海南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

海南省2023—2024學(xué)年高一年級學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦千凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量與共線，則實(shí)數(shù)（）A.8 B.6 C.2 D.12.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知，且，則（）A. B. C. D.4.習(xí)近平總書記提出的總體國家安全觀強(qiáng)調(diào)“大安全”理念，在總體國家安全觀提出十周年之際，某校為調(diào)查學(xué)生對總體國家安全觀的了解情況，從高一?高二?高三的學(xué)生中按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生，若從高一?高二?高三抽取的學(xué)生人數(shù)分別為，已知該校高中生共有1600人，高一學(xué)生有600人，則（）A60 B.50 C.40 D.305.海南椰雕不僅僅是一門傳統(tǒng)手藝，更是一段傳承千年的文化史.圖（1）是一個椰雕工藝臺燈，其燈罩的幾何模型如圖（2）所示，相當(dāng)于球被一個平面截得的一部分，若是截面圓的直徑，，圓的面積為，則球的體積為（）A. B. C. D.6.從分別寫有的張卡片中隨機(jī)一次取出張，設(shè)事件為“寫有的卡片被取出”，為“寫有的卡片被取出”，為“取出的卡片上的數(shù)都大于”，為“取出的卡片上的數(shù)之和小于”，則（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則（）A. B. C.1 D.8.如圖，正六邊形的邊長為1，點(diǎn)為其中心，點(diǎn)在邊和（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，則的取值范圍是（）A B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，其中，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為3 B.平均數(shù)小于1C.中位數(shù)大于 D.分位數(shù)為210.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.11.在長方體中，為棱上的動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），則下列說法中正確的是（）A.若為棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為B.四面體不可能是正三棱錐C.若點(diǎn)沿向量的方向運(yùn)動，則點(diǎn)到平面的距離逐漸增大D.若點(diǎn)在平面上的射影為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.小李在網(wǎng)上買了一本書和一件衣服，由于強(qiáng)降雨天氣影響了快遞運(yùn)輸，書按時(shí)送達(dá)的概率為，衣服按時(shí)送達(dá)的概率為，且書和衣服的快遞運(yùn)輸互不影響，則小明買的書和衣服都能按時(shí)送達(dá)的概率為__________.13.如圖，甲?乙兩同學(xué)在假期旅游期間測量了法國埃菲爾鐵塔的高度（為塔頂，為在地面上的射影），甲在地面上的點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，乙在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為米，且點(diǎn)在一條直線上，若甲?乙兩同學(xué)的身高忽略不計(jì)，則塔高_(dá)_________米.14.已知四面體的體積為和的面積分別為和，棱的長為，若二面角的大小為，且，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在圓柱中，是一條母線，是圓的一條直徑.（1）證明：；（2）若與平面所成的角為，求圓柱的表面積.16.第七屆全國青少年人工智能創(chuàng)新挑戰(zhàn)賽于2024年4月至8月舉行，賽程分為選拔賽和全國決賽兩個階段，其中一個項(xiàng)目的選拔賽需要選手操控智能機(jī)器人完成規(guī)則限定的任務(wù).隨機(jī)抽取參加該選拔賽的200名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)其完成任務(wù)的時(shí)長（單位：），將時(shí)長分為六組，并畫出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；（2）若規(guī)定選拔賽中完成任務(wù)的時(shí)長從小到大排名前的學(xué)生可以晉級全國決賽，試估計(jì)晉級全國決賽的學(xué)生在選拔賽中完成任務(wù)的最大時(shí)長；（3）已知同班甲?乙?丙?丁?戊參加了該選拔賽，最終只有甲?乙晉級全國決賽，若從這5人中任意抽取2人，求抽取的2人中至少有1人晉級全國決賽的概率.17.如圖，在四棱錐中，平面，且分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，，判斷幾何體是什么幾何體，并求其體積.18.記內(nèi)角的對邊分別為，如圖，已知，點(diǎn)在邊上，.（1）求；（2）若，求線段的長.19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.海南省2023—2024學(xué)年高一年級學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦千凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量與共線，則實(shí)數(shù)（）A.8 B.6 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】CC【解析】【分析】計(jì)算得到，再根據(jù)定義判斷即可.【詳解】由知，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)，在第三象限.故選：C.3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由的范圍及，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出，再用誘導(dǎo)公式得出即可求值．詳解】解：，，，故選：D．4.習(xí)近平總書記提出的總體國家安全觀強(qiáng)調(diào)“大安全”理念，在總體國家安全觀提出十周年之際，某校為調(diào)查學(xué)生對總體國家安全觀的了解情況，從高一?高二?高三的學(xué)生中按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生，若從高一?高二?高三抽取的學(xué)生人數(shù)分別為，已知該校高中生共有1600人，高一學(xué)生有600人，則（）A.60 B.50 C.40 D.30【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，解得.故選：A5.海南椰雕不僅僅是一門傳統(tǒng)手藝，更是一段傳承千年的文化史.圖（1）是一個椰雕工藝臺燈，其燈罩的幾何模型如圖（2）所示，相當(dāng)于球被一個平面截得的一部分，若是截面圓的直徑，，圓的面積為，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的半徑，進(jìn)而求出球半徑即可得解.【詳解】由圓的面積為，得圓的半徑，又等腰的頂角，則球半徑（），所以球的體積（）故選：C6.從分別寫有的張卡片中隨機(jī)一次取出張，設(shè)事件為“寫有的卡片被取出”，為“寫有的卡片被取出”，為“取出的卡片上的數(shù)都大于”，為“取出的卡片上的數(shù)之和小于”，則（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，給出即可作為反例；對于B，給出即可作為反例；對于C，給出即可作為反例；對于D，論證發(fā)生等價(jià)于發(fā)生即可.【詳解】對于A，由于當(dāng)同時(shí)取出時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件，故A錯誤；對于B，由于當(dāng)同時(shí)取出時(shí)，與都不發(fā)生，所以它們不是對立事件，故B錯誤；對于C，由于當(dāng)同時(shí)取出時(shí)，發(fā)生，不發(fā)生，所以它們不相等，故C錯誤；對于D，由于發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)取出的卡片至少有一張是非正數(shù)，即至少有一個發(fā)生，故，故D正確.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及，得出，建立的等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在區(qū)間上單調(diào)，且，，，不妨?。?，解得：符合題意，故，故選：B．8.如圖，正六邊形的邊長為1，點(diǎn)為其中心，點(diǎn)在邊和（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形和三角形法則，得，再由數(shù)量積的定義可知，的最值.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意得，，設(shè)與的夾角為，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取得最小值為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取得最大值為，所以的取值范圍是.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)，其中，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為3 B.平均數(shù)小于1C.中位數(shù)大于 D.分位數(shù)為2【答案】AD【解析】【分析】利用極差，平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)的求解方法結(jié)合依次求解出來，即可判斷．【詳解】解：，極差為：，故A正確，符合題意；，，故平均數(shù)大于1，故B錯誤，不符合題意；將從小到大排列好的：，中位數(shù)為：，故C錯誤，不符合題意；，故分位數(shù)，故D正確，符合題意；故選：AD．10.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，舉例判斷，對于B，令，則表示出，再計(jì)算判斷，對于C，由求出判斷即可，對于D，令，，分別計(jì)算左右兩邊進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，若，則，而，所以A錯誤，對于B，令，則，所以，所以B正確，對于C，由，得，所以或，所以C錯誤，對于D，令，，則，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：BD11.在長方體中，為棱上的動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），則下列說法中正確的是（）A.若為棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為B.四面體不可能是正三棱錐C.若點(diǎn)沿向量的方向運(yùn)動，則點(diǎn)到平面的距離逐漸增大D.若點(diǎn)在平面上的射影為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】分別取的中點(diǎn)可得正方體與四面體有相同的外接球，求出正方體的體對角線可判斷A；根據(jù)，互相垂直，可判斷B；根據(jù)平面平面，平面可判斷C；由與重合，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，由余弦定理可判斷D.【詳解】對于A，分別取的中點(diǎn)，連接，可得為正方體，所以正方體與四面體有相同的外接球，且外接球的半徑為，則四面體的外接球的表面積為，故A正確；對于B，若為棱的中點(diǎn)，則，連接，且互相垂直，，，，所以，則四面體是正三棱錐，故B錯誤；對于C，連接，可得，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)到平面的距離逐漸增大，則點(diǎn)到平面的距離逐漸增大，故C正確；對于D，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，若點(diǎn)在平面上的射影為線段的中點(diǎn)，則與重合，連接，可得，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，因?yàn)?，，由余弦定理得，則異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.小李在網(wǎng)上買了一本書和一件衣服，由于強(qiáng)降雨天氣影響了快遞運(yùn)輸，書按時(shí)送達(dá)的概率為，衣服按時(shí)送達(dá)的概率為，且書和衣服的快遞運(yùn)輸互不影響，則小明買的書和衣服都能按時(shí)送達(dá)的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式知小明買的書和衣服都能按時(shí)送達(dá)的概率為.故答案為：.13.如圖，甲?乙兩同學(xué)在假期旅游期間測量了法國埃菲爾鐵塔的高度（為塔頂，為在地面上的射影），甲在地面上的點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，乙在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為米，且點(diǎn)在一條直線上，若甲?乙兩同學(xué)的身高忽略不計(jì)，則塔高_(dá)_________米.【答案】330【解析】【分析】由題意可知，然后在中利用銳角三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得,所以，所以，所以，在中，，所以（米）故答案為：33014.已知四面體的體積為和的面積分別為和，棱的長為，若二面角的大小為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)三棱錐的高為，由棱錐的體積公式求出，再結(jié)合，即可求出答案.【詳解】設(shè)三棱錐的高為，則，所以，設(shè)的邊上的高為，則，所以，二面角的大小為，所以，又，所以．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在圓柱中，是一條母線，是圓的一條直徑.（1）證明：；（2）若與平面所成的角為，求圓柱的表面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過母線的概念，直徑對應(yīng)的圓周角為角得出線線垂直，進(jìn)一步證明線面垂直，再得到線線垂直；（2）先利用勾股定理求出圓的直徑，再根據(jù)線面角的定義得出，再利用三角函數(shù)求出，最后直接利用圓柱的表面積公式求解即可.【小問1詳解】是一條母線，是圓的一條直徑，，，又平面，平面，平面，；【小問2詳解】，設(shè)圓的半徑為，，與平面所成的角為，，，圓柱的表面積為：.16.第七屆全國青少年人工智能創(chuàng)新挑戰(zhàn)賽于2024年4月至8月舉行，賽程分為選拔賽和全國決賽兩個階段，其中一個項(xiàng)目的選拔賽需要選手操控智能機(jī)器人完成規(guī)則限定的任務(wù).隨機(jī)抽取參加該選拔賽的200名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)其完成任務(wù)的時(shí)長（單位：），將時(shí)長分為六組，并畫出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；（2）若規(guī)定選拔賽中完成任務(wù)的時(shí)長從小到大排名前的學(xué)生可以晉級全國決賽，試估計(jì)晉級全國決賽的學(xué)生在選拔賽中完成任務(wù)的最大時(shí)長；（3）已知同班的甲?乙?丙?丁?戊參加了該選拔賽，最終只有甲?乙晉級全國決賽，若從這5人中任意抽取2人，求抽取的2人中至少有1人晉級全國決賽的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程可求出；（2）先判斷分位數(shù)的位置，然后列方程求解即可；（3）列出從這5人中任意抽取2人，再找出至少有一人晉級全國決賽的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.【小問1詳解】由圖可知，解得；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知的頻率為，的頻率為，所以樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以估計(jì)晉級全國決賽的學(xué)生在選拔賽中完成任務(wù)的最大時(shí)長為；【小問3詳解】從這5人中任意抽取2人，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共有10種情況，其中抽取的2中至少有1人晉級全國決賽有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，有7種情況，所以所求概率為.17.如圖，在四棱錐中，平面，且分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，，判斷幾何體是什么幾何體，并求其體積.【答案】（1）證明見解析（2）幾何體是棱臺，其體積為【解析】【分析】（1）只需通過證明四邊形是平行四邊形，得出，再結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）只需通過線面平行、面面平行的判定定理證明平面平面，即可得出幾何體是棱臺，只需算出兩個底面邊長的相似比，以及其中一個底面的面積即可得出兩個底面的面積，再計(jì)算出棱臺的高即可求解.【小問1詳解】如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；【小?詳解】因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn).所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面平面，所以幾何體是棱臺，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，由以上分析可知四邊形與四邊形相似，且相似比，而為等邊三角形，，設(shè)棱臺的高、體積分別為，棱臺的下底面、上底面的面積分別為，所以，棱臺的下底面是分別以為底，以為高的直角梯形，所以，所以，即棱臺的體積為.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，如圖，已知，點(diǎn)在邊上，.（1）求；（2）若，求線段的長.【答案】（1）