2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)指點(diǎn)迷津二求曲線(xiàn)軌跡方程的方法學(xué)案文含解析新人教A版

求曲線(xiàn)軌跡方程的方法指引迷津(二)求曲線(xiàn)軌跡方程的方法曲線(xiàn)C與方程F(x,y)=0滿(mǎn)意兩個(gè)條件:(1)曲線(xiàn)C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上.則稱(chēng)曲線(xiàn)C為方程F(x,y)=0的曲線(xiàn),方程F(x,y)=0為曲線(xiàn)C的方程.求曲線(xiàn)方程的基本方法主要有:(1)干脆法:干脆將幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程.(2)定義法:利用曲線(xiàn)的定義,推斷曲線(xiàn)類(lèi)型,再由曲線(xiàn)的定義干脆寫(xiě)出曲線(xiàn)方程.(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)為所求,設(shè)為(x,y),另一個(gè)在已知曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),設(shè)為(x0,y0),利用已知條件找出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y(4)參數(shù)法:引入?yún)?shù)t,求出動(dòng)點(diǎn)(x,y)與參數(shù)t之間的關(guān)系x=f(t(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動(dòng)曲線(xiàn)的方程,將參數(shù)消去,得到兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程.一、干脆法求軌跡方程【例1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定點(diǎn)P(1,1).(1)求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)與△ABC的外接圓交于E,F兩點(diǎn),求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程.解(1)由題意得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂線(xiàn)的斜率為-22,AB中垂線(xiàn)的斜率為-1,則AC的中垂線(xiàn)的方程為y-2=-22x,AB由y得x所以△ABC的外接圓的圓心為(2,0),半徑r=2+1=3,故△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9.(2)設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M(x,y),△ABC外接圓的圓心為N,則N(2,0).由MN⊥MP,得NM·PM所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中點(diǎn)的軌跡方程為x-方法總結(jié)干脆法求軌跡的方法和留意問(wèn)題(1)若曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則可用干脆法,其一般步驟是:設(shè)點(diǎn)→列式→化簡(jiǎn)→檢驗(yàn).求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)要留意檢驗(yàn),即除去多余的點(diǎn),補(bǔ)上遺漏的點(diǎn).(2)若是只求軌跡方程,則把方程求出,把變量的限制條件附加上即可;若是求軌跡,則要說(shuō)明軌跡是什么圖形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;(2)記(1)中軌跡為C,若過(guò)點(diǎn)N(-2,3)的直線(xiàn)l被C所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為8,求直線(xiàn)l的方程.二、定義法求軌跡方程【例2】已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡為L(zhǎng),設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值為m,點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x,y)的距離為n.(1)求圓C的圓心軌跡L的方程;(2)求滿(mǎn)意條件m=n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程.解(1)兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線(xiàn)段C1C2的垂直平分線(xiàn),C1C2的中點(diǎn)為(0,-1),直線(xiàn)C1C2的斜率不存在,所以圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.(2)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值是點(diǎn)M到直線(xiàn)y=-1的距離,因?yàn)閙=n,所以M(x,y)到直線(xiàn)y=-1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等,故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線(xiàn),點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn),頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn),而p2=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y方法總結(jié)定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線(xiàn)的定義求軌跡方程時(shí),若所求的軌跡符合某種圓錐曲線(xiàn)的定義,則依據(jù)曲線(xiàn)的方程,寫(xiě)出所求的軌跡方程.(2)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn),假如不是完整的曲線(xiàn),則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,已知圓A:(x+2)2+y2=1與點(diǎn)B(2,0),分別求出滿(mǎn)意下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(1)△PAB的周長(zhǎng)為10;(2)圓P與圓A外切,且過(guò)B點(diǎn)(P為動(dòng)圓圓心);(3)圓P與圓A外切,且與直線(xiàn)x=1相切(P為動(dòng)圓圓心).三、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程【例3】如圖所示,拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)與圓O:x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)作圓O的切線(xiàn)交拋物線(xiàn)E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)l1,l2,l1與l2相交于點(diǎn)M.(1)求p的值;(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知拋物線(xiàn)E:y2=2x.設(shè)Cy122,y1,Dy222,y2,y1≠0,y2≠0,切線(xiàn)l1的斜率為k,則切線(xiàn)l1:得ky2-2y+2y1-ky12=0,由Δ=0,解得k=所以l1的方程為y=1y1x+同理l2的方程為y=1y2x+聯(lián)立y=1易知CD的方程為x0x+y0y=8,其中x0,y0滿(mǎn)意x02+y02=8,由y2=2x,x0x+y0y=8,則y1+可得M(x,y)滿(mǎn)意x代入x02+y02=8,因?yàn)閤0∈[2,22],所以x∈[-4,-22].所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x28-y2=1,x∈[-4,-22方法總結(jié)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,已知P是橢圓x24+y2=1上一點(diǎn),PM⊥x軸于點(diǎn)M.若PN=λ(1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求λ的值.四、參數(shù)法求軌跡方程【例4】點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線(xiàn)y2=4px(p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OA⊥OB,OM⊥AB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.解當(dāng)AB所在直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),M為肯定點(diǎn),坐標(biāo)為(4p,0).當(dāng)AB所在直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+b(k≠0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2(2p-kb)k2所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pb由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,則b=-4pk.①設(shè)點(diǎn)M(x,y),由OM⊥AB,知yx·k=-1,y≠則k=-xy.②由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又點(diǎn)(4p,0)的坐標(biāo)滿(mǎn)意x2+y2-4px=0,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-4px=0.方法總結(jié)應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程的程序:選參—求參—消參.留意消參后曲線(xiàn)的范圍是否發(fā)生改變.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,0),B(2,2),若點(diǎn)C滿(mǎn)意OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,則點(diǎn)C五、交軌法求軌跡方程【例5】(2024東北三省四市一模)如圖,已知橢圓C:x218+y29=1的短軸端點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與B1,B2重合,點(diǎn)N滿(mǎn)意NB1⊥MB1,(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程;(2)求四邊形MB2NB1面積的最大值.解(1)(方法1)設(shè)點(diǎn)N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由題意知點(diǎn)B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因?yàn)镸B1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直線(xiàn)NB1:y+3=-x0y0+3直線(xiàn)NB2:y-3=-x0y0-①×②得y2-9=x02y又x02所以y2-9=181-y029y所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為y29+x29(方法2)設(shè)點(diǎn)N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由題意知點(diǎn)B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因?yàn)镸B1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直線(xiàn)NB1:y+3=-x0y0+3直線(xiàn)NB2:y-3=-x0y0-聯(lián)立①②,解得x又x0218+y0故x0=-2x,y0=所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為y29+x29(方法3)設(shè)直線(xiàn)MB1:y=kx-3(k≠0),則直線(xiàn)NB1:y=-1kx-3.①直線(xiàn)MB1與橢圓C:x218+y29=則直線(xiàn)MB2的斜率為kMB2所以直線(xiàn)NB2:y=2kx+3.②由①②得點(diǎn)N的軌跡方程為y29+x29(2)由(1)(方法3)得直線(xiàn)NB1:y=-1kx-3,①直線(xiàn)NB2:y=2kx+3.②聯(lián)立①②,解得x=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四邊形MB2NB1的面積S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×12|k|2方法總結(jié)交軌法一般依據(jù)動(dòng)點(diǎn)在兩條動(dòng)直線(xiàn)上,利用動(dòng)直線(xiàn)方程,消去不必要的參數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,留意通過(guò)幾何意義確定曲線(xiàn)的范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2024河北唐山一模,文20)已知P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),點(diǎn)Q在圓O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M.(1)當(dāng)直線(xiàn)PQ與圓O相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q在第一象限時(shí),求直線(xiàn)OM的斜率;(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程.指引迷津(二)求曲線(xiàn)軌跡方程的方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)由|MP|=5|MQ|,得(=5(x化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-2y-23=0,所以點(diǎn)M的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=25,軌跡是以(1,1)為圓心,5為半徑的圓.(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),l:x=-2,此時(shí)所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為2×52-所以l:x=-2符合題意.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圓心(1,1)到l的距離d=|3由題意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直線(xiàn)l的方程為512x-y+236綜上,直線(xiàn)l的方程為x=-2或5x-12y+46=0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2解(1)依據(jù)題意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故點(diǎn)P軌跡為橢圓,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又點(diǎn)P不在x軸上,因此所求軌跡方程為x29+y25(2)設(shè)圓P的半徑為r,則|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由雙曲線(xiàn)的定義知,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求軌跡方程為4x2-415y2=(3)依題意,知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線(xiàn)x=2的距離,故所求軌跡為拋物線(xiàn),且開(kāi)口向左,p=4.因此所求軌跡方程為y2=-8x.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解(1)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),N(x,y),則M的坐標(biāo)為(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=λNM得(0,y-y1)=λ(0,-y).所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.因?yàn)辄c(diǎn)P(x1,y1)在橢圓x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+λ)2y2=1,故x24+(2)要使點(diǎn)N的軌跡為圓,則(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故當(dāng)λ=-12或λ=-32對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4y=2x-2設(shè)點(diǎn)C(x,y),則OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+