4.1.1+n次方根與分數(shù)指數(shù)冪 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪教學(xué)目標

理解n次方根、根式的概念與分數(shù)指數(shù)冪的概念（重點）01

掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡、求值（重點、難點）02掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（重點、難點）03

04

n次方根與分數(shù)指數(shù)冪學(xué)科素養(yǎng)

n次方根、根式的概念與分數(shù)指數(shù)冪的概念數(shù)學(xué)抽象

直觀想象

分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)邏輯推理

分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡、求值數(shù)學(xué)運算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模

n次方根與分數(shù)指數(shù)冪01知識回顧RetrospectiveKnowledge指數(shù)

為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù)。初中已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪．冪指數(shù)底數(shù)讀作“a的n次方”或“a的n次冪”求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.指數(shù)運算整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪：02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù).在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時，我們把正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù)，記作．像這樣以分數(shù)為指數(shù)的冪，其意義是什么呢？下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究．乘方運算開方運算乘方和開方是互逆運算因為(±4)2=16，所以±4叫做16的平方根;因為(±3)2=9，所以±3叫做9的平方根；因為23=8，所以2叫做8的立方根；因為(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；類似地，

因為(±2)4=16，我們把±2叫做16的4次方根;

因為25=32，我們把2叫做32的5次方根；n次方根

當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，0的n次方根為0，這時，a的n次方根用符號表示．

例如：奇次方根

1.正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)；

2.負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)；3.0的奇次方根為0．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．奇次方根

當(dāng)n是偶數(shù)時：正數(shù)的n次方根是有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，這時候，正數(shù)a的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用符號表示.正的n次方根和負的n次方根合并寫成；

例如：0的n次方根為0.

n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

負數(shù)有沒有偶次方根，因為任何實數(shù)的偶次方都是非負數(shù).偶次方根

2.負數(shù)沒有偶次方根；1.正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)；3.0的偶次方根為0．

負數(shù)有沒有偶次方根？為什么？？偶次方根(n為奇數(shù))(當(dāng)n是偶數(shù)，且a＞0)0的任何次方根都是0，記作．根式:式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．根式根據(jù)n次方根的意義，可得：

表示

的n次方根，

一定成立嗎？如果不一定成立，那么

等于什么？探究根式性質(zhì)例1

求下列各式的值：

當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？把根式表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式的時候，例如：分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：

0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義．分數(shù)指數(shù)冪

一般的，無理數(shù)指數(shù)冪

aα（a>0，α為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，冪中的指數(shù)的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)，并拓展到了實數(shù)．

實數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)．對任意實數(shù)r，s，均有下面的性質(zhì)：指數(shù)運算性質(zhì)例2

求下列各式的值：根式化簡與求值的思路及注意點：(1)思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行化簡．(2)注意點：①正確區(qū)分“”與“”兩式；（注意分析是否有意義）②運算時注意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的運用，必要時要進行討論．例3

用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：例4

計算下列各式（式子中的字母均是正數(shù)）：例4

計算下列各式（式子中的字母均是正數(shù)）：03拓展提升ExpansionAndPromotion化簡并求值：利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值的方法：（1）進行指數(shù)冪的運算時，一般化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)

冪，化小數(shù)為分數(shù)，同時兼顧運算的順序；（2）在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，

則可以對根式進行化簡運算；（3）對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示．04歸納總結(jié)SumUp奇次方根

1.正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)；

2.負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)；3.0的奇次方根為0．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

1.正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)；2.負數(shù)沒有偶次方根；3.0的偶次方根為0．(n為奇數(shù))(當(dāng)n是偶數(shù)，且a＞0)0的任何次方根都是0，記作．根式:式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x