山東省濟南市長清區(qū)2023-2024學年八上期中數(shù)學試題（解析版）

濟南市長清區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．）1.25的算術平方根是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用算術平方根的定義求解即可．【詳解】解：，25的算術平方根是5．故選：A．【點睛】本題考查算術平方根的定義，正確記憶算術平方根的含義是解題關鍵．2.下列是無理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，求一個數(shù)的立方根、算術平方根，根據(jù)“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”，即可求解．【詳解】解：A.，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；B.是無理數(shù)，故該選項符合題意；C.，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；D.，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；故選：B．3.在平面直角坐標系中，點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根據(jù)各象限內點的坐標特征解答即可．【詳解】解：點的橫坐標大于0，縱坐標小于0，故點所在的象限是第四象限．故選：D．4.下列式子正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)算術平方根的性質、二次根式的減法、二次根式的乘法計算后即可得到答案，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A．，故選項錯誤，不符合題意；B．，故選項錯誤，不符合題意；C．，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項正確，符合題意．故選：D．5.象棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的益智游戲．如圖，是一局象棋殘局，已知表示棋子“馬”和“車”的點的坐標分別為，則表示棋子“炮”的點的坐標為（）A.2,3 B.0,2 C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了坐標確定位置，解題的關鍵是根據(jù)棋子“馬”和“車”的點的坐標得出原點的位置．【詳解】解：如圖所示：棋子“炮”的點的坐標為：．故選：D．6.點、在一次函數(shù)圖象上，則、大小關系()A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】本題考查了比較一次函數(shù)值的大小，根據(jù)一次函數(shù)的性質，可得隨的增大而減小，即可求解．【詳解】解：，隨的增大而減小，又，且，是一次函數(shù)圖象上的兩個點，．故選：A．7.已知軸，，點A的坐標為，則點B的坐標為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形的性質，掌握平行于x軸的直線上點的坐標特點是解決問題的關鍵，根據(jù)平行于x軸的點的縱坐標相同，可得點B的縱坐標，再分點B在點A的左邊和右邊兩種情況討論，即可求出結果．【詳解】解：∵點A的坐標為，軸，∴點B的縱坐標為3，∵，∴點B的橫坐標為：或，∴點B的坐標為或，故選：D．8.已知一次函數(shù)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，且，則函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質，根據(jù)題意得出，進而得出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，且，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．9.如圖所示，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得OA的長，從而求出OC的長即可．【詳解】解：∵，∴OA=，∵，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，∴，∴，∵點C為x軸負半軸上的點，∴C，故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，勾股定理等知識，明確AB=AC是解題的關鍵．10.在平面直角坐標系中，對于P，Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．下圖中的P，Q兩點即為“等距點”．若點A的坐標為，點B的坐標為，且A，B兩點為“等距點”，則點B的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了點到坐標軸的距離，坐標與圖形的性質，解題的關鍵是要讀懂“等距點”的定義，然后根據(jù)概念解決問題．【詳解】解：∵，∴點A到x、y軸的距離中的最大值等于3，∵點，且，∴，∴（舍），∴點D坐標為，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分．）11.的立方根是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)立方根的定義解答即可．【詳解】解：∵∴的立方根是．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了立方根定義，求一個數(shù)的立方根，應先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方．解題的關鍵是注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的符號相同．12.若點在軸上，則m的值為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查坐標軸上點的坐標特征，點到坐標軸的距離，利用y軸上點的橫坐標等于零得出關于m的方程求出m的值即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．13.秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，則__________（選填“>”，“<”，“=”）．【答案】【解析】【分析】用夾逼法估算無理數(shù)即可得出答案．無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∴，∴．故答案為：＞14.學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發(fā)，沿同一條路勻速前進．如圖所示，和分別表示兩人到小亮家的距離和時間的關系，則出發(fā)__________后兩人相距．【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)計算出小明和小亮的速度，明確兩人出發(fā)后兩人相距為等量關系列出方程，利用數(shù)形結合的思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：由題意和圖象可得：小明行駛了，∴小明的速度為：，小亮小時行駛了，∴小明的速度為：()，設兩人出發(fā)后兩人相距，∴，解得：，答：兩人出發(fā)后兩人相距，故答案為：．15.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C是x軸上的一個動點，將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上點D處，則點C的坐標為______．【答案】【解析】【分析】先求出，兩點的坐標，根據(jù)折疊，得到，，進而求出的長度，在中，利用勾股定理進行求解，得到的長，即可得解．【詳解】解：，當時，；當時，；A-4,0，，，，將沿所直線折疊后，點A恰好落在y軸上點D處，，，，在中，，即：，，點在軸的負半軸上，．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，折疊，以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質，利用勾股定理解三角形，是解題的關鍵．16.如圖，在平面直角坐標系中，，，點為軸正半軸上的一個動點，以線段為邊在的右上方作等邊，連接，在點運動的過程中，線段長度的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，將繞點逆時針旋轉60°到，連接，計算點)，確定當軸時，最小即的最小值是．【詳解】解：如圖，將繞點逆時針旋轉60°到，連接，則，，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，過點作軸，則，)，即點是定點，當最小時，最小，當軸時，最小，最小值是，線段長度的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了確定最小值問題，旋轉的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，全等三角形的性質，垂線段最短，運用旋轉的性質作旋轉三角形是本題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共86分）17.計算：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，（1）先化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的混合運算進行計算；（2）根據(jù)二次根式的混合運算進行計算．掌握二次根式混合運算是解題的關鍵．【小問1詳解】；【小問2詳解】．18.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先化簡各二次根式，然后再根據(jù)二次根式加減法法則進行計算即可．（2）先利用完全平方公式與平方差公式進行展開，再合并即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．19.計算：．【答案】【解析】【分析】先求一個數(shù)的立方根，化簡絕對值，求一個數(shù)的負整數(shù)指數(shù)冪，求一個數(shù)的零指數(shù)冪，依次計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，立方根的性質、絕對值的性質、負整數(shù)指數(shù)冪的性質、零指數(shù)冪的性質，正確化簡是解題的關鍵．20.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為、、．（1）作出關于軸對稱的；（2）寫出點的坐標：，，；（3）在軸上找一點，使最小，標出點的位置（不寫畫法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查坐標與圖形的軸對稱，因此可根據(jù)：（1）此題考查了作圖—軸對稱，直接利用軸對稱圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）根據(jù)點的位置，直接寫出坐標即可；（3）直接利用軸對稱求最短路線的方法得出點位置．【小問1詳解】解：如圖所示【小問2詳解】解：如圖所示，，故答案：；【小問3詳解】解：如圖所示，點即為所求，21.如圖，已知直線的圖象經(jīng)過點，，，且與x軸交于點C．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出方程的解為；（3）求的面積．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）求出函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，即可求出方程的解；（3）利用三角形面積公式直接求出的面積即可．【小問1詳解】解：把，代入，得，解得：，故這個一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：把代入得：，解得：，∴直線與x軸交于點C的坐標為，∴方程的解為．故答案為：．【小問3詳解】解：的面積為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質，求一次函數(shù)解析式，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)解析式．22.如圖，在長方形中，O為平面直角坐標系的原點，點A坐標為，點C的坐標為，且a、b滿足，點B在第一象限內，點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著的線路移動．（1）點B的坐標為；當點P移動4秒時，寫出點P的坐標．（2）若點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿著的線路移動，點Q與點P同時出發(fā)，幾秒后點Q與點P第一次相遇？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了矩形的性質、非負數(shù)的性質、坐標與圖形性質，根據(jù)算術平方根和絕對值的非負性得，，根據(jù)矩形的性質及點的運動規(guī)律、靈活運用數(shù)形結合的思想解決問題是解題的關鍵．【小問1詳解】解：由題意得：，得：，，得：，，，，∵，則點P運動的路程為8，此時點P運動到上，距點A個單位長度，，故答案為：；．【小問2詳解】設t秒后點Q與點P第一次相遇，由題得：，解得，所以秒后點Q與點P第一次相遇．23.河南信陽毛尖是中國十大名茶之一，因其成品緊密如尖故名毛尖．某公司采購員到信陽茶葉市場購買某品牌毛尖茶，商家推出了兩種購買方式：會員卡費用(元/張)茶葉價格(元/kg)方式一：金卡會員5001600方式二：銀卡會員2001800設該公司此次購買茶葉xkg，按方式一購買茶葉的總費用為元，按方式二購買茶葉的總費用為元．（1）請直接寫出關于x的函數(shù)解析式；（2）若按方式一購買茶葉的總費用和按方式二購買茶葉的總費用相同，求該公司此次購買茶葉的質量；（3）若該公司此次購買茶葉的總預算為6500元，則按哪種方式購買可以獲得更多的茶葉？【答案】（1），（2）千克（3）按照第一種方式購買可以獲得更多的茶葉【解析】【分析】（1）由總費用等于會員卡費用加上茶葉費用可得答案；（2）由，再建立方程即可；（3）把代入，，再求解，再比較即可．【小問1詳解】解：由題意可得：，；【小問2詳解】由題意可得：，解得：，答：該公司此次購買茶葉的質量為千克．【小問3詳解】按照第一種方式購買茶葉：，解得；按照第二種方式購買茶葉：，解得．∵，∴按照第一種方式購買可以獲得更多的茶葉．【點睛】本題考查的是列函數(shù)關系式，一元一次方程的應用，理解題意，確定函數(shù)關系式與相等關系建立方程是解本題的關鍵．24.小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：∵，∴，∴，∴，∴．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）①化簡；②當時，求的值．（2）化簡．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】本題主要考查分母有理化及乘法公式，解題的關鍵是理解題意；（1）①根據(jù)題中所給方法可進行求解；②根據(jù)題中所給方法可進行求解；（2）根據(jù)分母有理化可進行求解．【小問1詳解】解：①；②∵，∴，∴，即，∴，∴；故答案為；2；【小問2詳解】解：原式．25.【復習舊知】結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：而；表示和兩點之間的距離是：而；表示和兩點之間的距離是：而．一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離公式為│m－n│．（1）數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示的點之間的距離為________；【探索新知】如圖①，我們在“格點”直角坐標系上可以清楚看到：要找或的長度，顯然是化為求或的斜邊長．下面：以求為例來說明如何解決．從坐標系中發(fā)現(xiàn)：，．所以，，所以由勾股定理可得：．（2）在圖②中：設、，試用表示：____________，____________，____________．得出的結論被稱為“平面直角坐標系中兩點間距離公式”．【學以致用】請用此公式解決如下題目：（3）已知、，試求A、B兩點間的距離；（4）已知一個三角形各頂點坐標為、、，請判定此三角形的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）；；；（3）；（4）為直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)距離公式計算即可．（2）根據(jù)數(shù)形結合思想，結合閱讀學習的知識，利用坐標的特點，計算求解即可．（3）根據(jù)兩點間的距離公式，計算即可．（4）根據(jù)兩點間的距離公式，結合勾股定理的逆定理，計算即可．【詳解】（1）數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示的點之間的距離為，故答案為：3．（2）∵、，∴，，，，故答案為：；；．（3）∵、，∴．（4）為直角三角形，理由為：∵、、，∴，，，∵，即則為直角三角形．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算，平面內兩點間的距離公式