2025屆云南省楚雄彝族自治州高二上數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆云南省楚雄彝族自治州高二上數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.2．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.3．已知實數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.4．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.25．設(shè)函數(shù)，當自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.116．若復數(shù)，則（）A B.C. D.7．某學校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.468．如圖，已知正方體，點P是棱中點，設(shè)直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題9．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.10．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：311．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件12．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個，從中隨機取出個，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知AB為圓O：的直徑，點P為橢圓上一動點，則的最小值為______14．無窮數(shù)列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進數(shù)列”，已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，，則__________，若數(shù)列前項和為，則__________.15．無窮數(shù)列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數(shù)列”.已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，則=_________.16．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.18．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標分別為和，且該雙曲線經(jīng)過點P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率19．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.20．（12分）已知橢圓的上下兩個焦點分別為，，過點與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知O為坐標原點，直線與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求m的取值范圍21．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且（）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個實數(shù)，使這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)在函數(shù)最值上的應用，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，令，又，所以或；所以當時，；當時，；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以；又，，所以；所以函數(shù)的值域為.故選：D.2、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A3、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，則圓上的點的橫坐標的范圍為：則x的最大值是故選：D.4、C【解析】利用雙曲線的定義求.【詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C.5、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.6、A【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A7、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C8、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內(nèi)，所以過點P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因為平面，所以與與b的夾角都為，而，所以過點P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A9、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D10、A【解析】求出橢圓的焦點坐標，再根據(jù)點在橢圓上，線段的中點在軸上,求得點坐標，進而計算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點坐標為，線段的中點為，因為線段中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.11、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.12、C【解析】計算出肉餡包子和豆沙餡包子的個數(shù)，即可求得素餡包子的個數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個數(shù)為，從中隨機取出個，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個數(shù)為，因此，素餡包子的個數(shù)為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】方法一：通過對稱性取特殊位置，設(shè)出P的坐標，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最小值即可方法二：利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為向量的和與差的平方，通過圓的特殊性，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：方法一：依據(jù)對稱性，不妨設(shè)直徑AB在x軸上，x，，，從而故答案為2方法二：，而，則答案2故答案為2【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的幾何性質(zhì)考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力14、①.2②.7578【解析】根據(jù)前四項成等比數(shù)列及定義可求得，根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，，又，為“和諧遞進數(shù)列”，，，，，…，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，故答案為：2，757815、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757816、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標準方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）C：；D：；（2）①且；②見解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點，再由橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因為D的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點坐標為，又因橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因為直線與C交于A，B兩點，且直線PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【點睛】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問題，難度較大.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設(shè)直線后，由條件求出坐標后代入雙曲線方程求解【小問1詳解】，解得，故雙曲線方程為【小問2詳解】，故設(shè)直線方程為則，由得：故，點在雙曲線上，則，解得直線l的斜率為19、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.20、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進行分類討論，當時，根據(jù)三點共線求得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合直線交橢圓兩點，代值計算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】直線與y軸交于點P，故可得的坐標為，當時，則，由橢圓的對稱性可知：，故滿足題意；當時，因為三點共線，若存在實數(shù)，使得，即，則，故可得.又直線與橢圓交于兩點，故聯(lián)立直線方程，與橢圓方程，可得：，則，即；設(shè)坐標為，則，又，即，故可得：，即，也即，代入韋達定理整理得：，即，當時，上式不成立，故可得，又，則，整理得：，解得，即或.綜上所述：的取值范圍是或或.【點睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中范圍問題的處理；解決本題的關(guān)鍵一是要求得的取值，二是充分利用韋達定理以及直線和曲線相交，則聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程的，屬綜合中檔題.21、（1）（2）見解析【解析】（1）由兩式相減得，所以（）因為等比，且，所以，所以故（2）由題設(shè)得，所