甘肅省蘭州市第四中學2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

甘肅省蘭州市第四中學2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)增區(qū)間為()A.(-∞,-1) B.(-∞,e)C.(e,+∞) D.(-1,+∞)2.已知實數(shù),,則下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.3.如圖,平行六面體中,與的交點為,設,則選項中與向量相等的是()A. B.C. D.4.現(xiàn)有60瓶飲料,編號從1到60,若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進行檢驗,則所抽取的編號可能為()A.3,13,23,33,43,53 B.2,14,26,38,40,52C.5,8,31,36,48,54 D.5,10,15,20,25,305.已知動點在直線上,過點作圓的切線,切點為,則線段的長度的最小值為()A. B.4C. D.6.在正方體中,P,Q兩點分別從點B和點出發(fā),以相同的速度在棱BA和上運動至點A和點,在運動過程中,直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.7.當我們停放自行車時,只要將自行車旁的撐腳放下,自行車就穩(wěn)了,這用到了()A.三點確定一平面 B.不共線三點確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面8.已知直線與圓相切,則的值是()A. B.C. D.9.已知實數(shù)、滿足,則的最大值為()A. B.C. D.10.“且”是“方程表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.在平面內(nèi),A,B是兩個定點,C是動點,若,則點C的軌跡為()A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線12.在空間直角坐標系中,點關于平面的對稱點的坐標是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)某市有關統(tǒng)計公報顯示,隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化,該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮,2017年至2020年每年進口總額x(單位:千億元)和出口總額y(單位:千億元)之間的一組數(shù)據(jù)如下:2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x,y滿足線性相關關系,則______;若計劃2022年出口總額達到5千億元,預計該年進口總額為______千億元14.已知正方體的棱長為2,E為線段中點,F(xiàn)為線段BC上動點,則(1)的最小值為______;(2)點F到直線DE距離的最小值為______.15.直線l過拋物線的焦點F,且l與該拋物線交于不同的兩點,.若,則弦AB的長是____16.命題“若,則”的否命題為______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,(1)證明:;(2)設平面平面,求l與平面MND所成角的正弦值18.(12分)已知的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為,(1)求的值;(2)求展開式的所有有理項(指數(shù)為整數(shù)),并指明是第幾項19.(12分)已知等比數(shù)列的公比為,前項和為,,,(1)求(2)在平面直角坐標系中,設點,直線的斜率為,且,求數(shù)列的通項公式20.(12分)已知橢圓的長軸在軸上,長軸長為4,離心率為,(1)求橢圓的標準方程,并指出它的短軸長和焦距.(2)直線與橢圓交于兩點,求兩點的距離.21.(12分)已知函數(shù),且a0(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記函數(shù),若函數(shù)有兩個零點,①求實數(shù)a的取值范圍;②證明:22.(10分)已知拋物線:()的焦點為,點在上,點在的內(nèi)側,且的最小值為(1)求的方程;(2)過點的直線與拋物線交于不同的兩點,,直線,(為坐標原點)分別交直線于點,記直線,,的斜率分別為,,,若,求的值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出,令可得答案.【詳解】由已知得,令,得,故函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+∞).故選:D.2、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個選項得到答案.【詳解】當時,不等式不成立,錯誤;,故錯誤正確;當時,不等式不成立,錯誤;故選:.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì),作差法判斷大小,意在考查學生對于不等式知識的綜合應用.3、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義,結合幾何體有,進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接,如下圖示:,.故選:B4、A【解析】求得組距,由此確定正確選項.【詳解】,即組距為,A選項符合,其它選項不符合.故選:A5、A【解析】求出的最小值,由切線長公式可結論【詳解】解:由,得最小時,最小,而,所以故選:A.6、C【解析】先過點作于點,連接,根據(jù)題意,得到即為直線與平面所成的角,設正方體棱長為,設,推出,進而可求出結果.【詳解】過點作于點,連接,因為四棱柱為正方體,所以易得平面,因此即為直線與平面所成的角,設正方體棱長為,設,則,,因為兩點分別從點和點出發(fā),以相同的速度在棱和上運動至點和點,所以,因此,所以,因為,所以,則,因此.故選:C.【點睛】本題主要考查求線面角的取值范圍,熟記線面角的定義即可,屬于??碱}型.7、B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面,使得自行車穩(wěn)定,此時自行車與地面的三個接觸點不在同一條線上.【詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面,此時三個接觸點不在同一條線上,所以可以確定一個平面,即地面,從而使得自行車穩(wěn)定.故選B項.【點睛】本題考查不共線的三個點確定一個平面,屬于簡單題.8、D【解析】直線與圓相切,直接通過求解即可.【詳解】因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,所以,.故選:D9、A【解析】作出可行域,利用代數(shù)式的幾何意義,利用數(shù)形結合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立可得,即點,代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點與定點連線的斜率,由圖可知,當點在可行域內(nèi)運動時,直線的傾斜角為銳角,當點與點重合時,直線的傾斜角最大,此時取最大值,即.故選:A.10、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標椎方程,判斷可得出結論.【詳解】解:充分性:當,方程表示圓,充分性不成立;必要性:若方程表示橢圓,則,必有且,必要性成立,因此,“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B.11、A【解析】首先建立平面直角坐標系,然后結合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設,以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,則:,設,可得:,從而:,結合題意可得:,整理可得:,即點C的軌跡是以AB中點為圓心,為半徑的圓.故選:A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算,軌跡方程的求解等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、C【解析】根據(jù)空間里面點關于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標系中,點關于平面的對稱點的坐標是.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.1.6;②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點,代入即可求得,取可求出該年進口總額.【詳解】由數(shù)表得:,,因此,回歸直線過點,由,解得,此時,,當時,即,解得,所以,預計該年進口總額為千億元.故答案為:1.6;3.6514、①.;②..【解析】建立空間直角坐標系.空一:利用空間兩點間距離公式,結合平面兩點間距離公式進行求解即可;空二:根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系,則有.空一:,代數(shù)式表示橫軸上一點到點和點的距離之和,如下圖所示:設關于橫軸的對稱點為,當線段與橫軸的交點為點時,有最小值,最小值為;空二:設,為垂足,則有,,,因為,所以,因此,化簡得:,當時,即時,此時,有最小值,即最小值為,故答案為:;【點睛】關鍵點睛:利用空間向量垂直的性質(zhì)進行求解是解題的關鍵.15、4【解析】由題意得,再結合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得,由拋物線的定義知:,故答案為:4.16、若,則【解析】否命題是對命題的條件和結論同時否定,同時否定和即可.命題“若,則”的否命題為:若,則考點:四種命題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】(1)建立空間直角坐標系,利用向量法證得.(2)利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD,,以點D為坐標原點,DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),N(,0,),P(0,0,2),M(1,2,0)所以,,所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得,CD//AB,∵平面PAB,平面PAB,∴CD//平面PAB;又∵平面PCD,平面平面∴CD//l;于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由(1)知,設平面MND的一個法向量,則,取,則,于是是平面MND的一個法向量,因為,設l與平面MND所成角為,則18、(1)(2)【解析】(1)由二項式系數(shù)和公式可得答案;(2)求出的通項,利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和,所以.【小問2詳解】,因此時,有理項,有理項是第一項和第七項.19、(1),;(2),【解析】(1)設出等比數(shù)列的首項和公比,根據(jù)已知條件列出關于的方程組,由此求解出的值,則通項公式可求;(2)根據(jù)題意表示出斜率關系,然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】(1)因為等比數(shù)列的公比為,,,由已知,,得,解得或(舍),所以,,由得,所以所以,(2)由直線的斜率為,得,即,由,,,,,可得,所以,當時也滿足,所以,20、(1),短軸長為,焦距為;(2).【解析】(1)由長軸得,再由離心率求得,從而可得后可得橢圓方程;(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離【詳解】(1)由已知:,,故,,則橢圓的方程為:,所以橢圓的短軸長為,焦距為.(2)聯(lián)立,解得,,所以,,故21、(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減(2)①;②證明見解析【解析】(1)求導,求解可得導函數(shù)恒小于等于0,即得證;(2)①分析函數(shù)的單調(diào)性,由有兩個實數(shù)根可求解;②由(1)得2lnxx?,再利用其放縮可得,由此有,問題得證.【小問1詳解】當a=1時,函數(shù)因為所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減;【小問2詳解】(i)由已知可得方程有兩個實數(shù)根記,則.當時,,函數(shù)k(x)是增函數(shù);當時,,函數(shù)k(x)是減函數(shù),所以,故(ii)易知,當x1時,,故.由(1)可知,當0x1時,,所以2lnxx?由,得,所以因為,所以22、(1)(2)【解析】(1)先求出拋物線的準線

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