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文檔簡(jiǎn)介
專題45構(gòu)造平行四邊形問(wèn)題
【規(guī)律總結(jié)】
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形.這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪?/p>
形一一矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ),還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等
的三角形,并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì),因此,它在幾何圖形的研究上有
著廣泛的應(yīng)用。
2.由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì):
(1)平行四邊形對(duì)角相等;
⑵平行四邊形對(duì)邊相等;
⑶平行四邊形對(duì)角線互相平分.
3.除了定義以外,平行四邊形還有以下幾種判定方法:
(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
⑶對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
【典例分析】
例1.(2019?上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考)如圖,口45。中,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn),
AE=EF=2,CE=5,則履長(zhǎng)().
A.7B.8C.9D.10
【答案】C
【分析】
求BE的長(zhǎng),可轉(zhuǎn)化為6F+EF,EF已知,只需求出BF的長(zhǎng)即可,延長(zhǎng)AD,使AD=£>G,
連接BG,CG,判定四邊形ABGC為平行四邊形,在DG上取一點(diǎn)H,使DH=DF,判斷
四邊形BECI為平行四邊形,求證BF=AC即可求解.
【詳解】
延長(zhǎng)AD,使A£)=£)G,連接BG,CG,
團(tuán)AD=DG,BD—CD,
團(tuán)四邊形ABGC為平行四邊形,
0AC=BG,
在DG上取一點(diǎn)H,使DH=DF,連接?!辈⒀娱L(zhǎng)交BG于/,
QBD=CD,
回四邊形BECI為平行四邊形,
0AC//BG.
0ZC4G=ZBGF.
0NC4G=ZAFE=ZBFG.
^ZBGA=ZBFG,
(3BF-BG,
^BE^BF+EF^AC+EF=2+5+2^9,
故選:c.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)即定理,以及兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,學(xué)會(huì)運(yùn)用輔助
線作圖以及熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)即定理,以及兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等的定理是解答
本題的關(guān)鍵.
例2.(2020?浙江寧波市?八年級(jí)期中)如圖,已知明8c的面積為24,點(diǎn)。在線段AC上,
點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上,且BF=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形,則圖中陰影部分的面
積是.
【答案】8
【分析】
連接EC,過(guò)A作AM回BC交FE的延長(zhǎng)線于M,求出平行四邊形ACFM,根據(jù)等底等高的三
角形面積相等得出配DE的面積和I3CDE的面積相等,0ADE的面積和I3AME的面積相等,推出
陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半,求出CFxhcF的值即可.
【詳解】
連接DE、EC,過(guò)A作AM13BC交FE的延長(zhǎng)線于M,
回四邊形CDEF是平行四邊形,
0DEE1CF,EF0CD,
0AM0DE0CF,AC0FM,
團(tuán)四邊形ACFM是平行四邊形,
02BDE邊DE上的高和E1CDE的邊DE上的高相同,
00BDE的面積和回CDE的面積相等,
同理囪ADE的面積和團(tuán)AME的面積相等,
即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半,是!xCFxhcF,
2
00ABC的面積是24,BC=3CF
0—BCXKBC=-x3CFxhcF=24,
22
0CFxhcF=16,
回陰影部分的面積是二*16=8,
2
故答案為:8.
【點(diǎn)睛】
此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì),同底等高三角形面積的關(guān)系,解題中注意陰影部分面積
的求法,根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇正確的求法是解題的關(guān)鍵.
例3.(2020?四川成都市?雙流中學(xué)九年級(jí)期中)如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD中BC延長(zhǎng)線
上一點(diǎn),對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。,連接AP,分別交BD,CD于點(diǎn)E,E,過(guò)點(diǎn)3作AP
的垂線,垂足為點(diǎn)G,交線段AC于〃.
(1)若/尸=20°,求NGBE的大小.
(2)求證:AE。=EF0EP.
(3)若正方形A8CD的邊長(zhǎng)為1,CP=\,求HG的長(zhǎng).
【答案】(1)25。;(2)證明見(jiàn)詳解;(3)逝
15
【分析】
(1)由正方形性質(zhì)得到團(tuán)DBP的度數(shù),利用外角性質(zhì)得到mGEB的度數(shù),再由直角三角形兩
銳角互余,即可得到I3GBE的度數(shù);
(2)連接CE,證I3ECF與①EPC,可得EC的平方與EF和EP的關(guān)系,再根據(jù)正方形性質(zhì)得到
EA=EC,即可得到結(jié)論;
(3)利用三角函數(shù)值求出DM的長(zhǎng),再利用I3ABG和I3ABP相似求出AG長(zhǎng),證明四邊形ACPD
是平行四邊形可得團(tuán)DPA與團(tuán)GAH相等,則它們的三角函數(shù)值相等,通過(guò)回GAH的正切值即可
得到HG的長(zhǎng);
【詳解】
(1)回四邊形ABCO是正方形,AC是正方形的對(duì)角線,
0ZACB=45°,ZDBC=45°,
0NGEB=NP+ZDBC,NP=20°中,
團(tuán)NGE3=20°+45°=65°,
BBG±AP,
0NGBE=90°-NGEB=90°-65°=25°;
(2)如圖所示,連接EC,
回四邊形ABC£>是正方形,
回A,C關(guān)于80對(duì)稱,即4CB=NACE)=45°,
(3EA-EC,
0ZE4C-ZEC4,
0^LACB=NP+^CAE=4ECF+NLECA=45°,
回N反獷=/尸,
又回ACEF=APEC,
0AC£FEIAPEC,
ECEF
0----
PEEC
0EC2-EFDEP.
團(tuán)EA2=EF^EP;
(3)回正方形的邊長(zhǎng)為1,
SAB=BC=\,又回。=1,
回3P=2,
回AF=+B產(chǎn)=也,
&BG±AP,
0^ABG+N3AG=乙BPG+403=90°,
^ZAPB^ZABG,
/“CDABAG即*=AG
團(tuán)sinNAPB=-----
AP~AB1
0AG=—,
5
連接。P,
0AE>/JCP,
回四邊形ACPO為平行四邊形,
0ZC4P=ZAPD,過(guò)。點(diǎn)作ZWLAPJM,
1_V5
0DM=ADsinADAP=AEOinAAPB=1x
DP=ylCD2+CP2=-Ji'
正
5=1
團(tuán)tanNDPM=
PMH3
團(tuán)tanNCA尸=—
3
HG
0--------
AG3
0//G=1AG=-X^=^,即HG的長(zhǎng)為好.
3351515
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)和判定
等知識(shí)點(diǎn),正確添加輔助線,確定相似三角形是解題的關(guān)鍵.
【好題演練】
一、單選題
1.(2020?寧夏中考真題)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13,對(duì)角線AC=24,點(diǎn)E、F分別
是邊CO、8C的中點(diǎn),連接EE并延長(zhǎng)與A3的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,則EG=()
A.13B.10C.12D.5
【答案】B
【分析】
連接對(duì)角線BD,交AC于點(diǎn)0,求證四邊形BDEG是平行四邊形,EG=BD,利用勾股定理求
出0D的長(zhǎng),BD=20D,即可求出EG.
【詳解】
連接BD,交AC于點(diǎn)0,
由題意知:菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13,點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn),
0AB=BC=CD=DA=13,EF//BD,
0AC.BD是菱形的對(duì)角線,AC=24,
0AC0BD,A0=C0=12,0B=0D,
X0AB//CD,EF//BD
0DE//BG,BD//EG
在四邊形BDEG中,
0DE//BG,BD//EG
團(tuán)四邊形BDEG是平行四邊形
0BD=EG
在I3C0D中,
0OCI3OD,CD=13,C0=12
0OD=OB=5
0BD=EG=1O
故選B.
DE
ABG
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了菱形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理,熟練掌握菱形、平行四邊形的
性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.
2.(2020?眉山市東坡區(qū)東坡中學(xué)八年級(jí)期中)在等邊三角形ABC中,BC=6cm,射線AG//BC,
點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AG以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC以2cm/s
的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)1為()s時(shí),以A,F,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊
形?()
【答案】D
【分析】
分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析,由當(dāng)AE=CF時(shí),以A、C、E、F
為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形,可得方程,解方程即可求得答案.
【詳解】
①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí),根據(jù)題意得:AE=tcm,BF=2tcm,
則CF=BC-BF=6-2t(cm),
0AG0BC,
回當(dāng)AE=CF時(shí),四邊形AECF是平行四邊形,
即t=6-2t,
解得:t=2;
②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí),根據(jù)題意得:AE=tcm,BF=2tcm,
則CF=BF-BC=2t-6(cm),
0AG0BC,
回當(dāng)AE=CF時(shí),四邊形AEFC是平行四邊形,
即t=2t-6,
解得:t=6;
綜上可得:當(dāng)t=2或6s時(shí),以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的判定.此題難度適中,注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方
程思想的應(yīng)用.
二、填空題
3.(2019?上海浦東新區(qū)?八年級(jí)期末)如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,
對(duì)角線AC80,且AC=5&,則梯形ABC。的中位線的長(zhǎng)為.
DC
【答案】5
【解析】
【詳解】
解:過(guò)C作CEI3BD交AB的延長(zhǎng)線于E,
0ABSCD,CE0BD,
回四邊形DBEC是平行四邊形,
EICE=BD,BE=CD
回等腰梯形ABCD中,AC=BD(3CE=AC
HAC0BD,CE0BD,
0CEI3AC
03ACE是等腰直角三角形,
阪=5萬(wàn)
E)AE=&AC=10,
0AB+CD=AB+BE=10,
田梯形的中位線=^AE=5,
2
故答案為:5.
【點(diǎn)睛】
本題考查了梯形的中位線定理,牢記定理是解答本題的重點(diǎn),難點(diǎn)是題目中的輔助線的做法.
三、解答題
4.(2020?浙江溫州市?實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)如圖1,在M8CD中,BD=6,SABC=45。,0DBC
=30。,動(dòng)點(diǎn)E在邊上,CE=y/2x>動(dòng)點(diǎn)F在射線BD上,BF=5x.
(1)若點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn),在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在X的值,使得以P,D,E,
F頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出X的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG0BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)E作交DG的于點(diǎn),
連接FH,把回DHF沿F”翻折得到回DHF,當(dāng)D'F與(3DBG的一邊平行時(shí),HG的長(zhǎng).(直
接寫(xiě)出答案)
【答案】(1)滿足條件的x的值為g或2;(2)滿足條件的GH的值為W或空二^或
【分析】
(1)分兩種情形:如圖1-1中,當(dāng)點(diǎn)F在線段8D上時(shí),即04x41.2時(shí),四邊形PEOF是平
行四邊形,如圖1-2中,當(dāng)點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上時(shí),即x>1.2時(shí),四邊形DPEF是平行四
邊形,分別構(gòu)建方程求解即可.
(2)分三種情形:如圖2-1中,當(dāng)D'FSDG時(shí),如圖2-2中,當(dāng)FD'MC時(shí),設(shè)HD'交BD
于凡如圖2-3中,當(dāng)FD@DG時(shí),四邊形FDHD,是菱形,分別構(gòu)建方程求解即可.
【詳解】
解:(1)如圖1-1中,當(dāng)點(diǎn)F在線段8。上時(shí),即。女。2時(shí),四邊形PEDF是平行四邊形,
圖1?1
過(guò)點(diǎn)E作日既石于J.
由題意,DF=PE=6-5x,CE=6x,
團(tuán)CD,
團(tuán)團(tuán)E0=M8C=45°,
團(tuán)EJ=CJ=x,
0PE3BD,
WEPJ=^DBC=30°f
^PE=2EJ,
06-5x=2x,
6
取=—.
7
如圖1-2中,當(dāng)點(diǎn)F在8。的延長(zhǎng)線上時(shí),即X>1.2時(shí),四邊形DPEF是平行四邊形,
圖1-2
同法可得,DF=PE=2EJ,
05x-6=2x,
取=2,
綜上所述,滿足條件的x的值為g或2.
7
(2)如圖2-1中,當(dāng)D'FSDG時(shí),過(guò)點(diǎn)E作E708G于T.
圖2-1
0I3ECT=45°,EC=6X,0fTC=9O°,
E)ET=CT=x,
0FHI3DG,DG0BG,
00ETG=0EHG=0HGr=9O°,
13四邊形E7GH是矩形,
!3"G=E7=x,
由題意,DF=D'F,D'F回DH,0BDH=6O0,
00D,HG=0FD,H=6O°,
HFD/ZD'H
回四邊形DFD'H是菱形,
I3DF=DH=3-x,
06-5x=3-x,
3
取=—.
4
如圖2-2中,當(dāng)FD何8c時(shí),設(shè)HD咬8D于/?.
回F。'團(tuán)8C,
團(tuán)團(tuán)。午/?=回。8c=30°,
團(tuán)團(tuán)D'=[38DG=60°,
釀DRH=90°,
^DR=-DH=-(3-x).RH=6DR=?(3-x),
22'2
0RD,=D'H-RH=3-x-也-(3-x),
2
國(guó)FR=百D,R=布[3-x-乎(3-x)],
&FR+DF=DR,
0J313-x-?(3-x)]+6-5x=-(3-x),
22
3&3
0nx=---------.
2
如圖2-3中,當(dāng)FD,^DG時(shí),0BDG=6O",
H3DFD'=60°,0HDF=12O",
由折疊可知,DF=D'F,0FD,H=12O°,
0DF//HD,
團(tuán)四邊形FEW。'是菱形,
03-x=5x-6,
3
取=—,
2
綜上所述,滿足條件的GM的值為g或述匚或2.
422
【點(diǎn)睛】
本題考查平行四邊形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、翻折變
化等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是分類討論,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬中考?jí)狠S題
5.(2020?哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)月考)已知,菱形A3CD中,NB=60。,E、P
分別是邊和CD上的點(diǎn),且NE4P=60°.
圖1
(1)求證:BC=EC+CP
(2)如圖2,F在C4延長(zhǎng)線上,且FE=FB,求證:AF=EC
.D
BE-------
圖2
(3)如圖3,在(2)的條件下,AE=6,BE=10,。是EB的中點(diǎn),求。4的長(zhǎng).
AD
HV
BEC
圖3
【答案】〈1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)7
【分析】
(1)連接AC,如圖1,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC,而配=60。,則可判定回ABC為等邊三角形,
得到2BAC=60°,AC=AB,易得I3ACF=6O°,0BAE=0CAF,然后利用ASA可證明ElAEBEBAFC,即
可解答;
(2)過(guò)點(diǎn)F作FH0AB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,利用平行線的性質(zhì)求得E1FHC是等邊三角形,
得到CF=CH=FH,然后利用AAS定理求得回HBFS0CEF,從而問(wèn)題得解;
(3)過(guò)點(diǎn)B作BK團(tuán)FC,交HF于點(diǎn)K,根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊
形,從而求得。4=,AK,FK=16,過(guò)點(diǎn)A作AM回FH,然后利用含30。的直角三角形的性質(zhì)
2
求得MF=1AF=3,AM=J3MF=3有,從而求得KM=13,然后利用勾股定理求解即可.
【詳解】
解:(1)連接AC,如圖1,
13四邊形ABCD為菱形,
0AB=BC,
0sB=60°,
03ABC為等邊三角形,
EBBAC=60°,AC=AB,
00BAE+0EAC=6O°,
0AB0CD,
團(tuán)E1BAC二團(tuán)ACP=60°,
00EAP=6O°,HP0EAC+0CAP=6O°,
豳BAE=E1CAP,
/BAE=/CAP
在團(tuán)AEB和aAPC中,<AB=AC
/B=NACD
能1AEB盟APC,
@BE=CF
?BC=EC+BE=EC+CP;
圖1
(2)過(guò)點(diǎn)F作FH回AB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H
0FH0AB
00H=0CGH=6O°
回回FHC是等邊三角形
0CF=CH=FH
又H3ABC是等邊三角形
0CA=CB
I3AF=BH
乂I3FB=FE
甌FEB=?FEB,即E1FBH=EIFEC
ZFBH=NFEC
在用HBF和?CEF中<NFHB=NFCE
FH=FC
EBHBFaaCEF
0BH=EC
0AF=EC
(3)過(guò)點(diǎn)B作BK0FC,交HF于點(diǎn)K,
[SBKfflFC,FHE1AB
回四邊形KBAF是平行四邊形
回KB=AF=EC=6,OA=-AK
2
I3FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16
過(guò)點(diǎn)A作AM0FH
由(2)可知,ECFH=60°
田在Rt0AMF中,0MAF=3O0
回MF=(AF=3,AM=6用/=36
團(tuán)KM=16-3=13
在Rt0AKM中,AK=yjAM2+MK2=7(3^)2+132=14
0AO=7.
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),及平行四邊形的判定和性質(zhì),
題目有一定的綜合性,正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn).
6.(2020?江西九年級(jí)一模)如圖,反比例函數(shù)y=4(x>0)過(guò)點(diǎn)A(3,4),直線AC與x
x
軸交于點(diǎn)c(6,0),過(guò)點(diǎn)C作X軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B,
(1)求反比例函數(shù)和直線AC的解析式;
(2)求EIABC的面積;
(3)在平面內(nèi)有點(diǎn)D,使得以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)
出符合條件的所有D點(diǎn)的坐標(biāo).
124
【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為:y=一;直線AC的解析式為:y=--x+8:(2)3:(3)
x3
符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是:(3,2)或(3,6)或(9,-2).
【分析】
(1)將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=K求得k的值,然后將A,C坐標(biāo)代入直線解析式解
x
答即可;
(2)把x=6代入反比例函數(shù)解析式求得相應(yīng)的y的值,即得點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而利用三角形
面積公式解答即可;
(3)使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,如圖所示,找出滿足題意D的坐
標(biāo)即可.
【詳解】
k
解:(1)把點(diǎn)A(3,4)代入y=-(x>0),
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