3.3一元二次方程根的分布問題 數(shù)學(xué)人教A版（2019）高一必修第一冊

3.3一元二次方程根的分布（二次函數(shù)零點的分布）Δ=b2－4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集有相異兩實根x1,x2(x1<x2)有相等兩實根x1＝x2＝－b/2a沒有實根x<x1或x>x2x≠－b/2aRx1<x<x2

二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式之間的關(guān)系例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布（1）兩個正根解：(方法一常利用韋達(dá)定理和判別式來解){m|0<m≤1}法二：可借助二次函數(shù)圖象來研究求解(函數(shù)法）解.設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m則:yx0f(0)>0Δ=(m-3)2-4m≥0-m-32>0{m|0<m≤1}一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布方程有兩個正根代數(shù)方法方程兩根都大于m(m=0)幾何方法結(jié)論1

（2）有兩個負(fù)根一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布解：法一代數(shù)方法例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.法二：設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m則f(0)>0Δ=(m-3)2-4m≥0-m-32<0{m≥9}y0x一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布幾何方法2方程有兩個負(fù)根方程兩根都小于m（m=0)代數(shù)方法幾何方法結(jié)論2

（3）兩個根都小于1一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m則y01x例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.3.方程兩根都小于m方程兩根都小于m結(jié)論3

一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布（4）兩個根都大于解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+my012x例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.方程兩根都大于m4.方程兩根都大于m結(jié)論4（5）一個根大于1，一個根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m則f(1)=2m-2<0y01x例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.5.方程一根大于m另一根小于m方程一個根大于m另一根小于m結(jié)論5

（6）兩個根都在(0,2)內(nèi)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布解:設(shè)f(x)=x2+(m-3)x+m則y02x例：x2+(m-3)x+m=0,求滿足下列條件的m的范圍.6.方程兩根都大于m且都小于n即兩個根都在（m,n）內(nèi)結(jié)論6一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布一般情況兩個根都小于k兩個根都大于k一個根小于k，一個根大于kyxkkkf(k)<0yxyx

一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布一般情況兩個根有且僅有一個在（k.k)內(nèi)12x1∈(m,n),

x2∈(p,q)兩個根都在（k.k)內(nèi)21yxkk12k12mnpqf(k)f(k)<012yxyxk小結(jié)：突現(xiàn)函數(shù)圖象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的分布問題：①二次項系數(shù)a的符號；②判別式?的符號；③對稱軸x=－b/2a與區(qū)間端點的關(guān)系；④區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù).注：方程、不等式問題等價轉(zhuǎn)化圖形問題等價轉(zhuǎn)化簡單不等式組練習(xí)1:若關(guān)于x的方程x2－5x＋m