寒假作業(yè)12三角形中的倒角模型（16道經(jīng)典題型4道中考真題）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)12三角形中的倒角模型近年來各地中考和模擬考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）.本節(jié)就三角形中的倒角模型（“8”字模型、“A”字模型、燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型、高分線模型、雙垂直模型、雙角平分線等）進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.1．如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是邊上的高，∴，∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，故選A．2．如圖，將沿著DE翻折，使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解析】由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∴.故選C.3．如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)P，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在四邊形中，，∴，由題意可得：平分，平分，∴，，∴，∴.故選C．4．如圖，在中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵中，，∴設(shè)，則，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選B．5．如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．【答案】5【解析】由角度分析易知，即，∵，∴，∵，∴.6．如圖，∠ABD的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，則∠E的度數(shù)是_____.【答案】40°【解析】設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，則有，①2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．7．如圖，在中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長(zhǎng)為．【答案】11【解析】∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN，∵BM＋CN＝11，∴EM＋EN＝11，即MN＝11，答案為：11．8．如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）對(duì)于題圖1，在中，，在中，，∵，∴.（2）①∵和的平分線和相交于點(diǎn)P，∴，∵，，∴兩式相減得：，即，∵，∴.②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案為：．9．利用“模型”解決幾何綜合問題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C.應(yīng)用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求的度數(shù).分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

___.(2)如圖（3），“七角星”形，求的度數(shù).(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=______.【解析】（1）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，故答案為：180°.（2）如圖，∵，∴．（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，，，，，故答案為：360°．10．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．【答案】61°【解析】∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．11．如圖，在中，，分別是的高和角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，且，請(qǐng)直接寫出與，的關(guān)系．【解析】（1），，，是的平分線，，是的高，，，，.（2），理由是：，，是的平分線，，是的高，，，．12．已知，如圖，在中，，，分別在邊，上，，相交于點(diǎn)．(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請(qǐng)你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【解析】（1）條件：①②，結(jié)論：③.證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．條件：①③，結(jié)論：②.證明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分線.條件：②③，結(jié)論：①.證明：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴.（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．13.在中，D是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時(shí)，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時(shí)，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長(zhǎng)到E，使得，連接，若，求的值．【解析】（1）如圖1，過A作于E，∵點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，∴，∴.故答案為：.（2）如圖2，過D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，∵，，∴.（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴.14．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，如圖1，且∠ADB=∠A＋∠B＋∠C.理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是___________；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大?。窘馕觥浚?）三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）（2）如圖，連接CD，并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是和的一個(gè)外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB.（3）由（2）得∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°∠C，∠CAD+∠CBD=150°∠C，∵AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°∠C=2（110°∠C），解得∠C=70°．15．我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對(duì)頂角，則與為對(duì)頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對(duì)頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，，若比大20°，求的度數(shù)；（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點(diǎn)P，設(shè)，求的度數(shù)（用表示）．【解析】（1）在“對(duì)頂三角形”與中，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）由題意知比大20°，+=+，設(shè)=x，=y，則=x+20°，=y20°，∵，∴∠ABC+∠ACB=180°∠A=180°=x+y，∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=x+yx20°=y20°，∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；（3）∵，是的角平分線，∴設(shè)∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°，∵和的平分線和相交于點(diǎn)P，∴∠CEP=(180°2yx)，∠CDP=(180°2xy)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，∴∠P=(180°2yx)+y(180°2xy)=x+y=45°，即：∠P=45°．16．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴，，∴，∴.（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）（4）運(yùn)用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=_____度．【解析】（1）探究2的結(jié)論：∠BOC=.理由如下：如圖，∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，，∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，，，∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，.（2）探究3的結(jié)論：∠BOC=90°－.∵BO和CO分別是∠DBC和∠ECB的角平分線，∴，∵∠DBC=2∠OBC=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ABC+∠A，兩式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ACB+∠ABC+2∠A，即，∴，整理得：∠BOC=90°－.（3）拓展結(jié)論：.∵BO和CO分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，∴，∴∠OBC+∠OCB，在△BOC中，，∴，∴.（4）運(yùn)用：∵CP和DP分別是∠DCF和∠GDC的角平分線，∴，∴，∴，∵，∴.在△CPD中，.故答案為：95.17．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，

∵，∴，∵，∴，由題意知，，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．故選C．18．（2021·河北·中考真題）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少，10【解析】∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長(zhǎng)，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度.故答案為：減少，10．19．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．【答案】或或【解析】由折疊的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；如圖1，當(dāng)時(shí)，，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；圖1如圖2，當(dāng)時(shí)，，∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；圖2如圖3，當(dāng)時(shí)，，∴，∴.圖3綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．20．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三