專練10 四邊形中比值問題-2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項高分突破訓(xùn)練（教師版含解析）

專練10四邊形中比值問題

1.在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將ABCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處.

⑴如圖1,若BC=2BA,求Z.CBE的度數(shù)；

(2)如圖2,當AB=5,且AF?FD=10時，求BC的長;

⑶如圖3,延長EF,與ZABF的角平分線交于點M,BM交AD于點N,當NF=AN+FD時,

求黑出的值.

DL

【答案】⑴解：??,矩形ABCD,

AZ.A=90°,AD//BC

由折疊的性質(zhì)可知BF=BC=2AB,ZCBE=|zCBF,

???ZAFB=30°,

，ZFBC=ZAFB=30°,

???ZCBE=15°

(2)解：由題意可得zA=zD=90°,

ZAFB+Z.DFE=90°,

△FED+ZDFE=90°

JZAFB=ZDEF

???AFAB-AEDF

?AFAB

??———,

DEDF

???EF=CE=3,

由勾股定理得DF=5/32-22=V5，

/.AF=/=2A/5,

BC=AD=AF+FD=3V5;

(3)解：過點N作NG1BF于點G.

???ZNGF=zA=90°

又丁ZBFA=ZNFG

JANFG?ABFA.

?.?NG-=—FG=—NF.

ABFABF

NF=AN+FD,即NF=LAD=LBC="F

222

?NGFGNF1

ABFABF2

又,；BM平分ZABF,NG1BF,ZA=90°,

，NG=AN,

,NG=AN=%AB,

2

.FG_BF-BG_BC-AB_1

**FA-AN+NF--AB+-BC-2

22

整理得：^=1.

DC5

2.如圖1,將直角三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三

角板的一邊交邊CD于點F,另一邊交CB的延長線于點G。

(2)如圖2,移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否

仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,將(2)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B,其他條件不變，若

AB=3,BC=6,則案=。

【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AZD=ZDAB=ZABG=90°,ED二BE,

VZDEF+ZBEF=90°,

ZGEF=90°,

???ZGEB+ZBEF=90°,

AZDEF=ZGEB,

/.RtAFED=RtAGEB(ASA),

?\EF=EG；

(2)成立，證明如下：

如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I,貝IJEH=EI,ZHEI=90°,

BHC

VZGEH+ZHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

Z.ZIEF=ZGEH,

ARtAFEIgRsGEH(ASA),

AEF=EG；

(3)2

【解析】(3)如圖，過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為M、N,則NMEN=90。,

AD

——Y

???EM〃AB,EN〃AD,

AACEN^ACAD,ACEM^ACAB,

?NECEEMCE

ADCAABCA

.NE_EM

**AD-AB'

.NEAD6

?■—=—=—=Nn,

EMAB3

ZNEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

AZGEM=ZFEN,

丁ZGME=ZFNE=90°,

AAGME^AFNE,

.EFNEo

GEEM

3.如圖，△ABC中，BA=BC,CO_LAB于點O,AO=4,BO=6。

D13

(1)求BC,AC的長。

(2)若點D是射線OB上的一個動點，作DELAC于點E,連結(jié)0E。

①當點D在線段0B上時，若△AOE是以A0為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的0D的長。

②設(shè)DE交直線BC于點F,連結(jié)OF,CD,若SAOBF：SAOCF=1：4,則CD的長為多少？(直接寫出結(jié)果)

【答案】⑴解：VAB=OA+BO=4+6=10,

，BC=AB=10,

VCO1AB,

OC=VBC2-OB2=V102-62=8,

AC=VOC2+OA2=V82+42=4V5

⑵解：①i)如圖，當OA=OE=4時，過0作ON，AC于N,

VDEIAC,

AON//DE,

AOA：OD=AN：NE=1,

.,.OD=ON=4；

ii）當0A=EA=4時，如圖,

在^AOC和^ADE中，

4A=ZA

4Aoe=ZAED=90°

.AO=AE

AAOC^AADE(AAS),

，AD=AC=4Z，

OD=AD-OA=4V5-4.

②i)當D在線段OB上時，如圖，過B作BGJ_EF于G,

,/SAOBF：SAOCF=1：4,

ABF：CF=1:4,

.,.BF，CB=U,

33

VEF±AC,BG±AC,

；.BG〃CE,

.".ZA=ZDBG,ZACB=ZGBF,

VAB=BC,

AZA=ZACB,

???NDBG=NGBF,

...△DBF為等腰三角形，

??.BD=BF=—,

3

1nA

A0D=0B-BD=6~=-，

33

CD=VOC2+OD2=J82+⑸之=

i)當D在線段OB的延長線上時，如圖，過B作BGLEF于G,

同理得BF：CF=l:4,

；.BF=2,

同理得△DBF為等腰三角形，

；.BD=BF=2,

在RtACOD中，CD=VOC2+OD2=y/82+(6+2)2=8a.

4.某數(shù)學(xué)課外興趣小組成員在研究下面三個看聯(lián)索的問題，請你幫助他們解決:

圖i圖3

(I)如圖I,矩形ABCD中，AB=8,BC=6,將矩形對折，使得點B、點D重疊，折痕為EF,過點F作

AB的垂線交AB于點G,求EF的長;

(2)如圖2,矩形ABCD中，AB=a,BC=b，點E,F分別在AB,DC上，點G,H分別在AD,BC上且

EF1GH,求黑的值;

(3)如圖3,四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AM_LDN,點M,N分別在邊BC,

AB上，求捐的值.

【答案】⑴解：???四邊形ABCD是矩形,

???ZA=ZABC=ZC=90°,AB〃CD,AD=BC=6,

/.NADB+NABD=90。,BD=VAB24-AD2=10,

?；FG_LAB于G,

/.ZFGE=90°,FG=BC=6,

AZFGA=ZA

???翻折，AEF±BD,.??NADB+/AEF=180°,

又?.?NFEG+NAEF=180。，

/.ZFEG=ZBDA,又T/FGE=NA,

???△EFGsaDBA,.,?黑=黑，代入數(shù)據(jù)：

DUrb

案=!，解得EF=￡,

1Uo乙

(2)解：如圖，過點G作GMLCB于M,過點E作ENLCD于點N

?.?四邊形ABCD是矩形，

/.ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB〃CD,AD〃BC,

VGM1BC,EN1CD,

???GM=CD=AB=a,EN=AD=BC=b,

VEF±GH,ZBCD=90°,

JZEFC+ZGHC=180°,ZDFE+ZEFC=180°,

AZEFN=ZGHC,又YNENF=NGMH=90。，

/.△EFN^AGHM,

?EFNEb

..----=-----=—,

GHMGa

(3)解：如圖，過點D作EFJ_BC,交BC的延長線于F,過點A作AELEF,連接AC,

VZABC=90°,AE1EF,EF±BC,

J四邊形ABFE是矩形，

AZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=8,

???AD=AB,BC=CD,AC=AC,

/.AACD^AACB(SSS),/.ZADC=ZABC=90°,

???ZADE+ZCDF=90°,且NADE+NEAD=90。，

AZEAD=ZCDF,且NE=NF=90。，AAADE^ADCF,

.CDCFDF1

??,

ADDEAE2

???AE=2DF,DE=2CF,

■:DC2=CF2+DF2,:.16=CF2+(8-2CF)2

；.CF=4(不合題意舍去),CF=y,

.?.BF=BC+CF=y=AE,

5.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,/BCD=90。，AD=6,BC=3,DE_LAB于E,AC交

DE于F.

⑴若Z.DAB=60°,求CD的值.

(2)若CD=4,求黑的值.

FC

⑶若CD=6,過A點作AM//CD交CE的延長線于M,求鬻的值.

【答案】（D解：如圖1，過B點作BH_LAD于H,

/.ZBHD=90°.

AD//BC,ZBCD=90°,

:.ZCDH=90°,

???四邊形BCDH為矩形，

/.HD=BC=3,AH=AD-HD=3.

vZDAB=60°,

???BH=AHtan60°=3V3,

.?.CD=BH=3V3

(2)解：vzAHB=Z.AED=90°,Z.HAB=zEAD

.*.△AHBAED,

AB_AH

??AD-AE'

???AB?AE=AH-AD=18.

延長DE、CB交于點G,如圖2,

G13C

圖2

,:AH=3,AE-AB=18,四邊形BCDH是矩形,

則有BH=CD=4,AB=VAH2+BH2=5，

A「1818187

?**AE=~~=~~~，EB=r5~—?二.

AB555

vAD//GC,

???△AEDBEG,

ADAE

—=—,

BGEB

618

??—=—,

BG7

BG=-,

3

7o16

33

vAD//GC,

AFDCFG,

.AF_AD_6_9

“?一而一亙一3?

3

(3)解：延長AB、DC交于點N,如圖3.

VAD//BC,

NBCNAD,

?NCBC

??~~~=",

NDAD

:.__N_C____3一1

??NC+6-6-2'

解得NC=6，

???DN=12,

AAN=A/AD2+DN2=6A/5,

ncADDN6x1212西

:.DE=-------=—T=-=--,

AN6755

???AE=VAD2-DE2=，

IT1UANTA17H/F6752475

:.EN=AN-AE=6V5——=—^―

AE1

A—=",

EN4

VAM//CD,

???△AEMNEC,

ME_AE_1

CE-NE-4

6.在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、AD邊上一點，NDFC=2NFCE.

(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形,/DFC=60°,BE=4,貝UAF=

(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形，NA=120。，NDFC=90。，BE=4,求處的值.

AE

(3)如圖3,若四邊形ABCD是矩形，點E是AB的中點，CE=12,CF=13,求怔的值.

AE

【答案】(D4V3-4

(2)解：過E作EGJ_BC,如圖1：

VZDFC=90°,NDFC=2NFCE,

，/FCE=/BCE=45。，

：/A=120。，

；.NB=60。，

/.BG=2,EG=2V3

GC=EG=2V3

；.BC=CD=AB=AD=2+2A/3

DF=-AD=1+V3

2

AF=1+V3

,AE=AB-BE=2+2V3-4=2V3-2

?AF=一百=2+B

AE2后22

(3)解：延長FE交CB延長線于點M,如圖2：

在^AFE與4BME中，

ZEBM=ZEAF=90°

{EB=AE

ZBEM=zAEF

.??AAFE^ABME(ASA),

???BM=AF,ME=EF,

VZDFC=2ZFCE,

???CE是NFCB的角平分線，

/.CM=CF=13,

在RtAMEC中，ME=VMC2-CE2=/132-122=5,

VZEMB=ZEMB,NEBM=NEBC=90。，

AAEMB^AEMC,

AF_BM_ME_5

AEBECE12

【解析】解：(])?.?四邊形ABCD是正方形，NDFC=60。，

AZDCF=30°,

VZDFC=2ZFCE,

AZFCE=ZECB=30°,

???BC=4V3

???DF=4,

???AF=4V3-4

故答案為：4V—4

7.如圖，矩形ABCD中，已知AB=6.BC=8,點E是射線BC上的一個動點，連接AE并延長，交射線DC

于點F.將△ABE沿直線AE翻折，點B的對應(yīng)點為點B,延長AB，交直線CD于點M.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若點E為線段BC的中點，求證：AM=FM；

(2)如圖2,若點B恰好落在對角線AC上，求零的值;

⑶若S=1，求線段AM的長.

【答案】(1)證明：???四邊形ABCD為矩形，

AAB//CD,

AZF=ZBAF,

由折疊可知：ZBAF=ZMAF,

AZF=ZMAF,

???AM=FM.

(2)解：由(1)可知△ACF是等腰三角形，AC二CF,

在RSABC中，VAB=6,BC=8,

:.AC=VAB2+BC2=V62+82=10

ACF=AC=10,

VAB/7CF,

/.△ABE^AFCE,

..?—BE=—AB=—6=—3

CECF105

(3)解：①當點E在線段BC上時，如圖，AB，的延長線交CD于點M,

D

由AB〃CF可得：aABEsaFCE,

.ABBE3刖63

??,L?J———

CFCE2CF2

/.CF=4,

由(I)可知AM=FM.

設(shè)DM=x,則MC=6-x,則AM=FM=10-x,

在RSADM中，AM2=AD2+DM2,即(10-x)2=82+x2

解得：x=|

則AM=10-x=10-|=y

②當點E在BC的延長線上時，如圖，

由AB〃CF可得：△ABE^AFCE

?MDDE.O°J

..—=—=~,即Mn一=一

CFCE2CF2

ACF=4,

則DF=6-4=2,

設(shè)DM=x,則AM=FM=2+x,

在RtZkADM中，AM2=AD2+DM2,即(2+x)2=82+x2

解得：x=15,

則AM=2+x=17

綜上所述：AM的長為羨或17.

8.看圖:

(1)(探究證明)：某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究,

提出下列問題，請你給出證明.

如圖1,矩形ABCD中，EF±GH,EF分別交AB,CD于點E,F,GH分別交AD,BC于點G,H.求證：

EF_AD

GHAB；

(2)(結(jié)論應(yīng)用)：如圖2,在滿足(1)的條件下，又AMLBN,點M,N分別在邊BC,CD上，若亮=《，

Gn10

則黑的值為________；

AM

(3)(聯(lián)系拓展)：如圖3,四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AMXDN,點M,N分別

在邊BC,AB上，則器=________.

AM

【答案】(1)證明：過點A作AP〃EF,交CD于P,過點B作BQ〃GH,交AD于Q,如圖1,

圖1

???四邊形ABCD是矩形，

AAB/7DC,AD/ZBC.

???四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形,

/.AP=EF,GH=BQ.

又???GH_LEF,

AAPIBQ,

???ZQAT+ZAQT=90°.

?.?四邊形ABCD是矩形，

AZDAB=ZD=90°,

:.ZDAP+ZDPA=90°,

:.NAQT=NDPA.

AAPDA^AQAB,

.AP_AD

"BQ-AB

?,?-E-F=-A-D

GHAB

竭

喉

【解析】(2)如圖2,

圖2

VEF1GH,AM1BN,

???由⑴中的結(jié)論可得緊黑黑嗡

?BN_EF

??AM-GH

..EF_

?GH~10

?BN7

AM10

(3)過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R,交BC的延長線于S,如圖3,

RDS

圖3

則四邊形ABSR是平行四邊形.

ZABC=90°,

???平行四邊形ABSR是矩形,

AZR=ZS=90°,RS=AB=8,AR=BS.

VAM1DN,

工由⑴中的結(jié)論可得照=3

設(shè)SC=x,DS=y,則AR=BS=4+x,RD=8-y,

在RSCSD中，x2+y2=16①，

在RSARD中，（4+x）2+（8-y）2=64②，

_12

解由②、①組成的方程組得：｛“一專，｛x"~4（舍去）

V=—yu

J5

32

AAR=4+x=Y，

.DNAR4

>?----=—=-

AMAB5

(1)如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP,求黑的值；

DE

(2)如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F,求BF的長.

【答案】(1)解：如圖①中，取DE的中點M,連接PM.

.,.ZBAD=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP_LDE,/2=/3,/DAE=/DPE=90。,

在RSEPD中，VEM=MD,

???PM=EM=DM,

AZ3=ZMPD,

AZ1=Z3+ZMPD=2Z3,

VZADP=2Z3,

AZ1=ZADP,

VAD//BC,

AZADP=ZDPC,

AZ1=ZDPC,

VZMOP=ZC=90°,

/.△POM^ADCP,

,POCD82

PMPD123

?AO_2Po_2

"DE-2PM-3,

(2)解：如圖②中，過點P作GH〃BC交AB于G,交CD于H.則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG=x,貝I]BG

=4-x

???NEPG+NDPH=90。，ZDPH+ZPDH=90°,

???NEPG=NPDH,

/.△EGP^APHD,

.EG_PG_EP_4_1

—PH-DH-PD-12-3'

???PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,

在RtAPHD中，:PH2+DH2=PD2,

A(3x)2+(4+x)2=122,

解得：x=y(負值已經(jīng)舍棄)，

164

.?.BG=4-《=g，

在RSEGP中，GP=VEP2-EG2=Y，

VGHZ/BC,

AAEGP^AEBF,

?EGGP

??~，

EBBF

?—16—12

??工=工,

4BF

.?.BF=3.

10.如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結(jié)BP將BP繞點B順

時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,連結(jié)QP交BC于點E,QP延長線與邊AD交于點F.

⑴連結(jié)CQ,求證：AP=CQ；

(2)若AP=：AC,求CE:BC的值；

4

⑶求證：PF=EQ.

【答案】(1)解：:四邊形ABCD為正方形,

AAB=BC,ZABC=90°,

IBP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,

ABP=BQ,ZPBQ=90°,

/.ZABC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC,

AZABP=ZCBQ,

在^APB和^CQB中，

AB=BC

{Z.ABP=ZCBQ,

BP=QB

/.△APB^ACQB(SAS),

AAP=CQ.

(2)設(shè)AP=x,貝!JAC=4x,PC=3x,由(1)知CQ=AP=x,

△ABC為等腰直角三角形，；.BC='AC=2或x,

在RSPCQ中，由勾股定理有：PQ=7PC2+CQ2=V9x2+xz=VlOx.

且4PBQ為等腰直角三角形，

二BQ=YPQ=V5x,

又NBCQ=NBAP=45。，NBQE=45。，

；./BCQ=/BQE=45。，且NCBQ=/CBQ,

/.△BQE^ABCQ,

???煞溫，代入數(shù)據(jù)：亳=莪,

/.BE=也x,/.CE=BC-BE=越x,

44

3、歷

CE:BC=、=m>

2V28

故答案為：!.

O

(3)在CE上截取CG,并使CG=FA,如圖所示：

?：NFAP二NGCQ二45。，

且由⑴知AP=CQ,且截取CG二FA,

故有△PFA^AQGC(SAS),

；?PF=QG,ZPFA=ZCGQ,

又：ZDFP=18O°-ZPFA,ZQGE=180°-ZCGQ,

???NDFP=NQGE,

VDAnBC,

.\ZDFP=ZCEQ,

:.ZQGE=ZCEQ,

...△QGE為等腰三角形，

.?.GQ=QE,

故PF=QE.

II.已知：如圖①，將一塊45。角的直角三角板DEF與正方形ABCD的一角重合，連接AF,CE，點M是

CE的中點，連接DM.

到①圖②

（1）請你猜想AF與DM的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖②，把正方形ABCD繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<90°）.

①AF與DM的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由：（溫馨提示：延長DM

到點N,使MN=DM,連接CN）

②求證：AFIDM；

③若旋轉(zhuǎn)角a=45。，且NEDM=2NMDC,求黑的值.（可不寫過程，直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）AF=2DM

⑵①AF=2DM仍然成立，

理由如下：延長DM到點N,使MN=DM,連接CN,

???M是CE中點，

；.CM=EM

又NCMN=/EMD,

/.△MNC^AMDE

；.CN=DE=DF,/MNC=NMDE

???CN〃DE,

又AD〃BC

AZNCB=ZEDA

/.△ADF^ADCN

AAF=DN

AAF=2DM

?VAADF^ADCN

AZNDC=ZFAD,

VZCDA=90°,

???ZNDC+ZNDA=90°

???ZFAD+ZNDA=90°

???AF_LDM

③;a=45°,

:.ZEDC=90°-45°=45°

'/ZEDM=2ZMDC,

2

AZEDM=-ZEDC=30°,

3

:.ZAFD=30°

過A點作AG±FD的