是()

122

A.若事件A,8滿足P(B|A)=§,P(A)=g,貝：尸(4砌=不

B.設(shè)隨機變量J服從正態(tài)分布N(0,l),若PG>-I)=p,則尸(0<J<l)=?

C.若事件A,8滿足0<P(A)<l,0<P(B)<l,P(A&=P(A)[1-P(B)],則A與B獨立

D.某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生平均數(shù)為9,方差為11；女生的平均數(shù)為7,方差為

8,則該10人成績的方差為9.5

【答案】AC

【分析】根據(jù)條件概率公式判斷A,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷B,根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C,根據(jù)

方差公式判斷D.

【詳解】對于A：因為「⑺力一彳了一M一§,.?.P(AB)=卷，故A正確.

對于B：因為&Ng),Pq>-D=p,則尸(-l<J<0)=p-g,尸(0<g<l)=p-g,故B錯誤.

對于C：若P(A^)=P(4)[1—P(B)]=P(A)P(L),則A與后獨立，則A與8獨立,故C正確.

對于D：男生成績設(shè)為玉,七,鼻,工4，三，.?.￡X；=5X9=45,

￡X,2=460.

;=1

女生成績設(shè)為乙，毛，4/9，%,，=5x7=35,

1=6

22222

8=1[(^-7)+(^-7)^(^-7)+(x9-7)+(xl0-7)]=^fx,-5x7^,

10

.?.Zx；=285.

i=6

10

所以?=35+45=80,

i=l

1101/10\i

則S2=2Z(x，-8)-Zx：T°x82=2(460+285-64x10)=10.5,故D錯誤.

1U；=i101/=i)10

故選：AC

2，

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓土+匯=1的左、右焦點分別為E，K，點A,在橢圓上，且

43

OALOB,則（）

A.當(dāng)戶不在x軸上時，耳心的周長為6

B.使片鳥是直角三角形的點尸有4個

C.<AB<2x/2

7

11_7

D-灰.旅

【答案】ABD

【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形即可判斷AB,根據(jù)坐標(biāo)運算以及兩點間距離公式即可判斷D,由D的結(jié)論，

結(jié)合不等式以及坐標(biāo)運算即可判斷C.

【詳解】工+匕=1中a=2,/?=否,c=1,

43

對于A4PF島的周長為歸川+|尸圖+忻用=2a+2c=6,故A正確,

對于B,當(dāng)點尸在橢圓的上下頂點時，此時歸耳|=|P閭=|可聞=2,故4PB=60,因此當(dāng)點尸在橢圓上時,

/月「5不可能為直角，故當(dāng)△尸耳鳥為直角三角形時，此時尸耳，耳鳥或尸用,月用，故滿足條件的P有4

個，故B正確，

設(shè)4（%，乂），3（々,必）,由于。4_LO3廁由于0403=玉9+丫］丫2=°」進而得（與9）-=（丫|%『，即可

（西工2）~=9-菅）化簡得:（xj+l）=1-宕,

11111111

產(chǎn)k+升x2+y2/x：］

22玉2+3卜工

+3+苣3+^^+3+迂

6+1----

4=44=1442

叱+同+1。明＞122+2網(wǎng)的

|AB|2=1*+儂2=削0川，[0卻2)(?！?白■)當(dāng)當(dāng)

7〔I*|。也7〔山時叫

I。砰1。14V2T

且僅當(dāng)即|。4|=|。同時取等號,故|A.又

|OA|2|OB|27

2?號+3需％；(U)+6=7一7,,

|AB|=犬+y；+xj+yj=x2+/2+3—W?故當(dāng)W，三有一個為

0時，|4B|取最大值為近，故［4即翳匚近，故C錯誤,

故選：ABD

【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范

圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意

向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量垂直得坐標(biāo)之間的關(guān)系，進而為消去變量起到了重要的作用

11.在正方體ABCD-A￡Ce中，AB=1,點P滿足CP=2C￡>+〃CG,其中2e[0,1],//e[0,1],則下列結(jié)

論正確的是（）

A.當(dāng)平面AB。時，4P不可能垂直CQ

B.若與P與平面CGA。所成角為:，則點P的軌跡長度為5

C.當(dāng)4=1時，正方體經(jīng)過點A、P、C的截面面積的取值范圍為［無，72］

4

D.當(dāng)2=4時，|'P|+|AP|的最小值為J2+&

【答案】BD

【分析】對A,作出如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,由向量法結(jié)合向量垂直判斷即可；

對B,由幾何關(guān)系得出4P與平面CCQ。所成線面角NBfG,可得GP=1,則點P的軌跡是以C1為圓心,

以1為半徑的!個圓；

4

對C,由2=1得點P在烏。上，利用幾何關(guān)系可得aPAC的面積最值在端點及中點位置:

對D,將平面與平面ABCA沿CR展成平面圖形，線段A。即為|￡）P|+|AP|的最小值，利用余弦定理

即可求.

【詳解】對A,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型,

z

小I____Pl

上算二二節(jié)5

xyBC

則A(0,0,0),8(1,0,0),0(0,1,0),c(l,l,o),A(0,0,1),q(1,1,1),0,(0,1,1),

所以cq=(-i,o,i),4P=4C+CP=4C+%C￡>+〃CG=(—

則BA=(T,0/)，BD=(-1,1,0),設(shè)平面ABO的一個法向量為”=(x,y,z),

BAn=-x+z=0/、

所以，令x=l,則y=z=l,即平面A即的一個法向量為〃=(1,1,1),若Bf〃平面A9),

BDn=-x+y=0

則“二,=。，即％=〃，

由4PC.=4+〃一1=0,則％=〃=；,即P為CR中點時，有4P〃平面A/。，且與尸_LCQ,A錯；

對B,因為用G_L平面CCQQ,連接C，，則即為4P與平面CCQQ所成角，

若用戶與平面CCQO所成角為彳，則tanN8f￡=^=l,所以孰夕=86=1,

即點P的軌跡是以C1為圓心，以1為半徑的!個圓，于是點P的軌跡長度為B對；

對c,因為；1=1,所以點尸一定在馬。上，又因為當(dāng)2=0或1時，△PAC的面積取最大值，此時截面面

積為3,

設(shè)的中點為H,由圖形的變化可得當(dāng)點P在。H和。，運動時，所得截面對稱相同，于是當(dāng)〃=；時,

△PAC的面積取最小值正，此時截面面積為漁，C錯；

42

對D,如圖，將平面CDA與平面ABCR沿CR展成平面圖形,

線段4。即為IDPI+IAP的最小值，

3冗

利用余弦定理可知\D-=4。：+0n2—2AR?ORcos==2+忘，

所以/￡>=J2+夜，D對.

故選：BD

【點睛】(1)容易建系的幾何體一般可通過建系快速解決長度、角度等問題.本題A中，通過線面平行得

線與該面的法向量垂直，即可得參數(shù)間的關(guān)系，即可進一步討論線線垂直的問題；

(2)B中軌跡問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的線面垂直性質(zhì)得出線面角，即可得出所求軌跡為圓??；

(3)C中截面問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的對稱性，轉(zhuǎn)化為三角形面積的和，再進一步轉(zhuǎn)換成討論高的范圍問

題；

(4)D中求不同表面線段和問題，一般展開成平面討論.

12.已知關(guān)于x的方程xex-a=O有兩個不等的實根力，足，且用<玄，則下列說法正確的有()

X1

A.a>-e~'B.+x2<-2.C.x2<a,D.JC,+e<0

【答案】ABCD

【分析】逐項進行判斷，對A,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)=xe*,轉(zhuǎn)化為丫="與丫=*，有兩個不同的交點；

對B,構(gòu)建函數(shù)F(x)=/(》)-/(-2-力，利用導(dǎo)數(shù)判斷；對C,轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)-。=看-。=。(*1)；轉(zhuǎn)化為

x,x2>-a,簡單判斷即可.

【詳解】由x/-a=O=xe"=〃，

令fM=xex,f(x)=ex+xex=(14-x)ex,令/'(x)=0=x=T.

當(dāng)xv-1時，/'(x)<0,；當(dāng)x>T時，/r(x)>0,

所以函數(shù)fM在(f,-1)單調(diào)遞減，在(-1,轉(zhuǎn))單調(diào)遞增

e

要使方程有兩個不等的實根，即y=。與y=xe*有兩個不同的交點，

當(dāng)x<0時，/U)<0,且/(0)=0,所以可知不<-1<々<0

故A正確.

e

由A可知3<T<0，—2—司>一1

構(gòu)造/(x)=/(x)-/(-2-x)=3^v+(2+x)e-2-x,x<-l,

1(x)=@+l)e、+(-l-x)"2T=(x+l)(e，—e-2T)>0,

AF(x)在上單調(diào)遞增，二產(chǎn)(%)<F(-l)=0,

.?"(玉)</(一2—王)，BP/(X2)</(-2-X,),由在(-1,茁)單調(diào)遞增

所以W<-2-%=占+*2<-2,故B正確.

對于C,由占==，—-<?<0,所以x,-a=k-a=a17-1],

e2ee2\e2)

又-1<々<0,所以，->1,則1一1>0,所以詼<“，故C正確.

e為e2

對于D,由

所以X]+e*<0=x,x2+x,e*>0<=>xtx2+a>0<=>xtx0>-a,

而由C知占<。，X.x,<-l,.-.x(x2>-a,D正確.

故選：ABCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是得到不<7<%<0,B選項是考查極值點偏移問題，關(guān)鍵在于構(gòu)

建函數(shù)F(x)=/(x)-/(一2-司,對C、D簡單化簡判斷即可.

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知1(4-2。]的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為.

【答案】2

【分析】先算出〃，再寫出通項公式，確定X的次數(shù)為整數(shù)即可

n

【詳解】的展開式有〃+1項，因為僅有第5項的:項式系數(shù)最大，所以〃=8

(1\8-r(IY516

*=C；戶?一2x2=q-(-2)”17

\7\7

當(dāng)r=2時冬-粵=-1,當(dāng)r=8時接一乎=4,符合題意

6666

所以展開式中有理項的個數(shù)為2

故答案為：2

14.數(shù)列｛叫滿足4=2,*=*/(〃,)，則F-=----------------

【答案】置

【分析】由已知整理得誓=/(〃)，先利用累乘法求數(shù)列｛4｝的通項，再利用錯位相減法求其前2()21項的

和，從而得到結(jié)果.

【詳解】由a,川=2(〃+2)/§N*)得:%!?=亞察，

a=-^-x&zLx...x&x&xq=2"Tk」—x…x±x3x2]=(N+.

4Tka2atInn-132J'''

設(shè)s“=q+%+…+a”，

貝l]￡,=2x20+3x21+4x2?+…+“N't+(〃+l)-2'i,

.?.2S,=2x2i+3x22+4x23+...+〃.2"T+(〃+l)-2",

=2+2]+2,+…+2"T-(“+1).2"=2+塵之+=2+2”_2_(〃+l>2"=f-2",

1—2

nn

Sn=n-2,E[14-4-----\-an=n-2,

20212021

S20,,=2021X2,a2O22=2023x2,

.陶必=2023乂2泡_2023

q+%+…+a,0212021x2"11"12021

故答案為：黑.

15.用max{a,。}表示。、b兩個數(shù)中的最大值，設(shè)函數(shù)/。)=11^]X,皆。>0),若恒成立，則

m的最大值是.

【答案】2

【分析】1恒成立,即〃力而小山-1,利用分段函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最小值.

【詳解】/(x)=max||x|,-1(x>0),當(dāng)0<x<l時，!>國；當(dāng)x=l時，-=|x|；當(dāng)x>l時，-<|x|.

IXJXXX

JO<A<1

由x>0,|乂=x,f(x)=,x'<A<,圖像如圖所示，

x,x>1

可得f(x)在(05上單調(diào)遞減，在[l,y)上單調(diào)遞增，所以“X)面,=/。)=1,貝1,即mW2,，"的最

大值是2.

故答案為：2

16.在中，BO=2OC，過點O的直線分別交直線AB,AC于M,N兩個不同的點，若

AB=mAM,AC=nAN,其中辦”為實數(shù)，則加?+4/的最小值為

9

【答案】-##4.5

【分析】利用AM,AN表示出A0，再利用M，O，N三點共線得到m=3-2〃，再把旭?+41轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃的

函數(shù)，即可求出最小值.

【詳解】BO=2OC>故8A+AO=2OA+2AC，

:.AO=-AB+-AC=—AM+—AN

3333

.M,O,N三點共線，.?.三+彳=1即〃z=3—2〃，

m2+4/=(3-2〃)2+4/J2=8〃2-12〃+9=8("T+|

9

故4+4〃2的最小值為去

故答案為：，9

四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知一ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,"c,且acos20-Aos2g=空￡.

222

⑴求A；

(2)若點。，E,〃均在邊8c上，且AO18C,AE平分/8AC,BM=CM,AO=身叵，AE=—,求

148

AM的長.

【答案】(1)與

⑵叵

2

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換符已知等式化簡，結(jié)合余弦定理整理成/=從+,2+A，再由余弦定理得

cosA=-；,即可得角A的大?。?/p>

bc=—(h+c)

(2)解法一：由“1BC的面積公式及已知角度關(guān)系可得|，<，再由a-〃+M+bc,可得物'=15.

be----

7

〃+c=8,結(jié)合平面向量的線性運算與數(shù)量積的性質(zhì)即可得A)的值，即可得AM的長.

解法二：不妨設(shè)A8>AC,由題可得N8AE=NC4￡=J,cosZDAE=—=—,

3AE7

則sinND4E=；,結(jié)合三角恒等變換及三角形邊角關(guān)系可得鉆,AC長，結(jié)合平面向量的線性運算與數(shù)量積

的性質(zhì)即可得AM，的值，即可得AM的長.

,，、k，B人2Aa+ca(l+cosB)0(1+cosA)a+c

【詳解】(1)illacos——bcos----.得一^------------------乙=----,

222222

即acosB-bcosA=c+h,

2222

由余弦定理可得q*cr+c-b-_hxb+c-a二,十人，

2ac2bc

整理得/=從+,2+bc.再由余弦定理可得8sA=F+f"2_1

2bc=2

因為4?0,兀)，所以A號.

(2)解法一：由題可得A8C的面積S=LbcsinNBAC=』axAQ=1〃xAEsin^^+

2222

ZBAC

—exAEsin

22

因為NBAC=&，4。=心2AE=—.

3148

,15,,、

Z?c=—(P+CJ

所以結(jié)合儲=/+/+",得be=15,0+c=8.

,15。

be----

7

uuuri/innuuii\

因為M為BC的中點，所以AM=a(A3+AC),

所以AM2=；(62+C2-A)=；[S+C)2_38C]=:,所以AM=半.

解法二：不妨設(shè)4?>AC,由題可得NBAE=NCAE=[cosZD/lE=-=—1

3AE1

則sinNOAE=',所以cosNCW=cos4一/時=；x鋁+多齊等

7

c"小4二+/詞」述一旦3,

(3J272714

ADAD

所以AC==3,AB=

cosZ.CADcosZBAD

uuuri/Uimuun、

因為M為BC的中點，所以A"=Q(A3+AC),

所以AM2=L(A3+AC2+2AB-AC)=2,所以AM=?.

4\/42

18.在數(shù)列｛/｝中/=2,<7n+i=2--,在數(shù)列｛%｝中％=1,

q”a2n-lain

(1)求證數(shù)列｛成等差數(shù)列并求必；

%T

1111cli/八

(2)求t證：一+—++----+—<3----------(n>1).

4a2a2n-\%〃n〃+1

71+1

【答案】(1)證明見解析，q?=—

n

(2)證明見解析

【分析】(1)條件等式兩邊取倒數(shù)化簡變形即可；

(2)由累乘法求得生”的通項公式，對不等式進行縮放，結(jié)合裂項相消求和即可證明.

【詳解】（1）由％”=2-,知4向=%二L

%/

%

即二7-一二=1，數(shù)列」一；成等差數(shù)列，

%+i-iq“-i[%-iJ

所以一L=-L7+（〃T）xl=〃，所以%=??；

q“Tq「in

（2）由上年=~=外,得穌=/2=（空耳,

。2.7/”出"T"In）

于是%+LJ?絹2?4=（竺^一（號［住T.1=（〃+D2

?2n-lain-ia\\UJ

所以+

%

4a2a2n-\。2n14a3a2n-\/\a2°4“2”,

11

<

+1-J-

n72+1

n+\nn+l

_11

所以一+一十+_1_+X<3_1__L

n〃+1?

19.如圖所示,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩形，DE=2,

平面EDCF_L平面ABCD.

⑴求證：DF〃平面ABE；

（2）在線段BE上是否存在點P,使得直線轉(zhuǎn)與平面3EP所成角的正弦值為逅？若存在，求出線段族的長;

6

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，§或2

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得EDJ■平面A8CD,以所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可證明。尸〃平面43E.

⑵^P（xl,y?zl）,BP=ABE,則P（l-Z2-2Z2；l）,AP=（--2-2Z22）,利用向量表示出直線心與平面

麻產(chǎn)所成角的正弦值，即可求出尸點，進而得出結(jié)論.

【詳解】（1）.,四邊形EDCR為矩形，

又平面_L平面ABCD,平面EDCFC平面ABCD=CD.

.?.”J"平面ABCD.

在平面ABCD內(nèi)過點D做DH垂直BC于H點，

則DAD/AOE相互垂直，以。為原點，

D4,￡W,OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則0(0,0,0),A0,0,0),8(1,2,0),磯0,0,2),*—1,2,2).

BE=(-1,-2,2),AB=(0,2,0),DF=(-l,2,2),

設(shè)平面ABE的法向量為質(zhì)=（x,y,z）,

m-BE=0-x-2y+2z=0

則得

mAB=02y=0

取z=l,得機=(2,0,1).

/.DF-m=—2+0+2=0fDF±m(xù)-

又。尸二平面ABE,;.DF7平面ABf.

(2)由(1)易知OE=(0,0,2),OF=(-l,2,2),8E=(-l,-2,2),8F=(-2,0,2),

設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),

n-BE=0

假設(shè)在線段BE上存在點P，使得直線AP與平面BEF所成角的正弦值為好.

6

設(shè)P(xl,yl,zl),BP=ABE,則(七一1,%—2,zj=2(-1-2,2),

解得Xf=1-A,%=2-24Z1=2',

..p(1-42-22,2/1),AP=(-A,2-2A,2A).

?直線4P與平面BEF所成角的正弦值為逅，

n-AP\

-

4M?J(一/)“+(2-2/1)2+(2L)”

解得4=］2或2=:2,

BE=\BE\=7(-1)2+(-2)2+22=3,

2

?.BP/或BP=2.

???在線段BE上存在點P,使得直線AP與平面BEF所成角的正弦值為好,

2

此時=§或BP=2.

20.某市舉行招聘考試，共有4000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后參加復(fù)試.為了解考生的考試情

況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

A頻率

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

-O35455565758595初我成績

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，試求樣本平均數(shù)的估計值;

(2)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布NJ,。?)，其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，b*13,試估計

初試成績不低于88分的人數(shù)；

⑶復(fù)試共三道題，第一題考生答對得5分，答錯得。分，后兩題考生每答對一道題得10分，答錯得。分,

答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績.已知某考生進入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為

4

3

后兩題答對的概率均為1,且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試成績?yōu)樨扒髖的分布列及均

值.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布則：P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,

P(〃一2cr<X<幺+2cr)=0.9545,尸(〃-3b<X<〃+3cr)=0.9973.

【答案】⑴62

(2)91人

(3)分布列見解析，均值為苧

4

［分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的估算公式即可求解；

(2)由〃+20=62+