《空間向量與立體幾何》知識要點整合復習課件

北師大版同步教材精品課件《空間向量與立體幾何》知識要點整合知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量,那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)l∥m或l與m重合l∥m或或與重合l⊥ml⊥m知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)若點P是直線l外一點,是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為點P到平面α的距離,等于點P與平面α內(nèi)任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量方向上所作投影向量的長度,即知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識要點整合一、空間向量及其運算空間向量及其運算的知識和方法與平面向量及其運算類似,是平面向量的拓展.主要考查空間向量的共線、共面以及數(shù)量積運算,是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ).常見內(nèi)容如下:(1)空間向量的線性運算,主要包括向量的加法、減法和數(shù)乘運算;(2)空間向量基本定理主要用來解決三點共線、四點共面問題;(3)空間向量的數(shù)量積可用來解決立體幾何中的夾角、長度、垂直等問題.例(1)在空間四邊形O-ABC中,其對角線為OB,AC,M是OA的中點,G為△ABC的重心,用基向量表示向量(2)已知三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).①求以為邊的平行四邊形的面積;,且a分別與垂直,求向量a的坐標.;②若解析(1)連接AG并延長交BC于點D.利用三角形重心性質(zhì)化簡.(2)①利用數(shù)量積求出角A的余弦值,再根據(jù)面積公式計算.②設(shè)a=(x,y,z),利用向量數(shù)量積為0,解方程組求解.答案(1)如圖,連接AG并延長交BC于點D.所以D為BC的中點,所以.一、空間向量及其運算知識要點整合因為G為△ABC的重心,所以.又因為,所以.因為M為OA的中點,所以.所以.(2)①由題意,可得,所以,所以.所以以為邊的平行四邊形的面積為.一、空間向量及其運算知識要點整合②設(shè)a=(x,y,z),由題意,得解得或所以向量a的坐標為(1,1,1)或(-1,-1,-1).一、空間向量及其運算知識要點整合例2已知a=(5,3,1),b=(-2,t,解析根據(jù)a·b<0解不等式即可,但需要考慮a與b反向這種特殊情況.),若a與b的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍.答案由已知a·b=.因為a與b的夾角為純角,所以a·b<0,即,所以.若a與b的夾角為180°,則有a·b<0,但不滿足題意,此時存在λ<0,使a=λb,即(5,3,1)=,所以所以.故t的范圍是.一、空間向量及其運算知識要點整合二、空間向量與空間位置關(guān)系把向量作為工具來研究幾何,真正使幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)實現(xiàn)了有機結(jié)合,給立體幾何的研究帶來了極大的便利,使得不論證明平行還是垂直,只需進行簡單的運算就可解決問題.用向量的坐標解決空間位置關(guān)系時,可按以下三個步驟來解題:(1)建立空間直角坐標系,寫出相關(guān)點的坐標;(2)通過向量運算,研究點、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)向量結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.知識要點整合求解此類問題常用的技巧,是在正方體、直棱柱等較為規(guī)則的幾何體中建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,通過確定點的坐標,找到問題求解時涉及的向量的坐標,并將立體幾何問題中的幾何語言轉(zhuǎn)化成向量問題中對應(yīng)的語言,再借助向量的運算和性質(zhì)完成幾何問題的證明或計算.二、空間向量與空間位置關(guān)系知識要點整合例3已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD:(2)若點E,F分別在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,問點F在何處時,EF⊥AD？解析(1)建系,轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量垂直.(2)設(shè)出點F坐標,轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量數(shù)量積為0,解方程即可.二、空間向量與空間位置關(guān)系答案

(1)如圖所示,以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)OA=1,OA1=a,則A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,a),C(-1,0,0),D(0,-1,0),O1(-1,0,a).則=(1,-1,-a),=(0,0,-a).設(shè),

知識要點整合二、空間向量與空間位置關(guān)系分別是平面O1DC和平面ABCD的一個法向量.由得令,則,而故m·n=0,即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直,故平面O1DC⊥平面ABCD..(2)由(1)可知,,.設(shè),則,故點F的坐標為.所以.EF⊥AD,解得.故當F為BC的三等分點(靠近B)時,有EF⊥AD.知識要點整合二、空間向量與空間位置關(guān)系例4如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點,求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.解析(1)建系,轉(zhuǎn)化為證明答案(1)如圖所示,以A為坐標原點,AB,AD,AP在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)PA=AD=a,AB=b.,可得結(jié)論.(2)轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量數(shù)量積為0.知識要點整合二、空間向量與空間位置關(guān)系則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因為M,N分別為AB,PC的中點,所以.所以,.所以.又因為平面PAD,所以MN∥平面PAD.知識要點整合二、空間向量與空間位置關(guān)系(2)由(1)知P(0,0,a),C(b,a,0),,D(0,a,0).所以,,.設(shè)平面PMC的法向量為,則所以令,則.設(shè)平

面PDC的法向量為則所以令,則.因為,所以.所以平面PMC⊥平面PDC.知識要點整合三、空間向量與空間角空間角包括三種角,即線線角、線面角、二面角.利用空間向量求空間角,避免了利用傳統(tǒng)方法求角時先進行角的確定,然后求角的弊端,只需要準確求解直線的方向向量和平面的法向量,代入公式求角即可,大大體現(xiàn)了向量法的簡捷之處.主要考查角度有:(1)利用向量求異面直線所成的角(或其三角函數(shù)值):(2)利用向量求直線與平面所成的角(或其三角函數(shù)值);(3)利用向量求二面角的平面角(或其三角函數(shù)值).知識要點整合例5如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)求證:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的平面角的正弦值.三、空間向量與空間角解析(1)首先由已知條件推出B1C1⊥平面ABB1A1,從而推出B1C1⊥BE,然后結(jié)合已知條件,利用線面垂直的判定定理即可使問題得證.(2)以D為坐標原點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,然后求出相關(guān)點的坐標與相關(guān)向量,求得平面EBC與平面ECC1的法向量,最后利用向量的夾角公式求解即可.知識要點整合答案(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,(2)由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,|

|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).三、空間向量與空間角平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.知識要點整合三、空間向量與空間角設(shè)平面EBC的法向量為,則即所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的,則即所以可取m=(1,1,0).于是.所以,二面角B-EC-C1的平面角的正弦值為.法向量為知識要點整合三、空間向量與空間角例6如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.求:(1)異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解析建系,轉(zhuǎn)化為求方向向量與方向向量、方向向量與法向量的夾角問題求解.答案如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點分別為O,O1,連接OB,OO1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以O(shè)B,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.因為AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).知識要點整合三、空間向量與空間角(1)因為P為A1B1的中點,所以,從而,故.因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點,所以,因此.設(shè)n=(x,y,z)為平面即不妨取.設(shè)直線CC1與平面AQC1所,則,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.AQC1的一個法向量,則成的角為知識要點整合四、空間向量與空間距離

知識要點整合四、空間向量與空間距離例7如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的投影恰為AC的中點D,又知BA1⊥AC1.解析(1)取AB的中點E,則可以DE,DC,DA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,利用向量數(shù)量積可得AC1⊥CB,結(jié)合BA1⊥AC1,根據(jù)線面垂直判定定理可得證.(2)由可求出,點A1的坐標,進而求出平面A1AB的一個法向量n,再利用計算即可.(1)求證:AC1⊥平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距離.知識要點整合四、空間向量與空間距離答案(1)如圖,取AB的中點E,因為D為AC的中點,則DE∥BC.因為BC⊥AC,所以DE⊥AC.又A1D⊥平面ABC,則以DE,DC,DA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系,則A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),,,,由,知AC1⊥CB.又BA1⊥AC1,CB∩BA1=B,從而AC1⊥平面A1BC.知識要點整合四、空間向量與空間距離(2)由,結(jié)合圖得.設(shè)平面A1AB的法向量為,又,則取z=1,則,易證得CC1∥平面A1AB,所以CC1到平面A1AB的距離.則CC1到平面A1AB的距離為C1到平面A1AB的距離,因為,知識要點整合四、空間向量與空間距離例8

如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=(1)求證:CD⊥AB;(2)若點M為線段BC的中點,求點M到平面ACD的距離;(3)在線段BC上是否存在點N,使得AN與平面ACD所成的角為60？若存在,求出的值;若不,AB⊥BC.如圖(2)所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如圖(3)).存在,請說明理由.知識要點整合四、空間向量與空間距離解析(1)利用已知數(shù)量關(guān)系及勾股定理逆定理可知CD⊥BD.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知CD⊥平面ABD,從而CD⊥AB.(2)以點D為原點,建立空間直角坐標系,求出平面ACD的一個法向量n,利用計算即可.(3)假設(shè)在線段BC上存在,點N滿足題意,設(shè),考慮根的情況即可.方程答案(1)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=,AB⊥