北京外國語大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

北京外國語大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若橢圓的短軸為,一個(gè)焦點(diǎn)為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.2．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定3．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.04．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF交x軸于Q點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.4 B.5C.6 D.75．命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為假命題B.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是負(fù)數(shù)，為真命題6．已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.127．若橢圓上一點(diǎn)到C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或38．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里9．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.10．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件11．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.112．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．美好人生路車站早上有6：40，6：50兩班開往A校的公交車，若李華同學(xué)在早上6：35至6：50之間隨機(jī)到達(dá)該車站，乘開往A校的公交車，公交車準(zhǔn)時(shí)發(fā)車，則他等車時(shí)間不超過5分鐘的概率為______14．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為______千億元15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.16．已知點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若，則的值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.18．（12分）某企業(yè)計(jì)劃新購買臺(tái)設(shè)備，并將購買的設(shè)備分配給名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量表示不同技工的年齡，變量為相應(yīng)的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，他們的工作效益滿足最小二乘法，且關(guān)于的線性回歸方程為（1）試預(yù)測一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；（2）試根據(jù)的值判斷使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為與線性相關(guān)性不強(qiáng)）；（3）若這批設(shè)備有兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是，.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元；若兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，.19．（12分）已知P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B.當(dāng)，且滿足時(shí)，求面積的取值范圍.20．（12分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，分別過曲線上的兩點(diǎn)，做曲線的兩條切線，且交于點(diǎn)，與直線交于兩點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?所以.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).點(diǎn)評：橢圓圖形當(dāng)中有一個(gè)特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.2、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實(shí)軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C3、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B4、C【解析】根據(jù)題干條件得到相似，進(jìn)而得到，求出點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為.故選：C5、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，因?yàn)?，所以為假命題；故選：A6、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因?yàn)?，，所以，故的周長為故選：B7、B【解析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.8、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B9、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.10、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.11、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意，故選：C.12、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；因?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】由題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，則所求概率.故答案為：.14、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6515、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以切線的斜率，切點(diǎn)為，則切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、10【解析】由拋物線的定義根據(jù)題意可知求得p,代入拋物線方程,分別求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【詳解】由拋物線的定義可得，依據(jù)題設(shè)可得，則（舍去負(fù)值），故，故填.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，利用已知相等關(guān)系求解拋物線方程，然后求解已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)，解題中需要熟練拋物的定義和性質(zhì)，靈活應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的特征可得，利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點(diǎn)，，因?yàn)閳A心在直線：：上，設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，即：.18、（1）元；（2）使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)；（3）0.13萬元.【解析】（1）直接把代入線性回歸方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相關(guān)系數(shù)比較即得解；（3）設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5，求出對應(yīng)的概率即得解.小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，.所以預(yù)測一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益為元.【小問2詳解】解：由題得，所以，所以.因?yàn)?，所以與線性相關(guān)性很強(qiáng).所以使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng).【小問3詳解】解：設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（萬元），所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為0.13萬元.19、（1）（2）【解析】【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，整理得曲線的方程：【小問2詳解】因?yàn)閳A的半徑為1，直線：與圓相切，則，，設(shè)，將代入得，，，，，所以，，因?yàn)?，令，在上單調(diào)減，，所以20、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理以及，即可求解.【小問1詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)，其中一條漸近線，則；對雙曲線，令，解得，則，解得，故雙曲線方程為：.小問2詳解】根據(jù)（1）中所求可知，假設(shè)存在軸上的點(diǎn)滿足題意，若直線的斜率不為零，則設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，則，即，此時(shí)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則，則，即，即，則，此時(shí)滿足題意；若直線的斜率為零，且過點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意.綜上所述，存在軸上的一點(diǎn)滿足.【點(diǎn)睛】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點(diǎn)滿足條件的問題；解決問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬綜合中檔題.21、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進(jìn)而求得答案；（2）通過裂項(xiàng)法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得