2021屆人教a版 平面向量 單元測(cè)試 (一)

平面向量

一、單選題

1.若非零向量昆5,滿足|陽(yáng)=乎出|,且(萬(wàn)-5),(3萬(wàn)+25),則萬(wàn)與B的夾角為

()

兀萬(wàn)3兀

A.-B.—C.—D.乃

424

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)向量方與B的夾角為a根據(jù)向量的垂直和向量的數(shù)量積，以及向量的夾角公式計(jì)算

即可.

【詳解】

解：設(shè)向量方與5的夾角為仇

?.?國(guó)|=半出|，

不妨設(shè)151=3m,則|?|=2\l2m,

V(a-b)A.(3a+2b),

：.(a-b)-(3a+2b)=0,

.*.3|5|2一2出/-a-b=O,

:,a-h=6m2，

cab6m272

cos0=-----=------1=—=——，

|a|-|^|3m-2yJ2m2

QOWOWTT，

：.0=-.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的垂直，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2.如果不,當(dāng)是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有

向量的一組基底的是（）

A.不與不+當(dāng)B.4一2當(dāng)與不+2互

C.4+瓦與不一&D.4一2瓦與—4+2號(hào)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線定理求解即可.

【詳解】

2=1

對(duì)A項(xiàng)，設(shè)召+瓦=丸不，則（八，無(wú)解

,、fA=1

對(duì)B項(xiàng)，設(shè)及一范=幾（4+羽），則〈一，無(wú)解

/、fZ=1

對(duì)c項(xiàng)，設(shè)耳+⑥=九（H一號(hào)），則，，無(wú)解

1=-Z

對(duì)D項(xiàng)，e,-2e2^-（-e,+2e2）,所以兩向量為共線向量

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了基底的概念及辨析，屬于基礎(chǔ)題.

3.在AABC中，|福卜|前1=3,1通+北卜而一祝則通.第=（）.

99

A.3B.—3C.—D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由W+而T=3|通—?！?，且|通|=|4亍|=3得通=2,即可求出結(jié)果.

【詳解】

由題意得：|通+/『=3］?！ァ?，展開(kāi)得：2、（荏2+/2）=8通.而，

__________Q

又因?yàn)閨而|=|*|=3,所以可得：ABAC^-,

___________9

所以ABC4=—A8AC=—

2

故選O.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知向量:屋，對(duì)任意比及，恒有日"；|，則（）

A.（0）=-a*eB.（a）=-a.eC.a_eD.|fl|=|e|'

【答案】A

【解析】

本題考查向量的數(shù)量積，模的運(yùn)算，二次不等式的性質(zhì)及分析推理能力.

因?yàn)閷?duì)任意t€R,恒有I五+蟾|2|益+3],等價(jià)于代+t即22|五+司2,即

22222整理得：■一

|a|+2ta-e+t\e\>|a|+2a-e+\e\,.12+20.3）t2d-e—

回220對(duì)任意tCR恒成立，則/=40春）2+4同2（2港3+回2）WO,整理得：

（a-e）2+2（a-e）|e|2+|e[4<0.即伍?3+同40；所以&,G+同2=0,即同2=

—a-e.

故選A

5.正六邊形ABC。斯中，令福=辦，旃=6，P是△COE內(nèi)含邊界的動(dòng)點(diǎn)（如

圖），AP=xa+yb,則*+）’的最大值是（）

E_______D

A.1B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由而=x￡+yB可得一!一而=一匚￡+二一坂，然后再利用三點(diǎn)共線，數(shù)形結(jié)合可

x+yx+yx+y

以求出x+y的最大值.

【詳解】

解：???AP=xa+yb>

x+yx+yx+y

令40=」一A戶，則有一通+工一后.

x+yx+yx+y

xy.

又------+-----=1,

x+yx+y

-Q,B,F三點(diǎn)共線.

:.x+y=^-當(dāng)|AP|達(dá)到最大為|AO|時(shí)，AGXB/L.??點(diǎn)A到線段BF的最短

IAQI

距離為AG,即|福|恰好達(dá)到最小為AG.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量共線定理，是中檔題,解題時(shí)，構(gòu)建三點(diǎn)共線位置關(guān)系是本題的關(guān)鍵.

6.已知圓。是AABC外接圓，其半徑為1,且通+/=2〃,A3=1,則與.麗=

A.B.3C.>/3D.2邪>

【答案】B

【解析】

因?yàn)檐?/=2而,所以點(diǎn)C是叼的中點(diǎn)，即的是圓〃的直徑,又因?yàn)锳6=L

圓的半徑為工，所以ZACB=30°，且4G垂），則CACB=|C4|.|CB|COS/ACB=3.

選B.

l<x<2

7.已知在平面直角坐標(biāo)系x。)，上的區(qū)域。由不等式組｛y?2給定.若M(x,y)為

x<2y

。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),則z=0Z/A/的最大值為()

A.-5B.-1C.1D.0

【答案】C

【解析】

試題分析：作出區(qū)域D：

顯然平移％：y=-2x到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(2,2)時(shí)取得最大值為：2用燧=2x2+2—5=1；

故選C.

考點(diǎn)：1.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；2.線性規(guī)劃.

8.已知向量@=(2,1),5=(3,X),且￡_L萬(wàn)，則X的值為

3

A.-6B.6D

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量垂直的充要條件可得：2x3+lx4=0,從而可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)橄蛄炕?（2,1）出=（3,2）,且

所以由向量垂直的充要條件可得：2x3+lx4=0,

解得4=一6,即；I的值為一6,故選A.

【點(diǎn)睛】

利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，

利用芯力一々,=。解答；（2）兩向量垂直，利用玉々+乂乂=。解答.

9.已知:=（1,1）,B=（O,—2）,且乙一/；與G+B的夾角為120°,貝！U=（）

A.-1+73B.-2C.-l±>/3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

計(jì)算出履-〃與的坐標(biāo)與模，根據(jù)履-內(nèi)與￡+五的夾角為120。建立等式，即可求

出實(shí)數(shù)A:的值.

【詳解】

,.-5=（1,1）,6=（0,-2）,.,.奶—5=攵（1,1）-（0,-2）=化％+2）,a+b=（1,-1）,

:.\ka-b\^仕+2）2,忖+方卜"+（_1）2=血,

(ka-b)\a+b)=(k,k+2)\l,-l)=k-k-2=-2,后一B與￡+5的夾角為120。，

(ka-b\(a+b\_J_______2______

產(chǎn)而可，即亍忘布于

化簡(jiǎn)并整理，得々2+2%—2=0,解得&=-1士

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的夾角求參數(shù)，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解

能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.若向量a,b滿足同=咽=6,且必(1+5)則乙b的夾角為()

71_71-2萬(wàn)—5萬(wàn)

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】

因?yàn)榉?卜+6),所以小,+6)=0,即無(wú)5+后=|訓(xùn).cos〈萬(wàn),5〉+時(shí)=0,所以

1-2

_1—|2也A/3—ri5萬(wàn)

cos〈第力+同=-4-^=--,又〈方力〉GO,不，所以2與b的夾角為T，故

''\a\h\26

選D.

點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是

利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，

可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)

角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決.列出方程組求解未知數(shù).

11.如圖，點(diǎn)O是線段8c的中點(diǎn)，BC=6,且|通+求卜|麗一而|，貝！)|礪卜

).

A.6B.2月C.3D.|

【答案】C

【解析】

試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)0是線段BC的中點(diǎn)，所以荏+衣=2而，又因?yàn)?/p>

\AB+AC\^AB-AC\,所以2|而卜|覺(jué)|=6,則|碼=3：故選C.

考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算.

12.如圖，45是的。。的直徑，且半徑為1,點(diǎn)C、。是半圓弧48上的兩個(gè)等三分點(diǎn),

則向量而在向量而上的投影等于（）

A36石.

A.—B1t.Cr.----1

222

【答案】D

【解析】

【分析】

求得而與巨的夾角和IAD|的大小，套用公式即可得到本題答案.

【詳解】

由題，得NC4O=N84D=30°，

連接8。，易得NA￡>8=90°，

在用AABO中，AB=2,所以AO=G，

3

所以向量而在向量再上的投影=1汨Icosl50'=Gx

2

故選：。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量萬(wàn)在方方向上的投影公式的應(yīng)用.

二、填空題

13.已知向量a與日的夾角為60°,且同=1,|2”司=2百，則網(wǎng)=,

【答案】4

【解析】

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積公式可得=g問(wèn)，對(duì)|2￡+0=2百，兩邊平方，得

到關(guān)于代的方程，解方程即可得結(jié)果.

詳解：印反一司=26,，4充一4無(wú)5+斤=12,

,向量a與坂的夾角為60，,d4=5網(wǎng)，

.?.4一2問(wèn)+時(shí)=12,解得同=4,故答案為4.

點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公

式有兩種形式，一是￡4=琲回6,二是7萬(wàn)=中2+乂乂，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方

面：（1）求向量的夾角,（此時(shí)￡石往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影,

__ab_____

a在加上的投影是|了|：（3）向量垂直則a.B=0;⑷求向量加〃石的模（平

方后需求.

14.已知向量Z=（2,l）］=（l,—2）,貝!|（￡+24￡=

【答案】5

【解析】

試題分析：因?yàn)閍+25=(4,-3),所以(a+25)-a=5.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積.

15.平面向量五■環(huán)共線，且兩兩所成的角相等，若而卜著Ei,則口+3+

c\=?

【答案】1

【解析】因向量不共線，故可設(shè)三個(gè)向量的始點(diǎn)為。，則由題設(shè)三個(gè)向量?jī)蓛上嗟?/p>

可知每?jī)蓚€(gè)向量的夾角均為120。，則a?3=2x2x（-}=—2,3?3=2工=2x1x

（——）■———1,所以（a+b+=4+4+1+2a?b+2a?c+2b,c=9-4—4=1,

即M+B+可=1,應(yīng)填答案1。

16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（g,cos2。）在角a的終邊上，點(diǎn)。卜in?。,—1）在

角0的終邊上，且而?而=—；.則sin（a+3）=.

-而

【答案】一記

【解析】

試題分析：利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，平方關(guān)系求出的三角函數(shù)值，進(jìn)而求出點(diǎn)p和

Q的坐標(biāo)，由三角函數(shù)定義求出角〃和b三角函數(shù)值，代入兩角和的正弦公式求解.

---------111,2.1

：,/OP?OQ--AmsinZg-cos2q=-萬(wàn)\cos-^=—9sm~q

143.八3廂,Vio

\P(12,23),Q1)Asina=—,cosa-二一，sinZ?=------,cosb二-------，

3551010

?.4Vio30/3啊_Vio

\sin(〃+/?)"inacosb+cosasin〃=一?

51051010

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

三、解答題

17.已知向量Z=(sine,-2)與力=(l,cos。)互相垂直，其中角。是第三象限的角.

1+sin?！ㄒ籹in。5也

(1)求------------J----------的值

1-sinV1+sin

(2)求25吊％05。+??2。的值.

【答案】(1)-4(2)1

【解析】

【分析】

1+sin。代一sin。..斗

利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出tan"對(duì)于(1)式:把------------J----------化為

1—sin。\l+sin^

1(14-sin^)(1'+-sin[1一sin6)(1-sin6).C

、丁?—*7./-JI.忐.夕然后利用sine+cos2e=I開(kāi)方，再

y(l-sm6)(1+sin3)y(1+sm6)(1—sin0)

由cos9<0去絕對(duì)值求解即可；

對(duì)于⑵式:利用sin20+cos28=1,JC2sin^cos04-cos2夕化為

2sin^cos0+cos20

sin2+cos2<9

然后分子分母同除以cos20，得到關(guān)于tan3的表達(dá)式即可求解.

【詳解】

因?yàn)?,九所以73=0,即sine—2cose=0,則tan6=2.

1+sin。1-sin^

(1)1-sin。Ml+sin。

(l+sin6)(l+sine)(l-sin^)(l-sin/9)

(1-sin6)(1+sin。)(l+sin6)(l-sin。)

1+sin。1-sin。

|cos0\|cos0\

?二。是第三象限的角，，。）56<0,

l+sin。/1-sin^_1+sin^l-sin。

1-sin^v1+sin6?一cos。一cos6

2sin6

=-2tan=-4

一cosB

⑵2sin^cos^+cos20

_2sin夕cos6+cos?0

sin2+cos20

2tan6+l

tan20+1

2x2+1

-22+1

=1

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系和平面向量垂直的坐標(biāo)表示;化簡(jiǎn)求值的原則是繁化簡(jiǎn);

靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

18.設(shè)向量萬(wàn),1滿足向=M=1,且附—2同=g.

（1）求方與5的夾角；

（2）求惋+3目的大小.

【答案】（1）j（2）V19

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的公式，即可計(jì)算出cos。=L,得到萬(wàn)與5的夾

2

角；

（2）根據(jù)向量的模的平方等于向量的平方，可得|25+34=汁2萬(wàn)+3日2，化簡(jiǎn)即可得

到答案

【詳解】

解：（1）設(shè)萬(wàn)與B的夾角為夕由已知得（32—25『=（J7）2=7,即

9同2-127-5+4w『=7,因此9+4—12cos￡=7,于是cos6=；,故6=?,即￡

與5的夾角為。.

（2）|2汗+3W=萬(wàn)+3W2

=,4同2+12必5+9時(shí)=^4+12x1+9

=V19.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量模的公式和向量的夾角公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

19.已知A（一面,O）,B“J,O）,動(dòng)點(diǎn)P滿足網(wǎng)+|網(wǎng)=4.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1,0）作直線L與曲線。交于M、N兩點(diǎn)，若加?麗=-3,求直線L

的方程；

（3）設(shè)T為曲線。在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，曲線。在T處的切線與軸分別交于點(diǎn)

E、F,求AOEF面積的最小值.

2

【答案】（1）二+V=1；（2）x+y_l=O或x-y-l=O；（3）2.

4

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)橢圓的定義即得結(jié)論；（2）易得當(dāng)直線/的斜率不存在不合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/的方程，并聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量

的坐標(biāo)運(yùn)算求得直線/的斜率，從而求得直線方程；（3）設(shè)切線的方程為丁=人:+8

（左＜0）,并聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)判別為0,得到上功的關(guān)系式，然后利用面積公式

結(jié)合基本不等式求得AOE廠面積的最小值.

試題解析：（1）由題可知，軌跡C是以A（-6,0）,8（百,0）為焦點(diǎn)的橢圓，

???動(dòng)點(diǎn)滿足?+|pq=4,.?.2a=4,即a=2,

b—a2—c2—1.

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為—+/=1.

4

(2)解法1當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，OM-ON=一，不合

224

題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/:y=Z(x—1),代入曲線C的方程得：

(1+4后2)x2-Sk2x+4(k2-Y)=0,

822A(L2_1)

設(shè)A/(X］，M),N(X2，y2)，則：Xl+X2=,2=,2

1i^TK1?^TK

22+2

OMON=xix2+yxy2=xxx2+^(x,-l)(x2-l)=(l+/c)X|X2-Y。+x2)^

_%2_4_3

-1+4公—S'

解得:Z=±1

故所求的直線/的方程為x+y—1=0或x—y—1=0；

解法2當(dāng)直線/為x軸時(shí)，M(-2,O)2V(2,O),OMON^-4,不合題意；

當(dāng)直線/不為x軸時(shí)，設(shè)過(guò)(1,0)的直線/：x=Ay+\,代入曲線C的方程得

(4+22)y2+2Ay-3=0

-22-3

設(shè)M(X］，M),N(X2，y2)，則以+%=^^?，必％

OMON=x［x2+y%=(1++丸(%+%)+1=I，，%=-7

4+43

解得：4=±1

故所求的直線/的方程為x+y—l=0或x—y—1=0；

(3)設(shè)切線y=(A<0),代入曲線C的方程?+V=i得：

(1+4/)x2+Skbx+4(〃-1)=0

由△=()得，〃=4父+1,

h1k14*2+1

又有E(--,0),F(0,&)，所以S=:優(yōu)一。=一:竺產(chǎn)22,

k2b2k

當(dāng)％=—工時(shí)取所以AOER面積的最小值是2.

2

考點(diǎn)：1、橢圓的定義及方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【方法點(diǎn)睛】求圓錐曲線中的向量的數(shù)量積主要有兩種方法：(1)根據(jù)條件求出所涉及

到的向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解；(2)根據(jù)條件確定所涉及到的兩個(gè)

向量的模及它們的夾角，然后利用向量數(shù)量積的非坐標(biāo)形式求解.

20.在A4BC中，設(shè)。、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，記A4BC的面積為S,

且25=通?而.

(1)求角A的大小；

4

(2)若c=7,cosB=—,求。的值.

【答案】(1)-；(2)a=5

4

【解析】

【分析】

(1)由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得bcsinA=Z?ccosA,結(jié)合范圍

人￡(0,乃)，可求tanA=l,進(jìn)而可求A的值.

3

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin8=g,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求

sinC的值，由正弦定理可求得。的值.

【詳解】

解：(1)^2S=AB*AC>得匕csinA=6ccosA,

因?yàn)锳c(0,萬(wàn))，

所以tanA=1,

71

可得：A=—.

4

4

(2)MBC中，cosB=-,

所以sin8=±3.

5

7A

所以：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

a7

由正弦定理工=-J,得75=7萬(wàn)，解得a=5,

sinAsinC——

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,

兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,

屬于基礎(chǔ)題.

21.在平面直角坐標(biāo)系x。)'