湖南省湘潭市一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

湖南省湘潭市一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機械故障，20min后才以的速度開始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時間為（）A.1h B.C. D.2．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.4．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對5．有下列三個命題:①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.36．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個不能被5整除7．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.8．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準(zhǔn)線于點，準(zhǔn)線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.9．過點且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.10．若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.11．?dāng)?shù)列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.12．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.14．若過點和的直線與直線平行，則_______15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點為，以為圓心作圓，圓上的點到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點作圓的切線，求切線的方程16．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線，與直線和橢圓分別交于兩點，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過定點，如果過定點，求出定點坐標(biāo)；如果不過定點，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若，（1）求數(shù)列的首項和公差；（2）求的最小值.19．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于直線對稱，求的最大值.20．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離21．（12分）設(shè)p：；q：關(guān)于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數(shù)k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數(shù)k的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)小時后，相遇地點為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時間為，相遇地點為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因為20min后緝私艇才以的速度開始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時間為1h.故選：A.點睛】2、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關(guān)系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.3、A【解析】先求出坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.4、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C5、B【解析】①寫出命題的逆命題，可以進(jìn)行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【詳解】①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題是，若互為相反數(shù),則；是真命題；②“若,則”，當(dāng)a=-1,b=-2,時不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當(dāng)x=5時，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【點睛】這個題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關(guān)概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時，只需要判斷原命題的真假6、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點：反證法7、D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．故選：D8、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.9、A【解析】根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點代入求解.【詳解】因為所求直線垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因為直線過點，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.10、C【解析】將對數(shù)方程化為指數(shù)方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故故選：C11、A【解析】根據(jù)各項的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數(shù)列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A12、D【解析】根據(jù)求出焦點為、點坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點坐標(biāo)，由兩點間的距離公式求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點D，所以則，所以D，B，N三點共線，選項D正確；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14、【解析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解.【詳解】因為過點和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：315、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點的坐標(biāo)，設(shè)圓的半徑為，圓上的點到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）對切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在時，可得切線方程為，驗證即可；當(dāng)切線的斜率存在時，可設(shè)所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點設(shè)圓的半徑為，由于圓上的點到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標(biāo)為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）根據(jù)離心率及頂點坐標(biāo)求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為（），求出的坐標(biāo)，設(shè)是以為直徑的圓上的點，利用向量垂直可得恒成立，可得定點，斜率不存在時驗證即可.【小問1詳解】由題意得，，，又因為，所以.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】以為直徑的圓過定點.理由如下：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為（）.令，得，所以.由得，則或，所以.設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點，則，.由題意，，則以為直徑的圓的方程為.即恒成立即解得故以為直徑的圓恒過定點.當(dāng)直線斜率不存在時，以為直徑的圓也過點.綜上，以為直徑的圓恒過定點.18、（1）首項為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，而為其前n項和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項均為非正數(shù)，從第4項起為正數(shù)，而，于是得的前2項和與前3項和相等并且最小，所以當(dāng)或時，.19、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設(shè)點，列方程即可.（2）點關(guān)于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設(shè)，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，因為點與點關(guān)于點對稱，則點坐標(biāo)為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)命題的真假，結(jié)合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結(jié)果；（2）求得命題為真對應(yīng)的的范圍，結(jié)合命題一個為真命題一個為假命