2024-2025學年牡丹江市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷附答案解析

-2025學年牡丹江市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷考試時間:120分鐘分值:150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.若直線是圓的一條對稱軸，則圓心坐標為（

）A. B. C. D.3.直線與圓交于兩點，則的面積為（）A. B.2 C. D.4.直線：，直線：，則直線是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知空間中三點，平面的一個法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.7.已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F(xiàn)在AC上，且，則（）A B. C. D.8.在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動點P在體對角線上，則頂點B到平面距離的最大值為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的一個法向量為B.若直線m：，則C.點到直線l的距離是2D.過與直線l平行直線方程是10.如圖，正方體的邊長為為的中點，動點在正方形內(nèi)（包含邊界）運動，且.下列結論正確的是（）A.動點的軌跡長度為；B.異面直線與所成角的正切值為2；C.的最大值為2；D.三棱錐的外接球表面積為.11.已知直線過定點，且與圓相交于兩點，則（）A.點的坐標為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，則點A到直線的距離為___________．13.世紀,笛卡爾在《幾何學》中,通過建立坐標系,將代數(shù)對象與幾何對象建立關系,從而實現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉化,創(chuàng)立了新分支——解析幾何,我們知道,方程在一維空間中,表示一個點;在二維空間中,它表示一條直線;在三維空間中,它表示一個平面,過點,法向量為的平面的方程是_________.14.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是___________.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知以點A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于（1）求圓的方程；（2）當時，求直線方程．16.如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．（1）求證：；（2）若為直線上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．17.已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點C的坐標；（2）求的面積．18.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．19已知圓和點.（1）過點向圓引切線，求切線的方程；（2）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓的方程；（3）設為（2）中圓上任意一點，過點向圓引切線，切點為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請求出定點坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.2024-2025學年牡丹江市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷考試時間:120分鐘分值:150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由截距式確定直線方程即可求解.【詳解】由題意可得直線方程，化簡可得：，所以，即傾斜角為.故選:B2.若直線是圓的一條對稱軸，則圓心坐標為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到圓心坐標，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得，故圓心坐標為.故選：A.3.直線與圓交于兩點，則的面積為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標和半徑，過圓心作于，分別計算和，即可求得的面積.【詳解】如圖，由圓配方得，，知圓心為,半徑為，過點作于，由到直線的距離為,則,故的面積為.故選：B.4.直線：，直線：，則直線是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】假設成立，去推導是否成立，假設去推導是否成立即可得.【詳解】若，由，可得，若，即，則需，即，即可得時，，故不是的充分條件；若，則，，此時，故，綜上，直線是的必要不充分條件.故選：B5.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線取值范圍為，故選：A.6.已知空間中三點，平面的一個法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】D【分析】運用法向量求出坐標，再求出平行四邊形邊長和夾角余弦值，進而求出正弦值，再用面積公式即可.【詳解】平面的一個法向量為，則，解得，故.，則，則.則平行四邊形面積為.故選：D.7.已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F(xiàn)在AC上，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】取，，為基底，表示出，，再利用向量數(shù)量積的運算求解.【詳解】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C8.在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動點P在體對角線上，則頂點B到平面距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接交于點O，由題意得，接著建立空間直角坐標系求出向量和平面的法向量即可根據(jù)向量法的點到平面距離公式求解.【詳解】連接交于點O，由題意，得，，，如圖，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設，所以，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設頂點B到平面距離為d，則，當時，當時，，所以當即時點B到平面距離最大為.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的一個法向量為B.若直線m：，則C.點到直線l的距離是2D.過與直線l平行的直線方程是【答案】CD【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線方向向量與斜率之間的關系分析判斷；對于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對于C：根據(jù)點到直線的距離公式運算求解；對于D：根據(jù)直線平行分析求解.【詳解】對于A，因為直線l：的斜率，但，可知不為直線l的一個法向量，故A錯誤；對于B，因為直線m：的斜率，且，所以直線l與直線m不垂直，故B錯誤；對于C，點到直線l的距離，故C正確；對于D，過與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．故選：CD.10.如圖，正方體的邊長為為的中點，動點在正方形內(nèi)（包含邊界）運動，且.下列結論正確的是（）A.動點的軌跡長度為；B.異面直線與所成角的正切值為2；C.的最大值為2；D.三棱錐的外接球表面積為.【答案】ACD【解析】【分析】取的中點，分析可知平面.對于A：分析可知動點的軌跡是以點為圓心，半徑為1的半圓，即可得結果；對于B：分析可知異面直線與所成角即為，即可得結果；對于C：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義分析判斷；對于D：分析可知，進而求球的半徑和表面積.【詳解】取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且，又因為平面，則平面，由平面，可得.對于選項A：在中，，可知動點的軌跡是以點為圓心，半徑為1的半圓，所以動點的軌跡長度為，故A正確對于選項B：因為∥，∥，則∥，可知異面直線與所成角即為，其正切值為，故B錯誤；對于選項C：因為線段在平面內(nèi)的投影為，結合選項A可知：在方向上的投影數(shù)量的最大值為1，所以的最大值為，故C正確；對于選項D：設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，因為平面，且為的外接圓圓心，可知，則，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確；故選：ACD.11.已知直線過定點，且與圓相交于兩點，則（）A.點的坐標為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.【答案】ACD【解析】【分析】將直線的方程化簡為點斜式，判斷出A項的正誤；根據(jù)時被圓截得弦長最短，算出的最小值，從而判斷出B項的正誤；利用平面向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)，結合圓的性質(zhì)求出的最大值與的大小，從而判斷出CD兩項的正誤．【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對于A，直線，可化為，所以直線經(jīng)過點，斜率為，因此直線過定點，A項正確；對于B，當時，直線到圓心的距離達到最大值，此時，可知的最小值是，故B項不正確；對于C，，由于的最小值是，此時取最大值，故最大值為0，故C項正確；對于D，設的中點為，連接，則，可得，故D項正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，則點A到直線的距離為___________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)點到直線距離公式求出答案.【詳解】在方向上投影向量的模為，所以點A到直線的距離．故答案為：113.世紀,笛卡爾在《幾何學》中,通過建立坐標系,將代數(shù)對象與幾何對象建立關系,從而實現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉化,創(chuàng)立了新分支——解析幾何,我們知道,方程在一維空間中,表示一個點;在二維空間中,它表示一條直線;在三維空間中,它表示一個平面,過點,法向量為的平面的方程是_________.【答案】【解析】【分析】在空間直角坐標系中,若法向量為,且平面過點,那么平面方程為計算可得.【詳解】過點,法向量為的平面的方程為,即.故答案為:.14.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】可得直線分別過定點和且垂直，可得設，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．【詳解】由題意可知，動直線，經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過定點，時，動直線和動直線的斜率之積為，時，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點，，．設，則，，由且，可得，，，，，，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：因為，設，則，，則，即可求得的取值范圍.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知以點A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于（1）求圓的方程；（2）當時，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由題意知點到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標準方程可求得圓的方程；(2)過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程【小問1詳解】易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程【小問2詳解】過A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當動直線斜率不存在時，設直線的方程為，經(jīng)檢驗圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當動直線斜率存在時，過點，設方程為：，由A?1,2到距離為知得，代入解之可得，所以或為所求方程．16.如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．（1）求證：；（2）若為直線上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直進而得到線線垂直;（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量夾角余弦公式求出直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為平面所以【小問2詳解】如圖，以點為原點，分別以直線為軸，軸，依題意，可得，，，，，所以，，，，又，為的中點.，所以，設n=x,y,z為平面因為，，則，即，取，可得，所以為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為17.已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點C的坐標；（2）求的面積．【答案】（1），，（2）.【解析】【分析】（1）設點的坐標是，由的中點在直線上，求得點的坐標，再求出點關于直線的對稱點即可求得直線的方程，聯(lián)立方程組求出點坐標.（2）利用兩點間距離公式及點到直線距離公式求出三角形面積.【小問1詳解】由點在上，設點的坐標是，則的中點在直線上，于是，解得，即點，設關于直線的對稱點為，則有，解得，即，顯然點在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點，所以直線的方程為，點C的坐標為.【小問2詳解】由（1）得，點到直線的距離，所以的面積.18.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）推導出，證明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的等式，結合求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0、P0,0,1、、，設，其中，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.19