湖北省鄂州市澤林中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

湖北省鄂州市澤林中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.2．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C.8 D.33．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過點(diǎn)P，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則（）A. B.C. D.6．已知命題，則命題的否定為（）A. B.C. D.7．設(shè)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A.（－1，1） B.C. D.（2，4）8．已知函數(shù)，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則（）A. B.0C.2 D.410．函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ〢.（2，+∞） B.（0，2）C.（-∞，2） D.（0，）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實(shí)數(shù)a的值為___________.12．已知正實(shí)數(shù),,且，若，則的值域?yàn)開_________13．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在[0，1]上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______14．已知某扇形的弧長(zhǎng)為，面積為，則該扇形的圓心角（正角）為_________.15．若是冪函數(shù)且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)_______.16．在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(bienao).已知在鱉臑中,平面,,則該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，，，，求二面角的大小.18．已知二次函數(shù).（1）求的對(duì)稱軸；（2）若，求的值及的最值.19．已知函數(shù)，且求函數(shù)的定義域；求滿足實(shí)數(shù)x的取值范圍20．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個(gè)矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.21．某種產(chǎn)品的成本是50元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)（單位：元）與產(chǎn)品的日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系：/元60708090/件80604020（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷是否適合作為與的函數(shù)模型，并說明理由；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少時(shí)日利潤(rùn)（單位：元）最大，并求最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再求單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】要求單調(diào)遞減區(qū)間，只需，.故選：C.【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，借助于或的性質(zhì)解題；(2)求單調(diào)區(qū)間，最后的結(jié)論務(wù)必寫成區(qū)間形式，不能寫成集合或不等式2、A【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3、B【解析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性和單調(diào)性逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意.故選：B.4、B【解析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.5、A【解析】由題可得點(diǎn)，再利用三角函數(shù)的定義即求.【詳解】令，則，所以函數(shù)（，且）的圖象恒過點(diǎn)，又角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，故選：A.6、D【解析】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得.【詳解】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得：命題的否定為：.故選：D7、C【解析】由奇偶性可知的區(qū)間單調(diào)性及，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)不等式及函數(shù)圖象求解集即可.【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)在上單調(diào)遞減且，則在上單調(diào)遞增，且函數(shù)的草圖如圖，或，由圖可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集為故選：C8、D【解析】根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)在上的值域，結(jié)合若存在，使得，等價(jià)為兩個(gè)集合有公共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則的值域?yàn)閇0，1]，當(dāng)時(shí)，，則的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖?，使得，則若，則或，得或，則當(dāng)時(shí)，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，A，B，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D9、D【解析】由偶函數(shù)定義可得，代入可求得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，，，故選：D10、B【解析】列不等式求解【詳解】，解得故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】利用集合的互異性，分類討論即可求解【詳解】因?yàn)閍∈{1，a2﹣2a+2}，則：a=1或a=a2﹣2a+2，當(dāng)a=1時(shí)：a2﹣2a+2=1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)a≠1時(shí)：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查集合的互異性問題，主要考查學(xué)生的分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)榍?.所以，所以，所以,.則的值域?yàn)?故答案為.13、【解析】不等式在[0，1]上有解等價(jià)于，令，則.【詳解】由在[0，1]上有解，可得，即令，則，因?yàn)?，所以，則當(dāng)，即時(shí)，，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.14、【解析】根據(jù)給定條件求出扇形所在圓的半徑即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，扇形弧長(zhǎng)為，即，由扇形面積得：，解得，所以該扇形的圓心角(正角)為.故答案為：15、2【解析】由冪函數(shù)可得，解得或2，檢驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】為冪函數(shù)，所以，解得或2.當(dāng)時(shí)，，在不單調(diào)遞增，舍去；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增成立.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】M﹣ABC四個(gè)面都為直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，從而可得MC=2，那么ABC內(nèi)接球的半徑r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2解得：r=2-∵△ABC時(shí)等腰直角三角形，∴外接圓半徑為AC=外接球的球心到平面ABC的距離為=1可得外接球的半徑R=故得：外接球表面積為.由已知，設(shè)內(nèi)切球半徑為，，，內(nèi)切球表面積為，外接球與內(nèi)切球的表面積之和為故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線，這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線得到，進(jìn)而得到線面平行；（2）根據(jù)二面角的定義可證得是二面角的平面角，在三角形BD中求解即可解析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槭侨庵?，所有四邊形為平行四邊?所以是中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.（2）是二面角的平面角.事實(shí)上，因?yàn)槊?，面，所?在中，，是底邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以是二面角的平面?在直角三角形中，，，所以為等腰直角三角形，所以.18、（1）（2）的值是，最小值是，無最大值【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，即可得到結(jié)果；（2）由，可求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的開口和對(duì)稱軸，即可求出最值.【小問1詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以對(duì)稱軸【小問2詳解】解：因?yàn)?，所?所以.所以.因?yàn)椋蚤_口向上，又對(duì)稱軸為，所以最小值為，無最大值.19、（1）；（2）見解析.【解析】由題意可得，，解不等式可求；由已知可得，結(jié)合a的范圍，進(jìn)行分類討論求解x的范圍【詳解】（1）由題意可得，，解可得，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得，時(shí)，，解可得，，時(shí)，，解可得，【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題20、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對(duì)稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時(shí)，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點(diǎn)，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對(duì)稱性知，矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角，所以，