內蒙古赤峰市、呼和浩特市校際聯(lián)考2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

內蒙古赤峰市、呼和浩特市校際聯(lián)考2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或2．接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點是A. B.C. D.4．魏晉時期數學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數（）A.2 B.3C. D.5．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.6．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為A. B.1C. D.7．某班級從5名同學中挑出2名同學進行大掃除，若小王和小張在這5名同學之中，則小王和小張都沒有被挑出的概率為（）A. B.C. D.8．某公司有320名員工，將這些員工編號為1，2，3，…，320，從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進行“學習強國”的問卷調查，若54號被抽到，則下面被抽到的是（）A.72號 B.150號C.256號 D.300號9．設，則A.2 B.3C.4 D.510．復數的共軛復數的虛部為（）A. B.C. D.11．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1212．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等比數列的前n項和，若，公比，則______14．已知數列{}的前n項和為，則該數列的通項公式__________.15．若數列滿足，，設，類比課本中推導等比數列前項和公式的方法，可求得______________16．在下列三個問題中：①甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，如果規(guī)定：同時出現(xiàn)正面或反面算甲勝，一個正面、一個反面算乙勝，那么這個游戲是公平的；②擲一枚骰子，估計事件“出現(xiàn)三點”的概率，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率接近其概率；③如果氣象預報1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；其中，正確的是___________.（用序號表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，側面PAB是邊長為4的正三角形且與底面ABC垂直，點D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點（1）若點G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值18．（12分）正四棱柱的底面邊長為2，側棱長為4.E為棱上的動點，F(xiàn)為棱的中點.（1）證明：；（2）若E為棱上的中點，求直線BE到平面的距離.19．（12分）已知平面直角坐標系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關于直線對稱，求的最大值.20．（12分）已知，（1）當時，求函數的單調遞減區(qū)間；（2）當時，，求實數a的取值范圍21．（12分）已知橢圓的焦點為，且該橢圓過點（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求的值22．（10分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線的準線交于點，為坐標原點，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據等比數列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C2、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結果【詳解】由題知,基本事件總數為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:3、D【解析】先判斷焦點的位置，再從標準型中找出即得焦點坐標.【詳解】焦點在軸上，又，故焦點坐標為，故選D.【點睛】求圓錐曲線的焦點坐標，首先要把圓錐曲線的方程整理為標準方程，從而得到焦點的位置和焦點的坐標.4、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.5、D【解析】如圖根據拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據，利用比例線段的性質可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準線的垂線，分別交準線于點，設，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D6、A【解析】根據題意，由正四面體的性質可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數量積運算性質即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質可得：可得：是棱中點故選：【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關系，考查轉化與化歸思想，屬于中等題型.7、B【解析】記另3名同學分別為a，b，c，應用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】記另3名同學分別為a，b，c，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒有挑出的概率為故選：B.8、B【解析】根據系統(tǒng)抽樣分成20個小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號相差16的整數倍，即可求解.【詳解】∵用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個容量為20的樣本∴，即每隔16人抽取一人∵54號被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150號，而其他選項中的數字不滿足與54相差16的整數倍，故答案為：B故選：B9、B【解析】利用復數的除法運算求出，進而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點睛】本題考查了復數的四則運算，考查了復數的模，屬于基礎題10、B【解析】先根據復數除法與加法運算求解得，再求共軛復數及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復數為，其虛部為故選：B11、D【解析】設，，，由向量關系化為坐標關系，再結合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D12、A【解析】根據的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據給定條件列式求出數列的首項即可計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：414、2n+1【解析】由計算，再計算可得結論【詳解】由題意時，，又適合上式，所以故答案為：【點睛】本題考查由求通項公式，解題根據是，但要注意此式不含，15、n【解析】先對兩邊同乘以4，再相加，化簡整理即可得出結果.【詳解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案為【點睛】本題主要考查類比推理的思想，結合錯位相減法思想即可求解，屬于基礎題型.16、①②【解析】以甲乙獲勝概率是否均為來判斷游戲是否公平，并以此來判斷①的正確性；以頻率和概率的關系來判斷②③的正確性.【詳解】①中：甲乙二人玩勝負游戲：每人一次拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可得4種可能的結果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）則“同時出現(xiàn)正面或反面”的概率為，“一個正面、一個反面”的概率為即甲乙二人獲勝的概率均為，那么這個游戲是公平的.判斷正確；②中：“擲一枚骰子出現(xiàn)三點”是一個隨機事件，當拋擲次數很大時，此事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定于其概率值，故此事件發(fā)生的頻率接近其概率.判斷正確；③中：氣象預報1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出現(xiàn)下雨的天數是隨機的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天.判斷錯誤.故答案為：①②三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據面面平行的判定證明結論.（2）應用勾股定理、等邊三角形的性質、面面和線面垂直的性質可證、、兩兩垂直，構建空間直角坐標系，求面BPC、面PCA的法向量，再應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因為D，H分別是PA，PC的中點，所以因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點，又H是PC的中點，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因為△PAB為等邊三角形，點E為AB的中點，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標原點，以EB，EF，EP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，有，，，，則，，設平面BPC的法向量為，則，令，則設平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明計算作答.(2)利用(1)中坐標系，證明平面，再求點B到平面的距離即可作答.【小問1詳解】在正四棱柱中，以點D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，因E為棱上的動點，則設，，而，，即，所以.【小問2詳解】由(1)知，點，，，，設平面的一個法向量，則，令，得，顯然有，則，而平面，因此，平面，于是有直線BE到平面的距離等于點B到平面的距離，所以直線BE到平面的距離是.19、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設點，列方程即可.（2）點關于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：20、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，再解導函數的不等式，即可求出函數的單調遞減區(qū)間；（2）依題意可得當時，當時，顯然成立，當時只需，參變分離得到，令，，利用導數說明函數的單調性，即可求出參數的取值范圍；【小問1詳解】解：當時定義域為，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當時顯然成立，當時，只需，即，令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以，故實數的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1）利用兩點間距離公式求得P到橢圓的左右焦點的距離，然后根據橢圓的定義得到a的值，結合c的值，利用a,b,c的平方關系求得的值，再結合焦點位置，寫出橢圓的標準方程（2）利用向量的數量積，求得點滿足的條件，再結合橢圓的方程，解得的值【小問1詳解】