2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)專題強(qiáng)化訓(xùn)練3概率作業(yè)含解析新人教A版必修3

PAGE專題強(qiáng)化訓(xùn)練(三)概率(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1．某部三冊(cè)的小說(shuō)，隨意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊(cè)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)B[全部基本領(lǐng)件為(123)，(132)，(213)，(231)，(312)，(321)．其中從左到右或從右到左恰好為第1、2、3冊(cè)包含2個(gè)基本領(lǐng)件，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]2．依據(jù)某醫(yī)療所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.現(xiàn)有一血型為A型的病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，則此人能為病人輸血的概率為()A．67% B．85%C．48% D．15%A[因?yàn)镺型血與A型血的人能為A型血的人輸血，且任選一人，“得到O型血”與“A型血”的人是互斥的，故所求概率為52%＋15%＝67%.]3.如圖所示，一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內(nèi)部隨機(jī)地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為()A.eq\f(2,π) B.eq\f(1,π)C.eq\f(1,2) D．1－eq\f(2,π)D[S扇形＝eq\f(1,4)×π×22＝π.S陰影＝S扇形－S△OAB＝π－eq\f(1,2)×2×2＝π－2，∴P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).]4．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物已漸漸成為消費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物的滿足狀況，某公司隨機(jī)對(duì)4500名網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查(每名消費(fèi)者限選一種狀況回答)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：滿足狀況不滿足比較滿足滿足特別滿足人數(shù)200n21001000依據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿足”或“滿足”的概率是()A.eq\f(7,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15)D.eq\f(13,15)C[由題意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿足”或“滿足”的總?cè)藬?shù)為1200＋2100＝3300，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿足”或“滿足”的概率為eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).由此估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿足”或“滿足”的概率為eq\f(11,15).故選C.]5．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)B[依題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD＝3×2＝6，陰影部分的面積S陰影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).]二、填空題6．從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的概率約為________．0.25[袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的共有5袋，所以其概率約為eq\f(5,20)＝0.25.]7．在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期．從這30瓶飲料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保質(zhì)期內(nèi)的概率為eq\f(351,435)，則至少取到1瓶已過(guò)保質(zhì)期的概率為________．eq\f(28,145)[事務(wù)“至少取到1瓶已過(guò)保質(zhì)期的飲料”與事務(wù)“沒(méi)有取到已過(guò)保質(zhì)期的飲料”是對(duì)立事務(wù)，依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率公式得P＝1－eq\f(351,435)＝eq\f(28,145).]8．設(shè)a，b隨機(jī)取自集合{1,2,3}，則直線ax＋by＋3＝0與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率是________．eq\f(5,9)[將a，b的取值記為(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9種可能．當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，可得eq\f(3,\r(a2＋b2))≤1，從而符合條件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5種可能，故所求概率為eq\f(5,9).]三、解答題9．在大小相同的5個(gè)球中，只有紅色和白色兩種球，若從中任取2個(gè)，全是白球的概率為0.3，求所取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率．[解]記事務(wù)A表示“取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”，事務(wù)B表示“取出的2個(gè)球全是白球”，則事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，而事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)＝0.3，所以事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－0.3＝0.7.10．小李在做一份調(diào)查問(wèn)卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．[解]將3道選擇題依次編號(hào)為1,2,3；2道填空題依次編號(hào)為4,5.(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則全部基本領(lǐng)件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20種，而且這些基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事務(wù)A為“所選的題不是同一種題型”，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12種，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6.(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則全部基本領(lǐng)件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25種，而且這些基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事務(wù)B為“所選的題不是同一種題型”，由(1)知所選題不是同一種題型的基本領(lǐng)件共12種，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝0.48.1．假如3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)．從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)C[從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.]2．已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形內(nèi)爬行，則此螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為()A．1－eq\f(\r(3)π,12) B．1－eq\f(\r(3)π,24)C.eq\f(\r(3)π,12) D.eq\f(\r(3)π,24)B[正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，則其面積為4eq\r(3).分別以A，B，C為圓心，1為半徑在△ABC中作扇形，除去三個(gè)扇形剩下的部分即表示螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的區(qū)域，其面積為4eq\r(3)－3×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×12＝4eq\r(3)－eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(4\r(3)－\f(π,2),4\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,24).]3.一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．eq\f(1,2)[由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；同理，由1,2,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，由1,3,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，由2,3,4組成的三位自然數(shù)為6個(gè)，共有24個(gè)．由1,2,3或1,3,4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個(gè)，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).]4．已知0<a<1，分別在區(qū)間(0，a)和(0,4－a)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，且取出的兩數(shù)之和小于1的概率為eq\f(3,16)，則a的值為________．eq\f(4,5)[設(shè)所取的兩個(gè)數(shù)分別為x，y，由題知全部基本領(lǐng)件構(gòu)成的集合為Ω＝{(x，y)|0<x<a,0<y<4－a,0<a<1}，其對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)榫匦危娣e為S(Ω)＝a(4－a)，而事務(wù)A＝{(x，y)∈Ω|x＋y<1}，其對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為S(A)＝eq\f(1,2)(1＋1－a)a，由幾何概型的概率計(jì)算公式知eq\f(3,16)＝eq\f(\f(1,2)1＋1－aa,a4－a)，即a(5a－4)＝0，解得a＝eq\f(4,5).]5．某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參與書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的狀況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參與書法社團(tuán)未參與書法社團(tuán)參與演講社團(tuán)85未參與演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在既參與書法社團(tuán)又參與演講 社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3，現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．[解](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參與書法社團(tuán)又未參與演講社團(tuán)的有30人，故至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨