2024-2025學年咸陽市乾縣高二數(shù)學上學期第一次檢測試卷及答案解析

-2025學年咸陽市乾縣高二數(shù)學上學期第一次檢測試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各式正確的是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算求解.【詳解】對A：原式，所以A選項錯誤；對B：原式，所以B選項錯誤；對C：原式，所以C選項錯誤；對D：顯然，所以原式，所以D選項正確.故選：D2.在平行六面體中，AC與BD的交點為M，設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合圖形，由空間向量的線性運算可得.【詳解】如圖，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以M為AC中點，所以，所以.故選：C3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算，根據(jù)向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，屬于簡單題.5.若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三棱錐的高，求出對應線段長，通過體積公式得出三棱錐體積.【詳解】如圖，正三棱錐，，取中點，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6.已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計算可得.【詳解】因為，，，所以，，則，，，所以，又因為，所以，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選：D7.在中，，則的長為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，所以根據(jù)兩角和正弦公式可求得，再根據(jù)正弦定理可求得.【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C8.已知點A，B，C，D，P，Q都在同一個球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由幾何關系確定球心，再建立如圖所示坐標系，然后分別求出及其模長，再代入向量的夾角公式，最后結合余弦函數(shù)的取值確定最小值即可.【詳解】設球的半徑為，記正方形中心為，因為為正方形，直線PQ經(jīng)過球心，且平面．所以過點且的中點為球心，設球心為，以為原點，分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標系，設，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，當且僅當時等號成立，設直線所成的角為，則，又，所以．故選：A．二、多選題（本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或者不選得0分．）9.設，為隨機事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨立C.若，互斥，則，相互獨立 D.若，獨立，則【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由相互獨立事件的概念，可判斷D選項.【詳解】對于選項A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項A正確，對于選項B，由相互獨立事件的概念知，若，則事件是相互獨立事件，所以選項B正確，對于選項C，若互斥，則不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨立事件的定義，所以選項C錯誤，對于選項D，由相互獨立事件的定義知，若，獨立，則，所以選項D正確，故選：ABD.10.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11.函數(shù)y=fx的定義域為，區(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對A：，結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡即可得；對B：，舉出反例即可得；對C：，化簡即可得；對D：，化簡即可得.【詳解】對A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價于，化簡可得，故滿足題意，故A正確；對B：，，，取，，可得，，又，故此時不滿足題意，故B錯誤；對C：，，，化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯誤；對D：，，，左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】當縱截距為時，設直線方程為，代入點求得的值，當縱截距不為時，設直線的截距式方程，代入點求解.【詳解】①當直線在兩坐標軸上的截距均為時，設直線方程為，因為直線過點，所以，所以直線的方程為；②當直線在兩坐標軸上的截距均不為時，設直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因為直線過點，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：y=2x或．13.方程的兩根為，且，則____________.【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求得答案.【詳解】∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故，故答案為：-3.14.如圖，在正方體中，，點分別為的中點，則平面截正方體所得截面面積為__________，動點滿足，且，則當取得最小值時二面角的余弦值為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，第一空：只需證明即可得到平面截正方體所得截面為梯形，進一步結合已知條件求解即可；第二空：結合已知將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，進一步求出兩平面的法向量即可求解.【詳解】由題意以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，第一空：因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，即四點共面，所以平面截正方體所得截面為梯形，由對稱性可知該梯形是等腰梯形，因為正方體棱長為4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰長為，所以梯形的高為，故所求截面面積為；第二空：由題意，且，所以，在中，當時，，所以表示經(jīng)過點且法向量為的平面，即點在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此時，當然也有，由題意設，而，設平面的法向量為n1=所以，令，解得，所以可取，顯然平面的一個法向量可以是，二面角的余弦值為.故答案為：18，.【點睛】關鍵點點睛：第二空的關鍵在于將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，由此即可順利得證.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問1詳解】由正弦定理，可得，【小問2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當且僅當時，等號成立，此時面積取得最大值16.已知空間三點.（1）求（2）求的面積；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出向量坐標，再根據(jù)模長公式計算即可；（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；小問1詳解】，【小問2詳解】設向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當且僅當時，等號成立．（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）①；②.【解析】分析】（1）先證明，，，再將三式相加結合基本不等式即可證明；（2）①移項通分化整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以將題意轉(zhuǎn)為在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案.【小問1詳解】因為，則（當且僅當時取等），所以（當且僅當時取等），同理（當且僅當時取等），（當且僅當時取等），三式相加可得：，又因為，所以，所以（當且僅當時取等）.【小問2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：.②因為當x∈0,+∞時，當且僅當，即時取等，所以當x∈0,+∞時，對任意x∈0,+∞，則，所以，解得：.所以實數(shù)的取值范圍為：.18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點，是平面外一點，是線段上一點，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，借助全等三角形的判定定理可得，從而可得，即可得，再利用線面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系，設，再借助體積公式計算出的值，從而可計算出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式求解即可得.【小問1詳解】如圖，連接交于點，因為，所以，所以，因為，所以，所以，即，又因為平面，所以平面，又平面，所以．又因為，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，設，則，即點，則三棱錐體積，解得，所以，則，設平面的法向量，由，令，則，即可得平面的一個法向量，由軸平面，故為平面的一個法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是．【點睛】19.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，常用符號表示，，第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，常用符號表示.定義：一個正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當且僅當存在一個數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；（2）當時，求出所有的“漂亮數(shù)”.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義即可證明最小的“漂亮數(shù)”為6；（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義求出即可.【小問1詳解】若是“漂亮數(shù)”，設，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時，假設，則，又，所以的全部可能取值為，經(jīng)驗證，上述的取值都不等于1，不符合題意