2021年高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第三冊分課時全冊同步練習(xí)

【新教材】2021年高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第三冊分

課時全冊教學(xué)案

同步練習(xí)（一）數(shù)列的概念

一、選擇題

1.下面有四個結(jié)論，其中敘述正確的有（）

①數(shù)列的通項公式是唯一的：②數(shù)列可以看做是一個定義在正整數(shù)集或其子集上的

函數(shù)；③數(shù)列若用圖像表示，它是一群孤立的點；④每個數(shù)列都有通項公式.

A.①②B.②③

C.③④D.@@

[3〃+1,〃為奇數(shù)，

2.數(shù)列的通項公式為.汨.給則6“3等于（）

[zn—2,〃為偶數(shù)，

A.70B.28

C.20D.8

〃—1

3.已知數(shù)列｛%｝的通項公式是冊=布，那么這個數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

4.觀察數(shù)列2,5,10,17,x,37,…的特點，則x等于（）

A.24B.25

C.26D.27

二、填空題

_5.觀察下列數(shù)列的特點，用適當?shù)囊粋€數(shù)填空：1,小,小，,3,

y/n,….

6.數(shù)列11,103,1005,10007,…的一個通項公式是.

7.己知數(shù)列的通項公式為斯=/—8〃+15,則3為此數(shù)列的第項.

三、解答題

8.寫出下面各數(shù)列的一個通項公式.

1371531

（z%不116,亞…；

(3)6,66,666,6666,….

9.已知數(shù)列｛“〃｝的通項公式為斯=30+〃一標.

(1)-60是否為這個數(shù)列中的項？若是，求出它是第幾項；若不是，請說明理由;

(2)當“分別為何值時,〃”=().〃“＞供

(3)當〃為何值時，4取得最大值？并求出最大值.

[尖子生題庫]

10.已知數(shù)列｛斯｝中，%=/一桁(〃￡N+),且｛為｝單調(diào)遞增，則力的取值范圍是()

A.(一8,2]B.(一8,3)

C.(一8,2)D.(-8,3]

同步練習(xí)(一)數(shù)列的概念

1.解析：①數(shù)列的通項公式不唯一，錯誤，②正確，③正

確，④數(shù)列不一定有通項公式.

答案：B

2.解析：由通項公式得42=2X2—2=2,43=3X3+1=

10,所以包俏=20.

答案：C

.?n-12

3.解析：=.+]=]—.+],

2/2、22

當〃22時，?！ㄒ伙j-尸1_1_[1_1=[_幣=

2

疝大＞0,所以｛飆｝是遞增數(shù)列.

答案：A

4.解析：將數(shù)列變形為12+1,22+1,32+14+1,…,于是

可得已知數(shù)列的一個通項公式為斯=/+l(〃￡N+),當n=5時,

O5=52+1=26,故x=26.

答案：C

5.解析：由于數(shù)列的前幾項的根號下的數(shù)是由小到大的奇

數(shù)，所以需要填空的數(shù)為6.

答案：s

6.解析：0=10+1=101+1,

42=100+3=102+(2X2—1),

的=1000+5=103+(2X3-1),

???

所以④=10〃+2〃-1.

=

答案：an10"+2〃-1.

7.解析：令扇=〃2—8/2+15—3,即n2—8〃+12=0,解得

〃=2或6.

答案：2或6

8.解析：(1)這個數(shù)列前5項中，每一項的分子比分母少1,

2”-1

h2,3,45

且分母依次為22222,所以它的一個通項公式為an=yi.

(2)這個數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，前6項的絕對值

可看作分母依次為1,234,5,6,分子依次為131,3,1,3,所以它

r1

〃=2%—1(止N+),

的一個通項公式為a〃=<

n=2k(kGN+).

(3)這個數(shù)列的前4項可寫為|(102-1),|(103-1),

!(104—1),所以它的一個通項公式為飆=3(10〃-1).

9.解析：(1)令30+〃一層=—60,即〃2—〃—90=0,

解得麓=10.〃=—9(舍去),

，一60是這個數(shù)列的第10項,即0()=-60.

(2)令30+H—n2=0,即n2—n—30=0,

解得n=6或〃=一5(舍去)，

即當九=6時,斯=0.

令30+〃一層>0,即/一〃一30V0,

解得一5<〃<6.

又〃￡N+,

，當_=1,2,3,4,5時,的>0.

(3)。〃=30+〃_〃2=_77-,

???〃￡N+,???當〃=1時，。〃取得最大值，最大值為30.

10.解析：a,i+\一斯=(〃+1)2—k[n+1)—/+初=2〃+1—k,

又｛〃〃｝單調(diào)遞增，故應(yīng)有4〃土]—4〃>0,即2〃+1—后>0恒成立，

分離變量得M2〃+l,故只需左<3即可.

答案：B

同步練習(xí)(二)數(shù)列中的遞推

一、選擇題

1.已知數(shù)列｛斯｝滿足：?1=-7?斯=1一」—(〃22),則44等于()

30/1-1

41

A--

5B.4

2.已知數(shù)列｛如｝中，。尸1,淤=1,則數(shù)列｛4〃｝的通項公式是()

=B.呢=石

A.an2n

C.?！?2"-1D.

3.符合遞推關(guān)系式時=小%7的數(shù)列是()

A.1,2,3,4,…B.1,蜴2,2①…

C.柩2,巾,2,…D.0,、伉，2,2啦，…

4.已知數(shù)列｛〃”｝中，3=2,斯=一」一(〃22),則。2019=()

念一1

A.一］

C.2D.-2

二、填空題

5.已知數(shù)列｛斯｝滿足內(nèi)=1,斯=2斯-1+1(〃22),則。5=.

6.設(shè)Sf為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若2S”=3斯一3,則。4=.

7.已知數(shù)列｛〃“｝中，。1=1,敢=2,且％?a”+2=a“+i(〃￡N)則。2019的值為

三、解答題

8.已知數(shù)列｛斯｝的第1項是2,以后的各項由公式%=7^口一(/:=2,3,4,…)給出，寫

14”I

出這個數(shù)列的前5項，并歸納出數(shù)列｛斯｝的通項公式.

9.已知“1=1,a,,+］—a?=2,求數(shù)列｛斯｝的一個通項公式.

［尖子生題庫I

10.已知數(shù)列｛斯｝滿足s

同步練習(xí)(二)數(shù)列中的遞推

一1141

1.解析：由題知a=l——=5,a=\——=7,a4=\——

2Cl\3。23的

1

~~4'

答案：C

2.解析：til—1,。2=1，。3=不〃4=g,觀察得=

答案：C

3.解析：由遞推公式可知符合該遞推公式的數(shù)列，每一項

的碑倍為后一項，所以只有B符合.

答案：B

4.解析：法一：曰已知可得，。1=2,。2=—的=2,a4

=-2，?'?｛〃〃｝是周期為2的數(shù)列，則。2019=0009X2+1=〃1=2.

法二：***Cln~-("22),Cln+2=—=々〃，，｛4〃｝是

斯-1斯+1

周期為2的數(shù)列，則02019=0009x2+1=0=2.

答案：C

5.解析：因為41=1,4”=2。”一1+所以。2=3,。3

=7,。4=15,所以〃5=2加+1=31.

答案：31

6.解析：根據(jù)2S〃=3a〃-3,可得2s〃+i=3斯+】-3,兩式相

減得2Q〃+I=3Q〃+I—3Q〃，即?！?1=3?！?，當〃=1時，2s1=3。1—

3,解得0=3,所以。2=9；6=27；處=81；故答案為81.

答案：81

7.解析：因為Q〃?斯+2=a〃+i(〃￡N*),由0=1,。2=2,得

。3=2；

由。2=2,(73-2,得。4=1；

由的=2,。4=1,得。5=］；

由〃4=1,。5=］，得。6=］；

由的=］,〃6=/,得〃7=1；

由。6=］，。7=1,得々8=2

由此推理可得數(shù)列｛Z｝是一個周期為6的周期數(shù)列，所以02

019=。3=2?

答案：2

8.解析：可依次代入項數(shù)進行求值.

-22

〃1=2,6?2=|_2—-2,a3=1-(-2)

2

-3_2

3J'］一亍

1{V

2

-5_2

的-72;\=-

1十多

即數(shù)列｛0｝的前5項為2,-2,一右222

—2—2—2—2—

也可寫為二T丁，~9~9~7

即分子都是一2,分母依次加2,且都是奇數(shù)，所以Q〃=一

/(〃”).

=

9.解析：法一：(疊加法)=an+\—an29Aai-a\

=2,的一念=2,圖一的=2,…,斯—%-1=2(〃22),將這些式

子的兩邊分別相加得(。2—。1)+(的一。2)+(。4—Q3)H-----\-(an—an-\)

=2(〃-1),即Q〃一〃1=2(〃-1),又。］=1,/.an—2n—1(〃22),

當〃=16，?=1也滿足上式，故數(shù)列｛念｝的一個通項公式為?！?/p>

法二：(迭代法)a〃=a〃—i+lX2=a〃—2+2X2=…=al+(〃一

l)X2=2"—1(〃22),當n=\時，0=1也滿足④=2〃-1,故

破列｛〃〃｝的一個通項公式為a?=2n-1.

1。.解析：由條件知攀=M,分別令-123,

—1,代入上式得n~\個等式,喘嗝…念=91蔣

n—12._2

X???X---.又????

na\n3,??白〃一3獷

2

答案：而

同步練習(xí)（三）等差數(shù)列的定義

一、選擇題

1.已知等差數(shù)列｛為｝的前三項依次為a+1,2a+3,則此數(shù)列的通項公式為（）

A.an=2n—5B.3

=

C.an2n~1D.?！?2〃+1

2.在等差數(shù)列｛%｝中，若。2=4,04=2,則。6=（）

A.-1B.0

C.1D.6

3.若數(shù)列｛斯｝滿足3〃“+|=3&+1,則數(shù)列是（）

A.公差為1的等差數(shù)列

B.公差為1的等差數(shù)列

C.公差為一上的等差數(shù)列

D.不是等差數(shù)列

4.等差數(shù)列20,17,14,11,…中第一個負數(shù)項是（）

A.第7項B.第8項

C.第9項D.第10項

二、填空題

5.已知等差數(shù)列一8,—3,2,7,…，則該數(shù)列的第100項為.

6.已知數(shù)列｛%｝中，內(nèi)=3,斯=斯-1+3（〃22）,則斯=.

7.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是

三、解答題

8.若｛%｝是等差數(shù)列,015=8,460=20,求475的值.

9.在數(shù)列｛斯｝中，?1=1,即“=2%+2".設(shè)兒=黃，證明:數(shù)列仍〃｝是等差數(shù)列.

［尖子生題庫I

10.已知數(shù)列｛斯｝滿足s=2,即+|=坐不

(1)數(shù)列｛5｝是否為等差數(shù)列？說明理由；

(2)求an.

同步練習(xí)(三)等差數(shù)列的定義

1.解析：???〃-1,a+l,2a+3是等差數(shù)列｛〃〃｝的前三項,

A2(a+l)=(a-l)+(2a+3),解得a=0,

1=-2=3=

??。19。1，。3,

=

：.d=2,/.an—1+2(〃-1)=2〃-3.故選B.

答案：B

2.解析：方法一：設(shè)｛源｝的首項為ai,公差為d,則有

U\+d=4,m=5,

得占T,所以恁/+5d=0.

ci\+3d=2,

方法二：在等差數(shù)列｛〃”｝中，因為。2,。4,46成等差數(shù)列，

即44是。2與。6的等差中項.所以。6=2。4一々2=2X2—4=0.

答案:B

3.解析：由3a〃+i=3a〃+1,得3z+i—3a〃=l,即a〃+|—a〃

=；.所以數(shù)列｛z｝是公差為g的等差數(shù)列.

答案：B

4.解析：0=20,d=-3,???Q〃=20+(〃-1)X(—3)=23

—3/7,Aa7=2>0,as=-1<0.

答案：B

5.解析：依題意得，該數(shù)列的首項為-8,公差為5,所以

moo=-8+99X5=487.

答案：487

6.解析：因為九22時，at—an-\=39

所以｛。〃｝是以m=3為首項，公差d=3的等差數(shù)列.

所以瓢=。1+(〃-l)d=3+3(〃-1)=3〃.

答案：3〃

7.解析：設(shè)〃〃=-24+(〃一l)d,

。9=-24+8/W0,8

由'.0=-24+9^0,解得內(nèi)

(-

答案：忤Q3

8.解析：法一：因為｛〃〃｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

m+14d=8,

由05=8,。60=20,得

m+59d=20,

_64

3=1?

解得q

644

所以。75=〃1+74d=]q+74X],=24.

法二：因為缶〃｝為等差數(shù)列，

所以415,。30,。45,。60,。75也為等差數(shù)列.

設(shè)這個等差數(shù)列的公差為乩則05為首項，。60為第4項,

所以。60=05+34即20=8+3",解得d=4,

所以075=46()+1=20+4=24.

法三：因為｛Z｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.

因為。60=05+(60-15)",所以

oO—1313

4

所以。75=。6。+(75—60)d=20+15義百=24.

a\2a+2H

9.證明：由已知a[+]=2a〃+2"得b〃+i=n+nCLn

2〃—2n~2,l~l

+1=6”+1.

又b\—1,

因此｛兒｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

10.解析：（1）數(shù)列是等差數(shù)列.理由如下：

因為QI=2,Q〃+I=.+2'

的___服+211

所以z+i-2a〃一2+a”，

6111

所以----廣=石

Un+\a〃/

即舊4是首項為2=；，公差為的等差數(shù)列?

[Un）Cl\ZZ

11YI

⑵由⑴可知,丁=7+（〃-Dd=5，

UnU|乙

2

所以?！?7

同步練習(xí)（四）等差數(shù)列的性質(zhì)

一、選擇題

1.若｛?！埃堑炔顢?shù)列，且。|+。4+。7=45,。2+。$+。8=39,則°3+。6+。9=（）

A.39B.20

C.19.5D.33

2.等差數(shù)列｛為｝中，m+的=10,以=7,則數(shù)列｛為｝的公差為（）

A.1B.2

C.3D.4

3.已知等差數(shù)列M”｝滿足。1+。2+的+…+。101=0，則有（）

A.4i+aioi>0B.。2+。1。1<0

C.。3+。99=0D.fl5|=51

4.已知｛a“｝、｛瓦｝是兩個等差數(shù)列，其中ai=3,瓦=—3,且a/—比0=6,那么研一

加）的值為（）

A.-6B.6

C.0D.10

二、填空題

5.等差數(shù)列｛?！ǎ?，ai+3a8+。15=120,則2a9—mo的值是.

6.若5,x,y,n,21成等差數(shù)列，則x+p+z=.

7.17+小，13一小的等差中項為.

三、解答題

8.四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2,首末兩項的積為一8,求這四個數(shù).

9.(1)已知等差數(shù)列｛?！保校?+。6+。10=1，求。4+。8的值;

(2)設(shè)｛〃”｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若。1+。2+。3=15,4心2。3=80,求。||+。12+。13

的值.

［尖子生題庫I

10.若方程(/一入+機)(f—2x+〃)=o的四個根組成一個首項為:的等差數(shù)列，則加一

川=()

A.1B.q

C2Dl

同步練習(xí)（四）等差數(shù)列的性質(zhì)

1.解析：由題意知，〃1+。4+〃7,/+的+恁，俏+劭+的

成等差數(shù)列，所以43+。6+49=2（42+45+。8）—（。1+〃4+。7）=33.

答案：D

2.解析：由題知+45=2。3=10，所以。3=5,又〃4=7,

所以公差d=〃4一的=2.

答案：B

3.解析：根據(jù)性質(zhì)得：。1+001=。2+。100=…=。5。+。52=

2a51，由于2T-----1-^101=0,所以。51=0，又因為。3+。99=

2^1=0,故選C.

答案：C

4.解析：由于｛念｝、｛4｝都是等差數(shù)歹（I,所以｛a〃一①｝也是

等差數(shù)列，而小一仇=6,。20—^20=6,所以｛〃"一兒｝是常數(shù)列，

故So—%10=6.故選B.

答案：B

5.解析：因為。1+3。8+。15=5恁=120,所以恁=24,所以

2如-aio=So+。8-Qio=a8=24.

答案：24

6.解析：方，x,y,z,21成等差數(shù)列，???〉，是5和21的等

差中項也是x和Z的等差中項，???5+21=2y,.\y=13,x+z=

2y=26,.?.x+y+z=39.

答案：39

7.解析：設(shè)工為其等差中項，則.=17+遮;13—小二當

=15.

答案：15

8.解析：設(shè)這四個數(shù)為a—3d,a—d,a+d9a+3d（公差

為2d）,

依題意，2a=2,且（a—3團（。+3<7）=—8,

即。=1,9/=-8,

C.d—1或d=-l.

又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以辦0,

?"=1,故所求的四個數(shù)為一2,0,2,個

9.解析：（1）法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)念+00=。4+恁=

2a6,

由。2+。6+。10=1,

得3a6=1,解得。6=§,

2

??。4+。8=2。6=1

法二：設(shè)公差為力根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，

得。2+46+。10=(。1+d)+(〃l+5J)+(ai+96?)=34］+15d,由

題意知，3m+l5d=1,即ai+5d=/

2

??處+。8=2。1+10d=2(a1+5tZ)=1.

(2)設(shè)公差為d,??71+6=2。2,

??0+償+。3=15=3。29

??。2=5.

又0〃2的=80,｛。〃｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，

tz1=(5—d)(5+d)=\6^d=3或d=—3(舍去)，

??。12=〃2+1Orf—35,|+02+。］3=3。［2=105.

10.解析：設(shè)方程的四個根。1,。2,。3,。4依次成等差數(shù)列,

則。］+。4=。2+。3=2,

再設(shè)此等差數(shù)列的公差為乩則2?+3"=2,

??-1?,一1

?ci\—4，?-2，

?1,131,15

??。2=4+爹-不的=彳+1=4，

1.37

。4=/5=不

A\m1—n7\=\a\a4—a2a3\

_

X-35_j_

444X4=2,

答案：C

同步練習(xí)(五)等差數(shù)列的前〃項和

一、選擇題

1.在等差數(shù)列｛%｝中，。2=1，6/4=5,則｛%｝的前5項和￡=()

A.7B.15

C.20D.25

2.等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和S“=/+5%則公差d等干()

A.1B.2

C.5D.10

3.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若41+03+05=3,則Ss=()

A.5B.7

C.9D.11

4.已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為

()

A.5B.4

C.3D.2

二、填空題

5.記等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和為S”，若改=-3,S5=-10,則。5=，S”的最

小值為.

6.記等差數(shù)列前〃項和為S”若S2=4,S4=20,則該數(shù)列的公差"=.

7.若等差數(shù)列｛為｝滿足。7+方+。9>0,田+。10<0,則當〃=時，數(shù)列｛d｝的前

n項和最大.

三、解答題

8.等差數(shù)列｛斯｝中,一=30,420=50.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若S〃=242,求〃.

9.記￡為等差數(shù)列｛?“｝的前〃項和，若°4=1,S5=10,則當&取得最大值時，求〃

的值.

［尖子生題庫I

10.數(shù)列｛外,｝中，41=8,。4=2,且滿足為+2—2a”+i+a“=0(〃WN*).

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

(2)設(shè)工=同+㈤+…+㈤,求S”.

同步練習(xí)(五)等差數(shù)列的前〃項和

1.解析：設(shè)｛為｝的首項為Q"公差為"，則有

U\~\~d=19U\=-19

..,,所以L—r

ci\?3u—59[d—29

5X4

所以S5=5m+-"=15.

答案：B

2.解析：Vt/i=S，i=6,ai+a2=S2=14,/?（72=8t/=ci2

一U\=2.

答案：B

3.解析：法一：?.?0+。5=243,

?'?Q]+的+。5=3的=3,

的=1，

5（。1+。5）,,S1L

^?Ss=5=5Q3=5,故選A.

法二：???〃1+43+。5=。1+（。1+267）+（〃1+4^/）=3。]+6d=3,

?'?0+2d=19

5X4

.\Ss=5a\+2d=5(a\+2cT)=59故選A.

答案：A

4.解析：由題意得S偶一S奇=5"=15,

:.d=3.

5m+20d=15,

或由解方程組

5ai+25d=30,

求得d=3,故選C.

答案：C

5.解析：等差數(shù)列｛。〃｝中，55=5a3=—10,得的=-2,

又做=—3,所以公差〃=的一。2=1，。5=〃3+2/=0,由等差數(shù)

列｛為｝的性質(zhì)得篦<5時,④W0,時，a〃大于0,所以S”的

最小值為§4或Ss,即為一10.

答案：0—10

S2=2a1+d=4,

6.解析：法一：由，

5*4=4cii+6d=20.

解得d—3.

法二：由SA—52=的+。4=。1+2d+a2+2d=S2+4d,

，20—4=4+4d,

解得d=3.

答案：3

7.解析：Vay+a^+ag=3as>0,。7+。1。=。8+的<0,

.??。8>0,49Vo.

???當〃=8時，數(shù)列｛4｝的前〃項和最大.

答案：8

8.解析：（1）設(shè)數(shù)列｛如｝的首項為的,公差為d.

aio=ai+9d=30,m=12,

則Q2o=m+19d=5O,解得

d=2,

=

**.anci\~\~(n—l)d=12+(〃-1)X2=10+2〃.

(2)由S〃=〃m+嗎以及0=12,d=2,S〃=242,

乙

得方程242=12〃+吟6x2,即〃2+11〃—242=0,解得

〃=11或〃=—22(舍去).故”=11.

〃4=。1+3d=1

9m=4,

9.解析：由,5X4解得

Ss=5ci\+-2~d=10,

???。5=〃1+43=0,，S4=S5同時最大.

.?.〃=4或5.

10.解析：(1)*.*6Z,7+2-2an+1+。〃=0.Qn+2-。什1=1-

=???=〃2一

I.｛?！ǎ堑炔顢?shù)列且671=8,44=2,?"=-2,-1+(〃

—l)d=10—2n.

(2)?.?Q〃=10—2〃，令z=0,得〃=5.

當〃>5時，?！?lt;0；

當〃=5時，a〃=0；當〃<5時，?！?gt;0.

???當n>5時，￡=|。1|+咫|+…+|〃〃|=。1+@2+…+〃5—(〃6

+。7H-----1-4〃)

=S5一(S〃-S5)=2S5—S〃=2X(9X5—25)—9〃+/=/-9〃

+40,

當時，S〃=|m|+|a21T-----卜I*

=ai+a2H----Fa〃=9〃-/.

9〃一〃2,〃W5,

s—<

”[〃2—9及+40,n>5.

同步練習(xí)（六）等比數(shù)列的定義

一、選擇題

1.在等比數(shù)列｛如｝中，42018=802017,則公比4的值為（）

A.2B.3

C.4D.8

2.在等比數(shù)列｛〃”｝中，a,i>0,且。1+。2=1,。3+。4=9,則。4+〃5的值為（）

A.16B.27

C.36D.81

3.等比數(shù)列｛“”｝的各項均為正數(shù)，公比為g,若『=4,則篇^的值為（）

A.1B.

C.2D.±2

4.在等比數(shù)列｛〃”｝中，m+s=10,。4+期=/則數(shù)列｛斯｝的通項公式為()

4nn4

A.an=2~B.a?=2

n3

C.an=2~D.?！?23一”

二、填空題

5.已知等比數(shù)列｛%｝中，aj=3,.0=384,則該數(shù)列的通項為=.

6.已知等比數(shù)列｛?〃｝中，41=2,且。4%=4司，則03=.

7.等比數(shù)列｛斯｝中，內(nèi)=2,a5=4,則數(shù)列｛愴為｝的通項公式為.

三、解答題

8.已知等比數(shù)列｛為｝,若〃1+。2+。3=7,。1。2。3=8,求知.

9.已知數(shù)列｛?。凉M足1,%“+1=25+1)4”，設(shè)6“=請.

(1)求bi，b2,也；

(2)判斷數(shù)列｛兒｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛“〃｝的通項公式.

［尖子生題庫|

10.已知數(shù)列｛?！埃凉M足m=l.即+i=2a〃+l.

(1)證明數(shù)列｛?！?1｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

同步練習(xí)（六）等比數(shù)列的定義

1.解析:由等比數(shù)列的定義知HZ=8.

答案：D

2.解析:已知m+。2=1,?+々4=9,

*,?爐=9,???q=3或一3（舍去），

??。4+。5=（。3+。4）9=27.

答案：B

3.解析：由［2=4得q=±2,因為數(shù)列｛?！ǎ黜椌鶠檎龜?shù)，

所以4=2.

又因為々4=〃39，〃5=。㈣，所以。4+。5=43q+。媽=（的+。4切,

訐“s+s11

所以…一夕一2,

答案：A

5

四十四411

4.解析：設(shè)公比為q,則=^3=TO=8,所以夕=2，

。1+的

又4］+。3=。1+。1，2=10,所以。1=8,所以=8，2"1=2，

答案：A

9

解析：由已知得皆，，故

5.Qiq128=24=2.

nx2n3n3n3

所以an=a\q~=a\q*q~=ayq~=3X2~.

答案：3X2〃-3

6.解析：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)

并結(jié)合已知條件得a=4a朗4.

,4121

??夕=不［

43=41才=2*義=1.

答案：1

7?解析：?.■以5=。40,?*?<7=2,*'01=3=不

；?斯=/2〃?=2〃-3,1g斯=(〃-3)lg2.

答案：lgaw=(n—3)lg2

8.解析：法一：因為〃1〃3=星，

4142a3=應(yīng)=8,所以々2=2.

。1+。3=5,

從而

0。3=4,

解得0=1,的=4或。1=4,6/3=1.

當0=1時，q=2?,當0=4時，q=g.

故功=2"f或功=23?

法二：由等比數(shù)列的定義，知。2=。1］，。3=。/.

a\+a\q+a\q2=l

代入已知，得「。9

0「。夕。1夕-=8,

ai(l+q+/)=7,

即

aiq3~89

,1(1+夕+,2)=7,①

即

Sciiq=2.②

21

將0=7代入①，得2q2—5q+2=0,所以0=2或

=1,尸4,

由②得(?，或，1

Z=2哼

3n

故斯=2〃-1或an=2~.

9.解析：(1)由條件可得?！?1=(〃~Cln.

將〃=1代入得，的=441,而m=l,所以做=4.

將〃=2代入得，。3=3。2,所以。3=12.

從而8=1,岳=2,左=4.

⑵｛兒｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得篙=等，(構(gòu)造法)即bn+1=2b〃,又從=1,

所以｛兒｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

⑶由(2)可得詈=2〃j所以劣=〃2門.

10.解析：（1）法一：因為④+1=2%+1,

所以a〃+i+1=2（。〃+1）.

由0=1,知41+170,從而④+1知0.

a〃+i+1

所以=2（〃EN+）.

an+1

所以數(shù)歹此。〃+1｝是等比數(shù)列.

法一：由=1,

知。1+1W0,從而〃〃+1W0.

E、L〃〃+I+1?、

因為工TF=2aFn-\H-1+-1=2￡(ahfJ+=1)2(〃eN+)'

所以數(shù)列m〃+i｝是等比數(shù)列.

(2)由(1)知｛如+1｝是以m+l=2為首項，2為公比的等比數(shù)

所以?！?1=2X2〃—1=2〃，即④=2〃一1.

同步練習(xí)(七)等比數(shù)列的性質(zhì)

一、選擇題

1.等比數(shù)列｛斯｝的公比q=一/ai=y/2,則數(shù)列｛。“｝是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)數(shù)列D.擺動數(shù)列

2.對任意等比數(shù)列｛為｝,下列說法一定正確的是()

A.a\＞。3,。9成等比藪列

B.a29由成等比數(shù)列

C.(72＞。4，成等比數(shù)列

D.。3,%，。9成等比數(shù)列

3.若1,8，取4成等差數(shù)列；1,歷,岳，以4成等比數(shù)列，則石產(chǎn)的值等于()

A.-gB.1

C.D4

4.已知數(shù)列｛“〃｝滿足10g3G“+1=10g30H1（〃￡N+）,且42+44+。6=9,則10或。5+。7+

。9）的值是（）

A.-5B.

C.5D.1

二、填空題

5.在等比數(shù)列｛d｝中，各項都是正數(shù)，”皿］0+的的=41,a4a8=4,則a4+as=

6.等差數(shù)列｛a”｝的公差dWO,“1=20,且的,由，。9成等比數(shù)列，貝Ud=______.

7.在等比數(shù)列｛a〃｝中，若敢，的是方程x2—3工+6=0的兩個根，則“36=一.

三、解答題

8.在遞增等比數(shù)列｛詼｝中，-3=64,的+。7=20,求。11的值.

9.三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列，這三

個數(shù)的和為6,求這三個數(shù).

[尖子生題庫I

10.設(shè)二次方程為x2一為+京+1=0（〃￡1^）有兩個根匿4且滿足6a—2磔+64=3.

（1）試用?！北聿籕”+i；

（2）當〃[=（時，求數(shù)列｛為｝的通項公式.

同步練習(xí)（七）等比數(shù)列的性質(zhì)

I.解析：因為9=一30,所以｛飆｝是擺動數(shù)列.

答案：D

2.解析：因為成=的。9,所以的，。6,。9成等比數(shù)列.

答案：D

3.解析：、T,a\9。2,4成等差數(shù)列，

/.3（a2—。1）=4—1,二妝一m=1.

又???1,bi,岳，加3成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則胡=

1X4=4,且岳=lXq2>（）,

.,C.0―。2—（。2..1）1

??岳=2，??一^-=一瓦z-=一,

答案:A

4.解析：由題知log3Q〃+l=log3（3a〃）=log30?+l，

所以an+1—3a〃>0,所以:一=3,

所以｛。〃｝是公比為3的等比數(shù)列.

所以45+^7+〃9=（〃2+&|+。6均3=9X3'=3'，

答案：A

5.解析：a6aio="，a3a5=曷，tziH-tzi—41.

又。4。8=4,?**（。4+as）?=曷+〃&+2a4a8=41+8=49.

???數(shù)列｛〃〃｝各項都是正數(shù)，???〃4+〃8=7.

答案：7

6.解析：由的,密，。9成等比數(shù)列,則a3a9=鬲,

即（〃1+1+3d）=（m+6d）2,

化簡得20"+20法=0,

由0=20,dWO,得d=-2.

答案：一2

7.解析：由題知。2?。8=6,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，。4&6=

。2，。8=6.

答案：6

8.解析：在等比數(shù)列缶〃｝中，

?,49=43??由已知可得43，。7=64且Q3+。7=20.

。3=4,。3=16,

聯(lián)立得或'

。7=1607=4.

???｛斯｝是遞增等比數(shù)列，

???取白3=4,dj—16?J16=4/,/?（y4=4.

/.an=a7-94=16X4=64.

9.解析：由已知，可設(shè)這三個數(shù)為a—d,0,a+d,則

a—d+a+a+d=6,:?a=2,

這三個數(shù)可表示為2—d,2,2+d,

①若2—d為等比中項，則有（2—02=2（2+6/）,

解得d=6或d=0（舍去）.此時三個數(shù)為一4,2,8.

②若2+d是等比中項，則有（2+02=2（2—J）,

解得d=—6或d=0（舍去）.

此時三個數(shù)為8,2,-4.

③若2為等比中項，

則22=（2+砌（2一人

??"=0（舍去）.

綜上可求得此三數(shù)為一4,2,8.

10.解析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得，a+°=『儂

又6a—2姐+6￡=3,所以

即原+i=上〃+；.

（2）因為。〃+1=呼什號

2

所以?！?1—§=

「21

又0一§=]，

2111

故以一令是以￡為首項，公比也為:1的等比數(shù)歹L2

223⑵

2I]

",所以數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖樯?]+[]1，.

同步練習(xí)（八）等比數(shù)列的前〃項和

一、選擇題

1.等比數(shù)列｛小｝中，s=l,S6=63,則公比g的值為（）

A.2B.-2

C.4D.g

3

--a

2.在等比數(shù)列｛“〃｝中,32其前三項的和S3電，則數(shù)列｛斯｝的公比q=（）

A-1B1

C.一；或1或1

3.設(shè)等比數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，若m=3,且。2018+。2019=°，則S673等于（)

A.3B.2019

C.-3D.-2019

4.數(shù)列1,x,x2,?kI…的前〃項和為（)

1一/l-x"-1

AT=7B-rr

C.午三D.以上均不對

二、填空題

5.在數(shù)列｛斯｝中，s=2,&+i=2%,S“為｛?。那皀項和.若S,=126,則n=

6.設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的公比4=提前〃項和為S”，則衿,

7.記等比數(shù)列｛為｝的前〃項和為S〃，若S3=3s，則公比g=.

三、解答題

R.記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知,8=2.S3=-6.

⑴求｛為｝的通項公式；

(2)求Sn.

9.已知等差數(shù)列｛為｝的公差介0,首項m=l，m，。2,。5成等比數(shù)歹U.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式：

(2)若數(shù)列｛兒｝滿足兒=2"+外，求數(shù)列仙〃｝的前〃項和￡.

［尖子生題庫|

10.已知數(shù)列｛〃“｝滿足6=1.a?\\—a?=2,等比數(shù)列｛兒｝滿足滴=5,ZM―4+L

(1)求數(shù)列｛%｝,｛兒｝的通項公式；

(2)設(shè)Cn=aM，求數(shù)列｛如｝的前n項和Sn.

同步練習(xí)(八)等比數(shù)列的前〃項和

1.解析：當q=l時，56=6ai=6^63,不符合題意,

當qWl時，S6=0（1—"）=F^=63,將選項代入檢驗，

1~q1~q

可得q=2.

答案：A

t39、

2.解析：由題意，可得41+。1'+口］12=5，兩式

相除，得1+十］,解得q=-J或1.

q乙

答案：c

3.解析：由。2018+。2019=0可得數(shù)列的公比為9=-1,故

5673=。673=。1=3?

答案：A

4.解析：利用分類討論的思想，對x=0,x=l,xWl且

xNO進行分析.

當x=0時，數(shù)列為1,0,0,…，0,前〃項和為S〃=l；

當x=l時,數(shù)列為1,1,1,1,前〃項和為S〃=〃；

當xWl且xWO時，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項0=1,公比

訴|'/壬巧知《0(1一9〃)1X(1-XZ/)l-xn

q=x,所以刖n項和S=-■='.

n1-q\—x1—x

答案：D

5.解析：0=2,a〃+i=2a〃,

.??數(shù)列｛為｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，又???S〃=126,

.2(1—2〃)

=126,〃=6.

?1-2

答案：6

6.解析：???S4=0?—Q。4=。q3,

1—q

?&=E=15

答案：15

7.角平桿f1S3=+/+的=3的，，+。2=2。3,***a\0>

.\i+q=2q2,即2q2-q—[=0,.■均=—9或1.

答案：一;或1

8.解析:(1)設(shè)｛?！ǎ墓葹橄?

41(1+夕)=2,

由題設(shè)可得，

々1(1+夕+=2)=-6.

tzi=—2,

解得

q=-2.

故｛〃〃｝的通項公式為?！?（一2）〃.

-2X[1—(-2)'1

(2)由(1)可得S〃=

1-(-2)

2.2〃+i

=-3+(-1)--

9.解析：⑴由題意可得成=防的,即（防+的2=內(nèi)（4]+甸,

得（1+J）2=1+4%整理得d（d—2）=0,

解得d=0或d=2.

又因為力＞0,所以"=2.

所以a〃=2