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文檔簡介
集合與常用邏輯用語第一章第二課時補集及集合運算綜合1.3集合的基本運算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.在具體情境中,了解全集的含義.2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.3.體會圖形對理解抽象概念的作用.通過對補集概念的學(xué)習(xí),提升“直觀想象”“邏輯推理”“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng).欄目索引課前自主預(yù)習(xí)課堂互動探究隨堂本課小結(jié)課前自主預(yù)習(xí)全集:如果一個集合含有所研究問題中涉及的______________,那么就稱這個集合為全集.記法:全集通常記作________.[微思考]全集一定是實數(shù)集R嗎?提示:全集是一個相對概念,因研究問題的不同而變化,如在實數(shù)范圍內(nèi)解不等式,全集為實數(shù)集R,而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式,則全集為整數(shù)集Z.所有元素知識點1全集U
知識點2補集不屬于集合A
?UA
{x|x∈U,且x?A}
[微體驗]1.思考辨析(1)集合?RA=?QA.(
)(2)一個集合的補集一定含有元素.(
)答案(1)×
(2)×2.已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},則?UA=(
)A.{6,8}
B.{5,7}C.{1,3,5,7}
D.{2,4,6,8}答案D
解析因為U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},所以?UA={2,4,6,8}.3.設(shè)全集U={x|x≥0},集合P={1},則?UP等于(
)A.{x|0≤x<1,或x>1}
B.{x|x<1}C.{x|x<1或x>1}
D.{x|x>1}答案A
解析因為U={x|x≥0},P={1},所以?UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.4.已知全集為R,集合A={x|x<1,或x≥5},則?RA=________.解析如圖所示,集合A={x|x<1,或x≥5}的補集是?RA={x|1≤x<5}.答案{x|1≤x<5}
已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6}.求集合B.解
方法一:∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.方法二:借助Venn圖,如圖所示:由圖可知B={2,3,5,7}.課堂互動探究探究一補集運算[方法總結(jié)]求集合補集的基本方法及處理技巧(1)基本方法:定義法.(2)兩種處理技巧:①當(dāng)集合用列舉法表示時,直接套用定義或借助Venn圖求解.②當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時,可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析求解.[跟蹤訓(xùn)練1]設(shè)U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4}.求?UA,?UB.解
方法一:在集合U中,∵x∈Z,∴x的值為-5,-4,-3,3,4,5.∴U={-5,-4,-3,3,4,5}.又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},∴?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.方法二:借助Venn圖,如圖所示:則?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.
設(shè)全集為R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?RB,?R(A∪B),(?RA)∩B.解
把集合A,B在數(shù)軸上表示如下:由圖知?RB={x|x≤2,或x≥10},A∪B={x|2<x<10},所以?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.因為?RA={x|x<3,或x≥7},所以(?RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.探究二集合的交、并、補綜合運算[方法總結(jié)]1.求解與不等式有關(guān)集合問題的方法解決與不等式有關(guān)的集合問題時,借助于數(shù)軸(這也是集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的常用方法)可以使問題變得形象直觀,要注意求解時端點的值是否能取到.2.求解集合混合運算問題的一般順序解決集合的混合運算時,一般先運算括號內(nèi)的部分,然后再運算其他,如求(?RA)∩B時,可先求出?RA,再求交集.[跟蹤訓(xùn)練2]設(shè)全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},則N=(
)A.{1,2,3}
B.{1,3,5}C.{1,4,5}
D.{2,3,4}答案B
解析畫出Venn圖,陰影部分為M∩(?UN)={2,4},所以N={1,3,5}.
設(shè)集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(?UA)∩B=?,求實數(shù)m的取值范圍.解
由已知A={x|x≥-m},得?UA={x|x<-m},因為B={x|-2<x<4},(?UA)∩B=?,在數(shù)軸上表示如圖所以-m≤-2,即m≥2,所以m的取值范圍是m≥2.探究三交、并、補運算的應(yīng)用[變式探究]將典例中條件“(?UA)∩B=?”改為“(?UA)∩B≠?”,其他條件不變,則m的取值范圍又是什么?解
由已知得A={x|x≥-m},所以?UA={x|x<-m},又(?UA)∩B≠?,所以-m>-2,解得m<2.[方法總結(jié)]由集合的補集求解參數(shù)的方法(1)有限集:由補集求參數(shù)問題,若集合中元素個數(shù)有限時,可利用補集定義并結(jié)合集合知識求解.(2)無限集:與集合交、并、補運算有關(guān)的求參數(shù)問題,若集合中元素有無限個時,一般利用數(shù)軸分析法求解.[跟蹤訓(xùn)練3]已知集合A={x|1≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集為實數(shù)集R.(1)求A∪B,(?RA)∩B;(2)如果A??RC,求a的取值范圍.解
(1)因為A={x|1≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|1≤x<10},(?RA)∩B={x|x<1,或x≥7}∩{x|2<x<10}={x|7≤x<10}.(2)由題意知?RC={x|x≥a},又A?(?RC),故a≤1.1.全集與補集的互相依存關(guān)系(1)全集并非是包羅萬象,含有任何元素的集合,它是對于研究問題而言的一個相對概念,它僅含有所研究問題中涉及的所有元素,如研究整數(shù),Z就是全集,研究方程的實數(shù)解,R就是全集.因此,全集因研究問題而異.(2)補集是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A是全集U的子集,隨著所選全集的不同,得到的補集也是不同的,因此,它們是互相依存、不可分割的兩個概念.
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