2022年人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第一次月考試卷(含答案)

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第一次月考試卷

一、選擇題（本大題有16小題，共42分.1?10小題各3分，11?16小題各2分.）

1.（3分）下列各組中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）

3.（3分）如圖，ZXABC也△AQE,若N8AE=120°,ZBAD=40Q，則NA4c的度數(shù)為（）

4.（3分）下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.斜邊和一直角邊對應(yīng)相等

B.兩個(gè)銳角對應(yīng)相等

C.一銳角和斜邊對應(yīng)相等

D.兩條直角邊對應(yīng)相等

5.（3分）如圖，OA=OB,ZA=ZB,有下列3個(gè)結(jié)論:

①△AOO絲△8OC,

②△ACEWZXBOE,

③點(diǎn)E在NO的平分線上，

其中正確的結(jié)論是（）

DE

OC

A.只有①B.只有②C.只有①②D.有①②③

6.（3分）如圖1,已知NABC,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖2,步驟如下，

第一步：以B為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線BA,BC于點(diǎn)。，E；

第二步：分別以。，E為圓心，以6為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；

第三步：畫射線BP.射線8尸即為所求.

下列正確的是（）

上「工?

^-C'E^-'C

第f第二步第三步

圖1圖2

A.a,b均無限制B.a>0,的長

2

C.“有最小限制，b無限制D.a）0,6<工。后的長

2

7.（3分）如圖，在△ABC中，AG平分NC4B,使用尺規(guī)作射線C￡）,與AG交于點(diǎn)E,下

列判斷正確的是（）

A.AG平分8

B.NAED=NADE

C.點(diǎn)E是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)

D.點(diǎn)E到點(diǎn)A,B,C的距離相等

8.（3分）如圖，將口488沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在處，若Nl=/2=44°,則

NB為()

C.114°D.124°

9.（3分）如圖，在△ABC和△￡）￡'（?中，AB=DE.若添加條件后使得△ABC絲△OEC,則

在下列條件中，不能添加的是（）

A.BC=EC,NB=NEB.BC=EC,AC=DC

C.NB=NE,ZA=ZDD.BC=EC,NA=ND

10.（3分）如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)

木樁上，則兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離BO與CQ的距離間的關(guān)系是（）

A.BD>CDB.BD<CDC.BD=CDD.不能確定

11.（3分）如圖，ZXABC中，ADLBC,。為8c的中點(diǎn)，以下結(jié)論:

(1)/XABO絲△48；

(2)AB=AC；

(3)/B=/C；

(4)A。是△A8C的一條角平分線.

其中正確的有（)

12.（3分）如圖，在RtZVlBC中，ABLAC,AD是斜邊上的高，DE1.AC,DFLAB,垂足

分別為E，F(xiàn),則圖中與NC（/C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（）

13.（3分）如圖，兩棵大樹間相距13機(jī)，小華從點(diǎn)8沿8c走向點(diǎn)C,行走一段時(shí)間后他到

達(dá)點(diǎn)E,此時(shí)他仰望兩棵大樹的頂點(diǎn)A和D,兩條視線的夾角正好為90°,且EA=ED.已

知大樹48的高為5m，小華行走的速度為lm/s,小華走的時(shí)間是（）

A.13B.8C.6D.5

14.（3分）如圖，在△ABC中，ZA=90°,3。平分NABC交AC于點(diǎn)。，AB=4,BD=5,

AD=3,若點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線段DP的最小值是（）

A.3B.2.4C.4D.5

15.（3分）如圖，。是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，連接04,OB,0C,若△OAB,△

OBC,△OAC的面積分別為Si,S2,S3,則下列關(guān)系正確的是（)

A.SI>52+S3B.51=52+53C.5i<52+53D.無法確定

16.（3分）如圖，有一張三角形紙片ABC,已知NB=NC=x°,按下列方案用剪刀沿著

箭頭方向剪開，可能得不到全等三角形紙片的是（）

二、填空題（本大題有3小題，每小題有2個(gè)空，每空2分，共12分）

17.（4分）如圖，以AABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長為半徑作?。辉僖皂旤c(diǎn)C為圓心,

以AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D,連接AD,CD,可得其依據(jù)

是;若N8=65°,則N8C￡>的大小是

18.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0），中，AABC的頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為（-五,

0）,（2弧，0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,若

=ZDBC,則48=,DE=.

19.（4分）如圖，已知在△A8C中，A8=AC=10c〃?，NB=NC,BC=8cm,￡）為48的中

點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段CA

上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過s后，XBPD迫2CQP；

（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度不相等，且在某時(shí)刻△BP。與ACQA全等,

則點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s.

三、解答題（本大題有7個(gè)小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

20.（8分）如圖，點(diǎn)B,F,C,E在直線/上（F,C之間不能直接測量），點(diǎn)4,。在/異

側(cè)，測得4B=DE,AC=DF,BF=EC.

（1）求證：△AB8/\DEF；

（2）指出圖中所有平行的線段，并說明理由.

21.（9分）證明命題”角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并

用符號表示已知求證，寫出證明過程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了

不完整的已知和求證.

(1)已知：如圖，0C是NA02的角平分線，點(diǎn)P在0C上，,.求

證：.(請你補(bǔ)全已知和求證)

(2)寫出證明過程.

22.(9分)如圖，已知：點(diǎn)尸6〃?-5)在第一象限角平分線0C上，ZBPA=90°,

角兩邊與x軸、y軸分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)A(3,0),求點(diǎn)8的坐標(biāo).

23.(9分)如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)8E并延長交AQ的

延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：ABCE懸AFDE；

(2)連結(jié)A￡,當(dāng)AE_LBF,BC=2,AO=1時(shí)，求A8的長.

24.(9分)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，嘉淇用一張等腰三角形紙板ABC進(jìn)行操作探究，已知AC=

BC,NACB=90°.

【發(fā)現(xiàn)】如圖，嘉淇把△ABC的直角頂點(diǎn)C放置在直線/上，使點(diǎn)A、B都位于直線/

的同側(cè)，作4￡>_L/,BE1.1,分別交直線/于點(diǎn)。、E,這時(shí)嘉淇通過觀察發(fā)現(xiàn)△AC。與

△CBE全等，請你證明這個(gè)結(jié)論；

【探究】嘉淇借助【發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)A、8位于直線/的同側(cè)時(shí)，線段AD,

BE和OE之間滿足一個(gè)等量關(guān)系，請你寫出這個(gè)等量關(guān)系式，并證明；

【拓展】嘉淇把△A8C的直角頂點(diǎn)C放置在直線/上，使點(diǎn)4、B都位于直線/的兩側(cè)，

作A。，/,BEL,分別交直線/于點(diǎn)3、E,請你直接寫出A￡>,8E和。E這三條線段之

間的數(shù)量關(guān)系.

25.(10分)如圖，四邊形ABCC中，/￡)=NAB￡>=90°,點(diǎn)O為BO的中點(diǎn)，且。A平

分'NBAC.

(1)求證：0c平分NACZ)；

(2)求證：Q4_LOC；

(3)求證：AB+CD^AC.

26.(12分)(1)如圖1：在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=\20°,NB=NAOC=

90°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段8E,EF,FD之間

的數(shù)量關(guān)系并證明.(提示：延長CD到G,使得OG=BE)

(2)如圖2,若在四邊形4BC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°.E,尸分別是8C,CD

上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

2

G

(3)如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西20°的A處，艦艇

乙在指揮中心南偏東60°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后,

艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/

小時(shí)的速度前進(jìn).1小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且兩艦艇之

間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離可利用（2）的結(jié)論）

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題有16小題，共42分.1?10小題各3分，11?16小題各2分.)

1?【分析】利用全等圖形的概念可得答案.

【解答】解：人兩個(gè)圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、兩個(gè)圖形能夠完全重合，故本選項(xiàng)正確；

C、兩個(gè)圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、兩個(gè)圖形不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:B.

2.【分析】首先證明△A8C四△AEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/1=NAE￡>,再根據(jù)余

角的定義可得NAEQ+N2=90°,再根據(jù)等量代換可得N1與N2的和為90°.

fAC=AD

【解答】解：?在△4BC和△AEO中，NA=NA，

AB=AE

A/\ABC^/\AED(SAS),

.,.Zl^ZAED,

VZA￡D+Z2=90",

.,.Zl+Z2=90°,

3.【分析】由△ABC也△AOE,得NBAC=NOAE,則NR4￡>=NCAE,再由/BAC=NBAE

-ZCAE,即可得出答案.

【解答】解：?.?△ABCg△/1￡)￡

：.ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD^ZCAE,

VZBAE=120°,ZBAD=40°,

：.ZBAC=ZBAE-ZCAE=120°-40°=80°.

故選:B.

4.【分析】直角三角形全等的判定方法：HL,SAS,ASA,SSS,AAS,做題時(shí)要結(jié)合已知條

件與全等的判定方法逐一驗(yàn)證.

【解答】解：4、符合判定“L故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

3、全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、符合判定A4S,故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

。、符合判定SAS,故本選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：B.

5.【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出△AOO絲aSOC(ASA),則OD=CO,從而證出4

ACE^/\BDE,連接0E,可證明△AOE四△BOE,則得出點(diǎn)E在/O的平分線上.

【解答］解：\"OA=OB,/A=/8,/O=NO,

...△AO。絲ABOC(ASA),故①正確；

：.OD=CO,

：.BD=AC,

:.△ACEQ/XBDE(A4S),故②正確；

：.AE=BE,

連接OE,：.△AOE絲/\BOE(555),

ZAOE=NBOE,

...點(diǎn)E在NO的平分線上，故③正確，

故選：D.

6?【分析】根據(jù)角平分線的畫法判斷即可.

【解答】解：以B為圓心畫弧時(shí)，半徑a必須大于0,分別以。，E為圓心，以〃為半徑

畫弧時(shí)，6必須大于工OE,否則沒有交點(diǎn)，

2

故選：B.

7.【分析】利用基本作圖得到C。平分/AC8加上AG平分NC48,從而可判斷點(diǎn)后為4

ABC的內(nèi)心.

【解答】解：由作法得CO平分N4CB,

：AG平分/CAB,

...點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心，

...點(diǎn)E為△4BC的角平分線的交點(diǎn).

故選：c.

8.【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出/ACZ）=NBAC=NB'AC,由三角形的

外角性質(zhì)求出/54C=NACO=NB'AC=lzi=22°,再由三角形內(nèi)角和定理求出/

2

B即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.ZACD=ZBAC,

由折疊的性質(zhì)得：NBAC=NB，AC,

：.ZBAC=ZACD=ZB'AC=」N1=22°,

2

.*.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°；

故選：C.

9.【分析】直接利用三角形全等的判定條件進(jìn)行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能

判定三角形全等的.

【解答】解：A、添加BC=EC,N8=NE可用SAS判定兩個(gè)三角形全等，故A選項(xiàng)正

確；

B、添加BC=EC,AC=OC可用SSS判定兩個(gè)三角形全等，故B選項(xiàng)正確；

C、添加NB=NE,=可用ASA判定兩個(gè)三角形全等，故C選項(xiàng)正確；

D、添加8C=EC,NA=NO后是5S4,無法證明三角形全等，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

10?【分析】根據(jù)“兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)

木樁上”可以判斷AB=AC,又AD=AD,ADLBC,所以△4BO絲△AC￡>,所以BD=

CD.

【解答】解：

AZADB=ZADC=90°,

由AB=ACfAD=AD,

：./\ABD^/\ACD（HL）,

:?BD=CD.

故選：C.

11,【分析】先運(yùn)用SAS證明△A8D之△AC。，再得（1）△A8D之△AC。正確；（2）AB=

4c正確；(3)NB=NC正確；

ZBAD^ZCAD(4)AO是△ABC的角平分線.即可找到答案.

【解答】解："：AD=AD./AOB=/AOC、BD=CD

：.(1)△AB￡)gZ\ACO正確；

(2)AB=4C正確；

(3)N8=NC正確；

NBAD=NCAD

(4)AO是△ABC的角平分線.

故選：D.

12.【分析】利用垂直得到NC￡>E=NAF0=9O°,然后利用等角的余角相等找出與/C(/

C除外)相等的角.

【解答】解：,.?￡>￡，AC,

AZCD￡=90°,

AZC+ZCDE=90°,ZCDE+ZADE=90Q,

：.ZADE^ZC,

'：DE//AB,

：.ZADE=ZBAD,

J.ZC^ZBAD,

,：FDLAB,

：.DF//AC,

：.ZBDF=ZC.

故選：C.

13.【分析】首先證明/A=/OEC,然后可利用AAS判定aABE絲△&?￡>,進(jìn)而可得EC=

AB=5m,再求出BE的長，然后利用路程除以速度可得時(shí)間.

【解答】解：???NAE￡>=90°,

AZA￡B+ZD￡C=90°,

VZAB￡=90°,

N4+/AEB=90°,

：.ZA=ZDEC,

2B=NC

在△ABE和△OCE中，ZA=ZDEC>

AE=DE

A/\ABE^/\ECD(A4S),

EC=AB=5m,

VBC=13/w,

BE—8〃?，

...小華走的時(shí)間是8+1=8(s),

故選：B.

14?【分析】由垂線段最短可知當(dāng)OPLBC時(shí);DP最短,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)

論.

【解答】解：當(dāng)。尸_LBC時(shí)，。尸的值最小，

平分/ABC,ZA=90°

當(dāng)￡>P_LBC時(shí)，

DP=AD,

；A￡>=3,

二。尸的最小值是3,

故選：A.

15.【分析】過。點(diǎn)作OOLA8于。，OE_LBC于E,OFLACF,如圖，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)得到OD=OE=OF,再利用三角形面積公式得到S\=^-AB-OD,&+S3=?

22

(8C+4C),然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到Si<S2+S3.

【解答】解：過O點(diǎn)作OOJ-A3于。，OELBC^E,OFLACF,如圖，

是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，

：.OD=OE=OF,

'：Si=」?4爐O。，S2+S3=」?BC?OE+^AC'OF=工(BC+AC),

2222

而AB<BC+AC,

A5l<S2+S3.

故選：C.

D

16?【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等,

故本選項(xiàng)不符合題意；

B、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，

故本選項(xiàng)不符合題意；

C、如圖1,?；NDEC=NB+NBDE,

：.xa+NFEC=x°+NBDE,

：.ZFEC=NBDE,

所以其對應(yīng)邊應(yīng)該是BE和CF,而已知給的是BD=FC=3,

所以不能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；

。、如圖2,VZDEC=ZB+ZBDE,

：.x°+ZFEC=x°+ZBDE,

：.NFEC=ZBDE,

,:BD=EC=2,/B=NC,

:.△BDEW4CEF,

所以能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

由于本題選擇可能得不到全等三角形紙片的圖形，

故選：C.

A

圖1

二、填空題（本大題有3小題，每小題有2個(gè)空，每空2分，共12分）

17?【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可得到△ABCgZ\CD4的依據(jù)；根據(jù)平行四邊形的

判定與性質(zhì)可得出答案.

【解答】解：由題意得，AD=BC,CD=AB,

?：4C=C4,

AAABC^ACDACSSS）.

\'AD=BC,CD=AB,

...四邊形48co為平行四邊形，

：.ZB+ZBCD=\SQa,

AZBCD=180°-65°=115°.

故答案為：SSS；115.

18?【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=OH,根據(jù)中點(diǎn)

坐標(biāo)公式求出點(diǎn)。坐標(biāo)，即可確定DE的長.

【解答】解：???△ABC的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（0）,

：.OB=5

?.?點(diǎn)4坐標(biāo)為（0,4）,

，OA=4,

根據(jù)勾股定理，得AB=3/5，

過點(diǎn)D作DHLBC于點(diǎn)H,如圖所示:

：.DE=DH,

：C的坐標(biāo)為（2五,0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為（0,4）,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

二點(diǎn)。坐標(biāo)為（J5，2）,

:.DH=2,

：.DE=2,

故答案為：3&,2.

19.【分析】（1）經(jīng)過1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm,由已知可得8￡>=PC,BP

=CQ,ZABC^ZACB,即據(jù)SAS可證得△BPO會(huì)△CQP.

（2）可設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為x（x#3）cm/s,經(jīng)過與aCOP全等，則可知P8

=3tcm,PC=（8-3）ton,CQ=xtcm,據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD=PC,8P=C?；駼D

=CQ,8P=PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可.

【解答】解：（1）經(jīng)過1秒后，ABPD注ACQP,理由如下：

經(jīng)過1秒后，PB=3cm,CQ=3cm,

：.PB=CQ,

"：BC=Scm,

PC=5cm,

VAB=AC=10cm,。為AB的中點(diǎn)，

:?/B=/C,BD=5cm,

??BD=PC,

,?在△3PO和aCQ尸中,

BD=PC

-ZB=ZC>

BP=CQ

：.XBPD烏IXCQP(SAS).

故答案為：1.

(2)設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為x(xr3)cm/s,經(jīng)過fs后4BP力與△CQP全等；則可知PB

=3tcm,PC—(8-3，)cm,CQ=xtcm,

；A8=AC,

:*NB=NC,

根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD=PC,8P=CQ時(shí)，②當(dāng)

BD=CQ,8P=尸CH寸，兩三角形全等；

①當(dāng)8O=PC且8P=C。時(shí)，8-3f=5且3f=",解得x=3,

：xW3,

.??舍去此情況；

?BD=CQ,BP=PC時(shí)，5=乂且3f=8-3f,解得：》=生：

4

若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為號B7/S時(shí)，能夠使

/\BPD與/\CQP全等.

故答案為：

4

三、解答題(本大題有7個(gè)小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

20.【分析】(1)先證明8C=EF,再根據(jù)SSS即可證明.

(2)結(jié)論AC〃。/，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

【解答】(1)證明：：BF=CE,

：.BF+FC=FC+CE,即BC=EF,

在△ABC和△OEF中，

'AB=DE

■AC=DF，

BC=EF

A/XABC^/XDEF(SSS).

(2)結(jié)論：AB//DE,AC//DF.

理由：,:△ABgXDEF,

：.NABC=ADEF,ZACB=ZDFE,

：.AH//DE,AC//DF.

21.【分析】（1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫出已知和求證；

（2）證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】解：（1）已知：如圖，OC是NAO8的角平分線，點(diǎn)尸在OC上，PCOA于Q,

PELOB于E,

求證：PD—PE,

故答案為：于。；PE_LOB于E；PD=PE；

（2）證明：在△OP。和中，

"ZPOD=ZPOE

，ZPDO=ZPEO=90°>

OP=OP

：./\OPD^/\OPE（M5）

：.PD=PE.

22?【分析】（1）作軸于E,PFLx軸于F,由角平分線的性質(zhì)得出PE=PF,得出方

程2帆-1=6帆-5,解方程求出機(jī)=1,即可得出結(jié)果；

（2）由ASA證明△BEPgZUFP,得出BE=AF=OA-。尸=0.5,即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）作PELy軸于E,尸軸于凡如圖所示：

根據(jù)題意得：PE=PF,

2m-1=6m-5,

??772-1,

：.P（1,1）；

（2）由（1）得：ZEPF=90°,

VZB/M=90°,PE=PF=1,

：.ZEPB=ZFPAf

，ZPEB=ZPFA=90°

在△BEP和△AFP中，<PE=PF，

ZEPB=ZFPA

:.△BEP"/\AFP(ASA),

：.BE=AF=OA-OF=0.5,

23.【分析】(1)由"A4S”可證絲△CFE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得8E=EF,BC=DF,由中垂線的性質(zhì)可得A8=4凡可得

結(jié)論；

【解答】解：⑴：A￡>〃8C,

：.ZF=ZEBC,ZFDE=ZC,

:點(diǎn)E為CQ的中點(diǎn)，

：.ED=EC,

在△FOE和△BEC中，

2F=NFBC

?ZFDE=ZC>

ED=EC

；AFDE必BEC(A4S)；

(2)VAFDE^ABEC,

:.BE=EF,BC=DF,

VAElfiF,

：.AB=AF,

：.AB=AF=AD+DF=AD+BC=\+2=3,

的長為3.

24.【分析】【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)同角的余角相等，可證NA8=NCBE,通過A4S即可證明△ADC

2CEB；

【探究】由得，AD=CE,CD=BE,即可得出。E=AO+BE；

【拓展】同理可證△ACC絲ZiCEB,則AQ=CE,CD=BE,從而AQ=BE+DE.

【解答】【發(fā)現(xiàn)】證明：：/ACB=NA￡)C=NCEB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,NBCE+NCBE=9Q°,

NACD=NCBE,

在△ADC和△CEB中，

，ZACD=ZCBE

<ZADC=ZCEB-

AC=CB

:.△ADgMEB(A4S)；

【探究】解：結(jié)論：DE^AD+BE.

理由：V/XADC^/^CEB,

：.AD=CE,CD=BE,

\"DE=DC+CE,

：.DE^AD+BE；

【拓展】解：結(jié)論：AD=BE+DE.

理由：如圖，

?.?/4CB=NAOC=/CEB=90°,

；.NACO+NBCE=90°,NBCE+NCBE=90°,

NACD=NCBE,

在△ADC和△CEB中，

，ZACD=ZCBE

-ZADC=ZCEB-

AC=CB

:.△ADgMEB(A4S),

：.AD=CE,CD=BE,

'：CE=CD+DE,

：.AD=BE+DE.

25?【分析】(1)過點(diǎn)。作OELAC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得

OB=OE,從而求出OE=O￡>,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明：

(2)利用“HL”證明△4BO和△4EO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZAOE,同理求出NCOO=NCOE,然后求出N4OC=90°,再根據(jù)垂直的定義即可證

明；

(3)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AE,CD=CE,然后證明即可.

【解答】證明：(1)過點(diǎn)。作OELAC于E,

VZABD=90°,0A平分/8AC,

：.OB=OE,

:點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，

：.OB=OD,

：.OE=OD,

，OC平分/ACQ；

(2)在RtAABO和RtAAEO