自動控制原理

第二節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義及求取二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其動態(tài)響應(yīng)

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)S域內(nèi)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)傳遞函數(shù)輸出拉氏變換一、傳遞函數(shù)的定義及求取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與系統(tǒng)輸入量拉氏變換之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=例

求圖示RLC電路的傳遞函數(shù)。+-uruc+-CLRi解：輸出量：輸入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根據(jù)基爾霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏變換：RCsUc(s)+

LCs2Uc

(s)

+

Uc

(s)=Ur(s)傳遞函數(shù)為:G

(s)=1LCs2+

RCs

+

1Uc

(s)Ur(s)=第二節(jié)傳遞函數(shù)對微分方程的一般表達式進行拉氏變換得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為第二節(jié)傳遞函數(shù)(a0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm

)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an傳遞函數(shù)性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)。（3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量S的有理分式。（4）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動過程。將傳遞函數(shù)中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即G(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：n>=mK0—為放大系數(shù)S=S1,S2···,Sn—傳遞函數(shù)的極點S=Z1,Z2···,Zm—傳遞函數(shù)的零點傳遞函數(shù)分母多項式就是相應(yīng)微分方程的特征多項式，傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根。第二節(jié)傳遞函數(shù)一般可將自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看作由若干個典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對系統(tǒng)性能的了解。二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其動態(tài)響應(yīng)第二節(jié)傳遞函數(shù)C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例環(huán)節(jié)系數(shù)拉氏變換:比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):1．比例環(huán)節(jié)第二節(jié)傳遞函數(shù)微分方程:K比例環(huán)節(jié)方框圖KR(S)C(S)特點:輸出不失真,不延遲,成比例地R(s)C(s)G(s)==K復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化.K=-R1R2比例環(huán)節(jié)實例(a)-∞++urR1ucR2第二節(jié)傳遞函數(shù)由運算放大器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)(b)線性電位器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)傳動齒輪構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)2．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—時間常數(shù)—比例系數(shù)式中KT拉氏變換：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=慣性環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)1+Ts1單位階躍信號作用下的響應(yīng):R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反變換得:c(t)=K(1–e)tT-第二節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線第二節(jié)傳遞函數(shù)特點:輸出量不能瞬時完成與輸入量完全一致的變化.第二節(jié)傳遞函數(shù)-∞++R1R0urucC慣性環(huán)節(jié)實例(a)運算放大器構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC電路構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)R+-u(t)LuL(t)1/R(L/R)S

+1G(s)=–R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—積分時間常數(shù)3．積分環(huán)節(jié)第二節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：拉氏變換：積分環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)曲線第二節(jié)傳遞函數(shù)輸出量與輸入量對時間的積分成正比，具有滯后作用和記憶功能.特點:積分環(huán)節(jié)實例(a)第二節(jié)傳遞函數(shù)由運算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)電機構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)+-UdMθSKG(s)=4．微分環(huán)節(jié)R(S)C(S)Ts理想微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型：—微分時間常數(shù)微分環(huán)節(jié)方框圖第二節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)函數(shù)：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)單位階躍響應(yīng)曲線第二節(jié)傳遞函數(shù)寬度為零、幅值無窮大的理想脈沖實際中是不可能實現(xiàn)的，實際的物理裝置中常用近似理想微分環(huán)節(jié)。G(s)=RCs(a)近似理想微分環(huán)節(jié)實例-Δ∞++RucCur第二節(jié)傳遞函數(shù)運算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)+-uc+-CRur(b)RC電路構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)RCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts實用微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng):第二節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線

C(s)TsTs+1=1s=1s+

1Tc(t)=etT-特點:輸出量反映了輸入量的變化率，而不反映輸入量本身的大小.采用運算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1ucC1R2ur-Δ∞++第二節(jié)傳遞函數(shù)由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)單位階躍響應(yīng)曲線第二節(jié)傳遞函數(shù)5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數(shù)—阻尼比ζT傳遞函數(shù)：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—無阻尼自然振蕩頻率振蕩環(huán)節(jié)方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第二節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線第二節(jié)傳遞函數(shù)1

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環(huán)節(jié)的實例：第二節(jié)傳遞函數(shù)（1）彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)

（2）他激直流電動機

（3）RLC電路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=R(s)C(s)G(s)=