構造平行四邊形問題（解析版）-2021年中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題45構造平行四邊形問題

【規(guī)律總結】

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形.這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊

形一一矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等

的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有

著廣泛的應用。

2.由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對角相等；

⑵平行四邊形對邊相等；

⑶平行四邊形對角線互相平分.

3.除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑶對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

【典例分析】

例1.(2019?上海同濟大學實驗學校八年級月考)如圖，口45。中，點。是8C的中點,

AE=EF=2,CE=5,則履長（）.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】

求BE的長，可轉(zhuǎn)化為6F+EF，EF已知，只需求出BF的長即可，延長AD,使AD=￡>G，

連接BG,CG,判定四邊形ABGC為平行四邊形，在DG上取一點H,使DH=DF，判斷

四邊形BECI為平行四邊形，求證BF=AC即可求解.

【詳解】

延長AD,使A￡)=￡)G，連接BG,CG,

團AD=DG，BD—CD，

團四邊形ABGC為平行四邊形，

0AC=BG，

在DG上取一點H,使DH=DF，連接?！辈⒀娱L交BG于/,

QBD=CD，

回四邊形BECI為平行四邊形，

0AC//BG.

0ZC4G=ZBGF.

0NC4G=ZAFE=ZBFG.

^ZBGA=ZBFG，

(3BF-BG，

^BE^BF+EF^AC+EF=2+5+2^9,

故選：c.

【點睛】

本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等，學會運用輔助

線作圖以及熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等的定理是解答

本題的關鍵.

例2.（2020?浙江寧波市?八年級期中）如圖，已知明8c的面積為24,點。在線段AC上，

點F在線段BC的延長線上，且BF=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面

積是.

【答案】8

【分析】

連接EC,過A作AM回BC交FE的延長線于M,求出平行四邊形ACFM,根據(jù)等底等高的三

角形面積相等得出配DE的面積和I3CDE的面積相等，0ADE的面積和I3AME的面積相等，推出

陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CFxhcF的值即可.

【詳解】

連接DE、EC,過A作AM13BC交FE的延長線于M,

回四邊形CDEF是平行四邊形，

0DEE1CF,EF0CD,

0AM0DE0CF,AC0FM,

團四邊形ACFM是平行四邊形，

02BDE邊DE上的高和E1CDE的邊DE上的高相同，

00BDE的面積和回CDE的面積相等，

同理囪ADE的面積和團AME的面積相等，

即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是!xCFxhcF,

2

00ABC的面積是24,BC=3CF

0—BCXKBC=-x3CFxhcF=24,

22

0CFxhcF=16,

回陰影部分的面積是二*16=8,

2

故答案為：8.

【點睛】

此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，同底等高三角形面積的關系，解題中注意陰影部分面積

的求法，根據(jù)圖形的特點選擇正確的求法是解題的關鍵.

例3.（2020?四川成都市?雙流中學九年級期中）如圖，點P是正方形ABCD中BC延長線

上一點，對角線AC,BD相交于點。，連接AP,分別交BD,CD于點E,E,過點3作AP

的垂線，垂足為點G,交線段AC于〃.

（1）若/尸=20°，求NGBE的大小.

（2）求證：AE。=EF0EP.

（3）若正方形A8CD的邊長為1,CP=\,求HG的長.

【答案】（1）25。；（2）證明見詳解；（3）逝

15

【分析】

（1）由正方形性質(zhì)得到團DBP的度數(shù)，利用外角性質(zhì)得到mGEB的度數(shù)，再由直角三角形兩

銳角互余，即可得到I3GBE的度數(shù)；

（2）連接CE,證I3ECF與①EPC,可得EC的平方與EF和EP的關系，再根據(jù)正方形性質(zhì)得到

EA=EC,即可得到結論;

（3）利用三角函數(shù)值求出DM的長，再利用I3ABG和I3ABP相似求出AG長，證明四邊形ACPD

是平行四邊形可得團DPA與團GAH相等，則它們的三角函數(shù)值相等，通過回GAH的正切值即可

得到HG的長；

【詳解】

（1）回四邊形ABCO是正方形，AC是正方形的對角線，

0ZACB=45°,ZDBC=45°,

0NGEB=NP+ZDBC,NP=20°中,

團NGE3=20°+45°=65°，

BBG±AP，

0NGBE=90°-NGEB=90°-65°=25°；

(2)如圖所示，連接EC,

回四邊形ABC￡＞是正方形,

回A,C關于80對稱，即4CB=NACE)=45°，

(3EA-EC,

0ZE4C-ZEC4,

0^LACB=NP+^CAE=4ECF+NLECA=45°,

回N反獷=/尸，

又回ACEF=APEC,

0AC￡FEIAPEC,

ECEF

0----

PEEC

0EC2-EFDEP.

團EA2=EF^EP；

（3）回正方形的邊長為1,

SAB=BC=\,又回。=1,

回3P=2，

回AF=+B產(chǎn)=也,

&BG±AP,

0^ABG+N3AG=乙BPG+403=90°，

^ZAPB^ZABG,

/“CDABAG即*=AG

團sinNAPB=-----

AP~AB1

0AG=—，

5

連接。P，

0AE>/JCP,

回四邊形ACPO為平行四邊形，

0ZC4P=ZAPD,過。點作ZWLAPJM，

1_V5

0DM=ADsinADAP=AEOinAAPB=1x

DP=ylCD2+CP2=-Ji'

正

5=1

團tanNDPM=

PMH3

團tanNCA尸=—

3

HG

0--------

AG3

0//G=1AG=-X^=^,即HG的長為好.

3351515

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)和判定

等知識點，正確添加輔助線，確定相似三角形是解題的關鍵.

【好題演練】

一、單選題

1.(2020?寧夏中考真題)如圖，菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24,點E、F分別

是邊CO、8C的中點，連接EE并延長與A3的延長線相交于點G,則EG=()

A.13B.10C.12D.5

【答案】B

【分析】

連接對角線BD,交AC于點0,求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD,利用勾股定理求

出0D的長，BD=20D,即可求出EG.

【詳解】

連接BD,交AC于點0,

由題意知：菱形ABCD的邊長為13,點E、F分別是邊CD、BC的中點，

0AB=BC=CD=DA=13,EF//BD,

0AC.BD是菱形的對角線，AC=24,

0AC0BD,A0=C0=12,0B=0D,

X0AB//CD,EF//BD

0DE//BG,BD//EG

在四邊形BDEG中，

0DE//BG,BD//EG

團四邊形BDEG是平行四邊形

0BD=EG

在I3C0D中，

0OCI3OD,CD=13,C0=12

0OD=OB=5

0BD=EG=1O

故選B.

DE

ABG

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的

性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵.

2.（2020?眉山市東坡區(qū)東坡中學八年級期中）在等邊三角形ABC中，BC=6cm,射線AG//BC,

點E從點A出發(fā),沿射線AG以lcm/s的速度運動,同時點F從點B出發(fā),沿射線BC以2cm/s

的速度運動，設運動時間為t,當1為（）s時，以A,F,C,E為頂點的四邊形是平行四邊

形？（）

【答案】D

【分析】

分別從當點F在C的左側(cè)時與當點F在C的右側(cè)時去分析，由當AE=CF時，以A、C、E、F

為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案.

【詳解】

①當點F在C的左側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=tcm,BF=2tcm,

則CF=BC-BF=6-2t（cm）,

0AG0BC,

回當AE=CF時，四邊形AECF是平行四邊形,

即t=6-2t,

解得：t=2；

②當點F在C的右側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=tcm,BF=2tcm,

則CF=BF-BC=2t-6(cm),

0AG0BC,

回當AE=CF時，四邊形AEFC是平行四邊形,

即t=2t-6,

解得：t=6；

綜上可得：當t=2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形.

故選D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定.此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結合思想與方

程思想的應用.

二、填空題

3.(2019?上海浦東新區(qū)?八年級期末)如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC,

對角線AC80,且AC=5&，則梯形ABC。的中位線的長為.

DC

【答案】5

【解析】

【詳解】

解：過C作CEI3BD交AB的延長線于E,

0ABSCD,CE0BD,

回四邊形DBEC是平行四邊形，

EICE=BD,BE=CD

回等腰梯形ABCD中，AC=BD（3CE=AC

HAC0BD,CE0BD,

0CEI3AC

03ACE是等腰直角三角形，

阪=5萬

E）AE=&AC=10,

0AB+CD=AB+BE=10,

田梯形的中位線=^AE=5,

2

故答案為：5.

【點睛】

本題考查了梯形的中位線定理,牢記定理是解答本題的重點，難點是題目中的輔助線的做法.

三、解答題

4.（2020?浙江溫州市?實驗中學八年級期中）如圖1,在M8CD中，BD=6,SABC=45。，0DBC

=30。，動點E在邊上，CE=y/2x>動點F在射線BD上，BF=5x.

（1）若點P是BC邊上一點，在點E,F運動過程中，是否存在X的值，使得以P,D,E,

F頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出X的值；若不存在，請說明理由.

（2）如圖2,過點D作DG0BC交BC的延長線于點G.過點E作交DG的于點，

連接FH,把回DHF沿F”翻折得到回DHF,當D'F與（3DBG的一邊平行時，HG的長.（直

接寫出答案）

【答案】（1）滿足條件的x的值為g或2；（2）滿足條件的GH的值為W或空二^或

【分析】

（1）分兩種情形：如圖1-1中，當點F在線段8D上時，即04x41.2時，四邊形PEOF是平

行四邊形，如圖1-2中，當點F在BD的延長線上時，即x>1.2時，四邊形DPEF是平行四

邊形，分別構建方程求解即可.

（2）分三種情形：如圖2-1中，當D'FSDG時，如圖2-2中，當FD'MC時，設HD'交BD

于凡如圖2-3中，當FD@DG時，四邊形FDHD，是菱形，分別構建方程求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖1-1中，當點F在線段8。上時，即。女。2時，四邊形PEDF是平行四邊形,

圖1?1

過點E作日既石于J.

由題意，DF=PE=6-5x,CE=6x,

團CD,

團團E0=M8C=45°,

團EJ=CJ=x,

0PE3BD,

WEPJ=^DBC=30°f

^PE=2EJ,

06-5x=2x,

6

取=—.

7

如圖1-2中，當點F在8。的延長線上時，即X>1.2時，四邊形DPEF是平行四邊形,

圖1-2

同法可得，DF=PE=2EJ,

05x-6=2x,

取=2,

綜上所述，滿足條件的x的值為g或2.

7

(2)如圖2-1中，當D'FSDG時，過點E作E708G于T.

圖2-1

0I3ECT=45°,EC=6X,0fTC=9O°,

E)ET=CT=x,

0FHI3DG,DG0BG,

00ETG=0EHG=0HGr=9O°,

13四邊形E7GH是矩形,

!3"G=E7=x,

由題意，DF=D'F,D'F回DH,0BDH=6O0,

00D,HG=0FD,H=6O°,

HFD/ZD'H

回四邊形DFD'H是菱形，

I3DF=DH=3-x,

06-5x=3-x,

3

取=—.

4

如圖2-2中，當FD何8c時，設HD咬8D于/?.

回F。'團8C,

團團。午/?=回。8c=30°,

團團D'=[38DG=60°,

釀DRH=90°,

^DR=-DH=-(3-x).RH=6DR=?(3-x),

22'2

0RD，=D'H-RH=3-x-也-(3-x),

2

國FR=百D，R=布[3-x-乎(3-x)],

&FR+DF=DR,

0J313-x-?(3-x)]+6-5x=-(3-x),

22

3&3

0nx=---------.

2

如圖2-3中,當FD,^DG時，0BDG=6O",

H3DFD'=60°,0HDF=12O",

由折疊可知，DF=D'F,0FD,H=12O°,

0DF//HD,

團四邊形FEW。'是菱形，

03-x=5x-6,

3

取=—，

2

綜上所述，滿足條件的GM的值為g或述匚或2.

422

【點睛】

本題考查平行四邊形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、翻折變

化等知識點，解題的關鍵是分類討論，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬中考壓軸題

5.(2020?哈爾濱市第十七中學校八年級月考)已知，菱形A3CD中，NB=60。，E、P

分別是邊和CD上的點，且NE4P=60°.

圖1

(1)求證：BC=EC+CP

(2)如圖2,F在C4延長線上，且FE=FB,求證：AF=EC

.D

BE-------

圖2

(3)如圖3,在(2)的條件下，AE=6,BE=10,。是EB的中點，求。4的長.

AD

HV

BEC

圖3

【答案】〈1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7

【分析】

（1）連接AC,如圖1,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC,而配=60。，則可判定回ABC為等邊三角形，

得到2BAC=60°,AC=AB,易得I3ACF=6O°,0BAE=0CAF,然后利用ASA可證明ElAEBEBAFC,即

可解答；

（2）過點F作FH0AB,交CB的延長線于點H,利用平行線的性質(zhì)求得E1FHC是等邊三角形，

得到CF=CH=FH,然后利用AAS定理求得回HBFS0CEF,從而問題得解；

（3）過點B作BK團FC,交HF于點K,根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊

形，從而求得。4=，AK,FK=16,過點A作AM回FH,然后利用含30。的直角三角形的性質(zhì)

2

求得MF=1AF=3,AM=J3MF=3有，從而求得KM=13,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：（1）連接AC,如圖1,

13四邊形ABCD為菱形，

0AB=BC,

0sB=60°,

03ABC為等邊三角形，

EBBAC=60°,AC=AB,

00BAE+0EAC=6O°,

0AB0CD,

團E1BAC二團ACP=60°,

00EAP=6O°,HP0EAC+0CAP=6O°,

豳BAE=E1CAP,

/BAE=/CAP

在團AEB和aAPC中，＜AB=AC

/B=NACD

能1AEB盟APC,

@BE=CF

?BC=EC+BE=EC+CP；

圖1

（2）過點F作FH回AB,交CB的延長線于點H

0FH0AB

00H=0CGH=6O°

回回FHC是等邊三角形

0CF=CH=FH

又H3ABC是等邊三角形

0CA=CB

I3AF=BH

乂I3FB=FE

甌FEB=?FEB,即E1FBH=EIFEC

ZFBH=NFEC

在用HBF和?CEF中<NFHB=NFCE

FH=FC

EBHBFaaCEF

0BH=EC

0AF=EC

（3）過點B作BK0FC,交HF于點K,

[SBKfflFC,FHE1AB

回四邊形KBAF是平行四邊形

回KB=AF=EC=6,OA=-AK

2

I3FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16

過點A作AM0FH

由(2)可知,ECFH=60°

田在Rt0AMF中,0MAF=3O0

回MF=(AF=3,AM=6用/=36

團KM=16-3=13

在Rt0AKM中，AK=yjAM2+MK2=7(3^)2+132=14

0AO=7.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，

題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關鍵的突破點.

6.(2020?江西九年級一模)如圖，反比例函數(shù)y=4(x>0)過點A(3,4),直線AC與x

x

軸交于點c(6,0),過點C作X軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點B,

(1)求反比例函數(shù)和直線AC的解析式；

(2)求EIABC的面積；

(3)在平面內(nèi)有點D,使得以A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫

出符合條件的所有D點的坐標.

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【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為：y=一；直線AC的解析式為：y=--x+8：(2)3：(3)

x3

符合條件的點D的坐標是：(3,2)或(3,6)或(9,-2).

【分析】

(1)將A點的坐標代入反比例函數(shù)y=K求得k的值，然后將A,C坐標代入直線解析式解

x

答即可；

(2)把x=6代入反比例函數(shù)解析式求得相應的y的值，即得點B的坐標，進而利用三角形

面積公式解答即可；

(3)使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意D的坐

標即可.

【詳解】

k

解：(1)把點A(3,4)代入y=-(x>0),