199勾股定理（第3課時）（作業(yè)）

19.9勾股定理（第3課時）（作業(yè)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)可直接進行求解．【詳解】解：A、，所以不是勾股數(shù)，故符合題意；B、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；C、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；D、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上海市洋涇菊園實驗學(xué)校八年級期末）用下列幾組邊長構(gòu)成的三角形中哪一組不是直角三角形（）A．8，15，17 B．6，8，10 C． D．【答案】C【分析】由題意根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形進行分析即可．【詳解】解：A、∵82+152=172，∴此三角形為直角三角形，故選項錯誤；B、∵，∴此三角形是直角三角形，故選項錯誤；C、∵，∴此三角形不是直角三角形，故選項正確；D、∵，∴此三角形為直角三角形，故選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，注意掌握在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系．3．（2019·上海市建平中學(xué)西校八年級階段練習(xí)）已知a、b、c分別是△ABC的三邊,根據(jù)下列條件能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=8,b=13,c=11 B．a(chǎn)=6,b=10,c=12C．a(chǎn)=40,b=4l,c=9 D．a(chǎn)=24,b=9,c=25【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要滿足兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方，即為直角三角形.【詳解】A.a=8,b=13,c=11，因為，所以不能判定△ABC為直角三角形；B.a=6,b=10,c=12，因為，所以不能判定△ABC為直角三角形；C.a=40,b=4l,c=9，因為，所以可以判定△ABC為直角三角形；D.a=24,b=9,c=25，因為，所以不能判定△ABC為直角三角形；故選C.【點睛】本題考查直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.4．（2020·上海浦東新·八年級期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，則該三角形為（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故選B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．5．（2019·上海市進才中學(xué)北校八年級階段練習(xí)）以下列各組數(shù)為邊長的三角形中，能夠構(gòu)成直角三角形的是（

）A．32,42,52； B．2，，；C．； D．，，【答案】C【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形．最長邊所對的角為直角．由此判定即可．【詳解】A.

因為(32)2+(42)2≠(52)2所以三條線段不能組成直角三角形；B.

因為22+()2≠()2，所以三條線段不能組成直角三角形；C.

因為(1)2+()2=()2，所以三條線段能組成直角三角形；D.

因為()2+()2≠()2，所以三條線段不能組成直角三角形；故選C.【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理.6．（2022·上海徐匯·八年級期末）滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為3：4：5 B．三邊長的平方之比為1：2：3C．三邊長之比為7：24：25 D．三內(nèi)角之比為1：2：3【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和可直接進行排除選項．【詳解】解：A、由三內(nèi)角之比為3：4：5可設(shè)這個三角形的三個內(nèi)角分別為，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，所以，所以這個三角形的最大角為5×15°=75°，故不是直角三角形，符合題意；B、由三邊長的平方之比為1：2：3可知該三角形滿足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，故不符合題意；C、由三邊長之比為7：24：25可設(shè)這個三角形的三邊長分別為，則有，所以是直角三角形，故不符合題意；D、由三內(nèi)角之比為1：2：3可設(shè)這個三角形的三個內(nèi)角分別為，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，所以，所以這個三角形的最大角為3×30°=90°，是直角三角形，故不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和，熟練掌握勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在下列四個條件：①，②，③，④中，能確定是直角三角形的條件有（

）．A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】利用勾股定理逆定理即可知①能確定是直角三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，可求出②③④中分別有一個角等于，所以②③④也能確定是直角三角形．【詳解】①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能確定．②．∵，即，∴．∴是直角三角形，故②能確定．③．∵，，∴，即．∴是直角三角形，故③能確定．④．，設(shè)，則，，∵，即，解得，∴，∴是直角三角形，故④能確定．故選：D．【點睛】本題考查直角三角形的判定，根據(jù)勾股定理逆定理和利用三角形內(nèi)角和等于來求出其中一個角為即判定該三角形為直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·上海市南匯第四中學(xué)八年級期末）在中，，，，AD平分交BC于點D，那么點D到AB的距離是（

）A．4.8 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】如圖，過作于，先證明：再證明：，再利用面積比證明：，再求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過作于，AD平分，故選：【點睛】本題考查的是勾股定理逆定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，則∠BAC+∠CDE＝___度．【答案】【分析】連接、，根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】解：連接、，如下圖：由勾股定理得，，，，，∵，，∴，，∴為等腰直角三角形，為直角三角形，∴∴故答案為：【點睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．10．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點，和，那么的形狀是______．【答案】等腰直角三角形．【分析】根據(jù)題意作出，然后根據(jù)圖形，得到,，可判斷的形狀．【詳解】解：∵各點坐標(biāo)分別是，和，根據(jù)題意，如下圖所示則：，，，∴，，∴的形狀是等腰直角三角形，故答案是：等腰直角三角形．【點睛】本題考查的是勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2017·上海市中國中學(xué)八年級階段練習(xí)）若一個三角形的三邊長分別為5，12，13，則此三角形的最長邊上的高為_____．【答案】【分析】首先根據(jù)三角形的三邊長證明三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的面積公式計算出斜邊上的高即可．【詳解】∵，∴此三角形是直角三角形，設(shè)最長邊上的高為h，由三角形面積得：，解得：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面積計算，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．三、解答題12．（2021·上海虹口·八年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為邊作正方形，面積分別記作S1、S2、S3．求證：S1+S2＝S3．【答案】見解析【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根據(jù)S1，S2分別表示正方形面積，求出S1+S2的值即可．【詳解】證明：由題意得S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，則由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，S1+S2＝S3．【點睛】本題考查的是與勾股定理相關(guān)的圖形面積問題，掌握“勾股定理”是解本題的關(guān)鍵.13．（2019·上海市建平中學(xué)西校八年級階段練習(xí)）在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB=12，BC=13，CD=3，AD=4，求S四邊形ABCD【答案】S四邊形ABCD=36【分析】連接AC，由勾股定理可求出AC=5，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC為直角三角形，即可求面積.【詳解】解：連接AC，在Rt△ACD中，，∵AB=12，BC=13，∴∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=【點睛】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，連接AC，判定△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵.14．（2018·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求這塊草坪的面積．【答案】這塊草坪的面積是36m2【分析】連接AC，由∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm可知AC=5cm；由AC、AD、CD的長可判斷出△ACD是直角三角形，根據(jù)兩三角形的面積可求出草坪的面積．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m，在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m，∴AC2+DC2=169，AD2=169，∴AC2+DC2=AD2即∠ACD=90°，∴四邊形的面積=SRt△ABC+SRt△ADC===36（m2）；答：這塊草坪的面積是36m2．【點睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·上海浦東新·八年級期末）下列三個數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形的是（

）A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，若兩條短邊的平方和等于最長邊的平方，那么就能夠成直角三角形來判斷．【詳解】解：A、32＋32＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意；B、42＋（）2＝82，能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；C、62＋82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意；D、52＋52≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．2．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）下列四組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【詳解】解：，，，∵，且，∴為三角形的三邊可以構(gòu)成直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確進行計算，熟練運用勾股定理逆定理進行判斷．3．（2021·上海市南匯第四中學(xué)八年級期末）在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，下列條件中不能說明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的定義和勾股定理逆定理逐項判斷即可．【詳解】A．，即，根據(jù)勾股定理逆定理可知是直角三角形，故A不符合題意．B．根據(jù)三角形內(nèi)角和與，得出，即，所以是直角三角形，故B不符合題意．C．設(shè)，則，，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即，解得，即、、．所以不是直角三角形，故C符合題意．D．設(shè)，則，，由可知，根據(jù)勾股定理逆定理可知是直角三角形，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判斷是否為直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，則∠DAB的度數(shù)是______°．【答案】135°【分析】由已知可得AB=BC，從而可求得∠BAC的度數(shù).設(shè)AB＝2x，通過計算證明AC2+AD2=CD2，從而證得ΔACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，從而求得∠DAB的度數(shù)．【詳解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴設(shè)AB＝2x，則BC＝2x，CD=3x，DA=x,∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2又CD2AD2=(3x)2x2=8x2∴AC2=CD2AD2∵AC2+AD2=CD2∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故答案是：135°.【點睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理及逆定理的理解和運用能力，正確得出∠DAC=90°是解題關(guān)鍵．5．（2022·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點D是BC的中點，如果將△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，那么CE的長等于________.【答案】【分析】連接CE，延長AD交CE于點F，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，所以可求得△ABC的面積；因點D是BC的中點，所以，，然后可求得AD邊上的高CF；根據(jù)翻折得到的軸對稱圖形的性質(zhì)可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的長．【詳解】將△ACD沿AD翻折后，得到圖形如圖所示，連接CE，延長AD交CE于點F，0在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即,∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵點D是BC的中點，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF為△ACD的AD邊上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)等知識，能夠根據(jù)勾股定理逆定理判定出直角三角形并根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四邊形ABCD的面積是___________．【答案】+24【分析】連結(jié)BD，然后根據(jù)勾股定理求得BD的值和△BAD的面積，再根據(jù)勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面積，從而得到四邊形ABCD的面積．【詳解】解：如圖，連結(jié)BD，∵∠BAD=90°，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴S△ABD=，S△BDC=，∴四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【點睛】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎粋€三角形三邊的長分別為，則這個三角形的面積是_________________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷這是一個直角三角形，再結(jié)合面積公式求解．【詳解】解：∵，，∴，∴該三角形為直角三角形，∴其面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法則，熟練掌握勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中，，，，．求此綠地的面積．【答案】234【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求出的長，再由勾股定理的逆定理判定為直角三角形，則四邊形的面積直角的面積直角的面積．【詳解】解：連接如圖所示：，，，；在中，，，，，即，是直角三角形．；即綠地的面積為234．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識，通過勾股定理的逆定理由邊與邊的關(guān)系可證明直角三角形，正確分割四邊形的面積是解題關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，試求∠A的度數(shù)．【答案】135°.【詳解】解：連接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，∴AC＝，且∠CAB＝45°，又∵AD＝1，CD＝3，∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠CAD＝90°，∴∠A＝∠CAD＋∠CAB＝135°．10．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知直線與雙曲線在第一象限交于點，且點的橫坐標(biāo)為4，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；（2）若點的縱坐標(biāo)為8，試判斷形狀，并說明理由.【答案】（1）；（2）直角三角形，理由見解析.【分析】（1）將A點橫坐標(biāo)x=4代入中，得A點縱坐標(biāo)y=2，可知點A的坐標(biāo)為（4，2），再將A（4，2）代入求k即可；（2）點B在雙曲線上，將y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根據(jù)兩點間距離公式分別求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理證明△OAB是直角三角形．【詳解】解：（1）將x=4代入，得y=2，∴點A的坐標(biāo)為（4，2），將A（4，2）代入，得k=8，∴（2）△OAB是直角三角形．理由：y=8代入中，得x=1，∴B點的坐標(biāo)為（1，8），又A（4，2），O（0，0），由兩點間距離公式得OA＝2，AB＝3，OB＝，∵OA2+AB2=20+45=65=OB2，∴△OAB是直角三角形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)求法，反比例函數(shù)關(guān)系式的求法，直角三角形的判定．關(guān)鍵是利用交點坐標(biāo)將問題過渡．11．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（點A與點不重合）（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見詳解；（2）234【分析】（1）作BD的中垂線MN，作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′D、A′B，則△A′BD即為所求；（2）由（1）中作圖得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如圖2，連接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，證得∠A′BC=90°，根據(jù)勾股定理得到A′C=25，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖1所示，△A′BD即為所求；（2）由（1）中作圖得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，連接A′C，如圖2，∵∠ADB+∠CBD=90°，∴∠A′BD+∠CBD=90°，即∠A′BC=90°，∴A′B2+BC2=A′C