2025屆中山紀(jì)念中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆中山紀(jì)念中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假2．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數(shù)是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.563．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（）A. B.C. D.4．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.5．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.6．若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列是（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上說法均不對7．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知，是雙曲線的左，右焦點，經(jīng)過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______14．如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線進(jìn)行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個結(jié)論：①在翻折過程中，存在某個位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角45°.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.15．橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________16．寫出一個漸近線的傾斜角為且焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心C的坐標(biāo)為，且是圓C上一點（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線l被圓C所截得的弦長為，求直線l的方程18．（12分）設(shè)：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.20．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值22．（10分）某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了1000件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測，根據(jù)檢測結(jié)果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認(rèn)定產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)時為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計有關(guān)知識判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因為成立，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.2、B【解析】由題意知第8行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，可得第8行，第3個數(shù)是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，故第8行，第3個數(shù)是為故選：B3、A【解析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A4、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.5、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當(dāng)時，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個區(qū)間是減函數(shù).6、D【解析】利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系和等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以是等差數(shù)列；當(dāng)時，為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列’當(dāng)時，，所以是等比數(shù)列，故選：D7、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.8、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因為，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因為，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A9、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.10、B【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，的不等式，結(jié)合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經(jīng)過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B11、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.12、A【解析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】過A、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，如圖，過點A作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.14、②③【解析】在矩形中，過點作的垂線，垂足分別為，對于①，連接，假設(shè)存在某個位置，使得，則可得到，進(jìn)而得矛盾，可判斷；對于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系計算即可；對于③，由題知，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，進(jìn)而得，進(jìn)而得異面直線與所成角的余弦值的范圍為，即可判斷.【詳解】解：如圖1，在矩形中，過點作的垂線，垂足分別為，則在在翻折過程中，形成如圖2的幾何體，故對于①，連接，假設(shè)存在某個位置，使得，由于，，所以平面，所以，這與圖1中的與不垂直矛盾，故錯誤；對于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，此時，體積為，故三棱錐的體積不大于，故正確；對于③，，，由②的討論得，所以，所以，設(shè)翻折過程中，平面與平面所成的二面角為，所以，故，由于要使直線與為異面直線，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的范圍為，由于，所以在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角為45°.故答案為：②③15、2x＋4y－3＝0【解析】設(shè)弦端點為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.16、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫出一個符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）計算圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先驗證斜率不存在時，是否滿足題意，再分析斜率存在時，利用點到直線距離求出斜率即可得解.【小問1詳解】由題意得：所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為，此時所截得的線段的長為，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為，即，圓心到直線l的距離，由題意，得，解得，∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時實數(shù)x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據(jù)是的必要不充分條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系，根據(jù)區(qū)間端點列不等式求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，，解得，即p為真時，實數(shù)x的取值范圍為．由，解得，即q為真時，實數(shù)x的取值范圍為若為真，則，解得實數(shù)x的取值范圍為【小問2詳解】若p是q的必要不充分條件，則且設(shè)，，則，又由，得，因為，則，有，解得因此a的取值范圍為19、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，在上找一點，其中，，，，設(shè)面的一個法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點，符合題意.20、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設(shè)點，則，所以，化簡得，當(dāng)直線或的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題得到解決.21、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBC的一個法向量，易知平面ABCD的一個法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點E，連接ME，CE，因為底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面MBC的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的