1521分式的乘除（講練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重要考點(diǎn)(人教版)

15.2分式的乘除分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.注意：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計(jì)算結(jié)果，要通過約分，化為最簡分式或整式.題型1：分式的乘法1.計(jì)算。（1）?；解：原式=3xy?2z＝6xyz；（2）?解：原式＝?＝；（3）?解：原式＝＝?＝；【變式11】計(jì)算：（1）解：原式＝＝．（2）解：原式＝?＝．（3）．【分析】首先將分式的與分母分解因式進(jìn)而化簡求出答案．【解答】解：原式＝?＝a．【變式12】計(jì)算：（1）解：原式=．（2）計(jì)算：．【分析】原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝?＝﹣＝﹣．（3）計(jì)算：．【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方式把要求的式子進(jìn)行因式分解，再約分即可得出答案．【解答】解：＝?＝＝．【點(diǎn)評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握平方差公式和完全平方式是解題的關(guān)鍵．題型2：分式的除法2.計(jì)算：（1）÷解：原式＝?＝﹣；（2）÷解：原式＝×＝．（3）÷．解：原式＝?＝．【變式21】計(jì)算：（1）÷；解：原式＝＝﹣；（2）÷解：原式=＝．【變式22】計(jì)算：（1）；（2）（xy﹣x2）÷；（3）．（1）解：原式＝＝；（2）解：原式＝﹣x（x﹣y）＝﹣x?xy＝﹣x2y；（3）解：原式＝＝．分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.注意：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時應(yīng)先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體.如.題型3：分式的乘方3.計(jì)算：（）2的值是（）A．B．C． D．【分析】直接把分子分母分別乘方即可．【解答】解：（）2＝＝．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的乘方，就是把分子分母分別乘方即可．【變式31】下列計(jì)算正確的是（）A．x3?x3＝x9 B．x6÷x2＝x3 C． D．a(chǎn)2b﹣2ba2＝﹣a2b【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝x6，故A錯誤．（B）原式＝x4，故B錯誤．（C）原式＝，故C錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式32】下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【點(diǎn)撥】把四個選項(xiàng)先利用分式的乘方法則，將分子分母分別乘方，然后利用積與冪的乘法法則，積的乘方的運(yùn)算法則，積的乘方等于積中每一個因式分別乘方并把結(jié)果相乘，冪的乘方法則是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即可計(jì)算出結(jié)果，得到計(jì)算正確的選項(xiàng)． 【答案】C．【解析】解：A、，本選項(xiàng)錯誤；B、，本選項(xiàng)錯誤；C、，本選項(xiàng)正確；D、，本選項(xiàng)錯誤．所以計(jì)算結(jié)果正確的是C．【總結(jié)】此題考查了分式的乘方法則，考查了積的乘方及冪的乘方法則，完全平方公式的運(yùn)用，是一道基礎(chǔ)題．題型4：分式的乘除、乘方混合運(yùn)算4.計(jì)算；解：（1）＝＝；（2）（2x3y）2?xy；解：（2）（2x3y）2?xy＝4x6y2?xy＝2x7y3；（3）（）2?．【分析】先算乘方，然后再算乘法，進(jìn)行約分計(jì)算．【解答】解：原式＝＝．【變式41】計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）；（2）．【總結(jié)】（1）題中有除法和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，要特別注意符號的處理．（2）本題是乘除混合運(yùn)算，首先把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再用乘法運(yùn)算法則計(jì)算．【變式42】計(jì)算：(1)；(2)．【答案】解：(1)．(2)．題型5：分式乘除化簡求值5.先化簡，再求值，÷，其中m＝1．【分析】先把除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：÷＝?＝，當(dāng)m＝1時，原式＝＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查了分式的乘法、除法法則和求值，能正確根據(jù)分式的乘除法法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式51】已知A＝?（x﹣y）．（1）化簡A；（2）若x2﹣6xy+9y2＝0，求A的值．【分析】（1）直接利用分式的基本性質(zhì)化簡得出答案；（2）首先得出x，y之間的關(guān)系，進(jìn)而代入求出答案．【解答】解：（1）A＝?（x﹣y）＝?（x﹣y）＝；（2）∵x2﹣6xy+9y2＝0，∴（x﹣3y）2＝0，則x﹣3y＝0，故x＝3y，則A＝＝＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式52】（1）若A＝，化簡A；（2）若a滿足a2﹣a＝0，求A值．【分析】（1）根據(jù)分式的乘除法法則可將原式化為，再化簡即可．（2）由a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，得a＝0或a＝1，由二次根式有意義的條件可知a≠﹣2，1，所以將x＝0再代入a﹣2即可得答案．【解答】解：（1）A＝＝a﹣2；（2）∵a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，∴a＝0或a＝1，而要使得A有意義，則a+2≠0，a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≠0，a﹣1≠0，∴a≠﹣2，1，∴a＝0，將a＝0代入a﹣2，得A＝a﹣2＝0﹣2＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了分式的乘除和有意義的條件，關(guān)鍵是根據(jù)法則將A化簡求值．題型6：分式乘除規(guī)律問題6.給定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一個分式做除法，去除它后面一個分式得到的結(jié)果是；根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第6個分式．【分析】利用分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：﹣÷＝﹣，第五個分式為：﹣?（﹣）＝，第六個分式為：?（﹣）＝﹣，故答案為：﹣；﹣．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的乘法和除法，關(guān)鍵是掌握分式的乘法法則和除法法則．【變式61】給定一列分式：，﹣，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一個分式做除法，去除它后面一個分式得到的結(jié)果是；根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第9個分式．【分析】用后面項(xiàng)除以前面項(xiàng)求出結(jié)果，歸納總結(jié)得到第9個分式即可．【解答】解：給定一列分式：，﹣，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一個分式做除法，去除它后面一個分式得到的結(jié)果是﹣；根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第9個分式，故答案為：﹣；【點(diǎn)評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，做題時注意“除”與“除以”的區(qū)別．【變式62】觀察下面一列單項(xiàng)式：x，（1）計(jì)算這列單項(xiàng)式中，一個單項(xiàng)式與它前一項(xiàng)的商，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個單項(xiàng)式．【分析】（1）把一個單項(xiàng)式與它前一個單項(xiàng)式相除即可得出商的值；（2）根據(jù)規(guī)律即可得出第n個單項(xiàng)式的表達(dá)式．【解答】解：（1）∵＝﹣x；＝﹣x；…，∴從第二個單項(xiàng)式開始，每個單項(xiàng)式與它前一個單項(xiàng)式的商為﹣x；（2）∵通過觀察題意可得：n為奇數(shù)時，單項(xiàng)式為正數(shù)．x的指數(shù)為n時，﹣的指數(shù)為（n﹣1）．∴第n個單項(xiàng)式的表達(dá)式為（﹣）n﹣1xn．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的乘除法，熟知分式的乘法與除法法則是解答此題的關(guān)鍵．題型7：分式乘除實(shí)際問題7.老師在黑板上寫了一個代數(shù)式的正確計(jì)算結(jié)果，隨后用“黑板擦”遮住原代數(shù)式的一部分，如圖：﹣）÷＝．（1）求被“黑板擦”遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡；（2）原代數(shù)式的值能等于﹣1嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)加減和乘除的關(guān)系可得+，然后先算乘法，后算加法即可；（2）假設(shè)能等于﹣1可得方程＝﹣1，解出x的值，發(fā)現(xiàn)分式＝0，除數(shù)為零無意義，則原代數(shù)式的值不能等于﹣1．【解答】解：（1）由題意得：+，＝﹣，＝；（2）不能，假設(shè)能，則＝﹣1，x+2＝﹣（x﹣2），x+2＝﹣x+2，x＝0，當(dāng)x＝0時，分式＝0，除數(shù)為零無意義，則原代數(shù)式的值不能等于﹣1．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的乘除法，關(guān)鍵是掌握計(jì)算法則，注意除法中除數(shù)不能為零．【變式71】如圖，將長、寬分別為a、b的矩形硬紙片拼成一個“帶孔”的正方形，已知拼成的大正方形面積為49，中間的小正方形的面積為1．求的值．【分析】根據(jù)題意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根據(jù)完全平方公式求出a+b、ab，根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡，代入計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7，∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48，∴ab＝12，∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）××＝＝＝14．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則、完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式72】如圖，“優(yōu)選1號”水稻的實(shí)驗(yàn)田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分；“優(yōu)選2號”水稻的實(shí)驗(yàn)田是邊長為（a﹣1）m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的水稻都收了600kg．（1）優(yōu)選2號水稻的單位面積產(chǎn)量高；（2）“優(yōu)選2號”水稻的單位面積產(chǎn)量是“優(yōu)選1號”水稻的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【分析】（1）根據(jù)題意分別求出兩種水稻得單位產(chǎn)量，比較即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：“優(yōu)選1號”水稻單位面積為kg/m2；“優(yōu)選2號”水稻單位面積為kg/m2，∵﹣＝600×＝600×＜0，∴優(yōu)選2號水稻的單位面積產(chǎn)量高；（2）根據(jù)題意得：÷＝?（a+1）（a﹣1）＝，則“優(yōu)選2號”水稻的單位面積產(chǎn)量是“優(yōu)選1號”水稻的單位面積產(chǎn)量的倍．故答案為：（1）2【點(diǎn)評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型8：分式乘除新定義問題8.對于a，b，我們定義兩種運(yùn)算：a△b＝，a*b＝，則m△n÷2（m*n）＝．【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則以及分式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：∵a△b＝，a*b＝，∴m△n+2（m*n）＝÷2（）＝÷＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查分式的乘除運(yùn)算，解的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式81】正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，其規(guī)律是，則：（1）＝，（2）當(dāng)3*（x+1）＝1時．求x＝．【分析】（1）根據(jù)題意得：＝?（x+2），然后又分式的乘除法的性質(zhì)，即可求得答案；（2）根據(jù)題意即得分式方程：?＝1，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：＝?（x+2）＝；（2）根據(jù)題意得：?＝1，方程兩邊同乘以3（x+1）得：3（x+1）＝1，解得：x＝﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣是原分式方程的解．故答案為：（1），（2）．【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的求解方法以及分式的乘除法．此題屬于新定義題型，此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【變式82】定義新運(yùn)算：x*y＝，求a*b×[b*（﹣a）]．【分析】根據(jù)題意x*y＝，首先將原式轉(zhuǎn)化為乘法形式，進(jìn)而求出即可．【解答】解：∵x*y＝，∴a*b×[b*（﹣a）]＝×＝＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了新定義以及分式的乘法運(yùn)算，正確轉(zhuǎn)化運(yùn)算形式是解題關(guān)鍵．一、單選題1．計(jì)算1aA．a(chǎn) B．1a2 C．1 【答案】B【解析】【解答】解：1a故答案為：B．【分析】利用分式的乘除法則計(jì)算求解即可。2．計(jì)算(a4)·16?aA．a(chǎn)+4 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)+4 D．a(chǎn)4【答案】D【解析】【分析】先將分式的分子、分母根據(jù)平方差公式、完全平方公式分解因式，進(jìn)而可通過約分、化簡得出結(jié)果?！窘獯稹?a4)·16?=(a4)·(4?a)(4+a)=(a+4)=a4

故選D.

【點(diǎn)評】在完成此類化簡題時，應(yīng)先將分子、分母中能夠分解因式的部分進(jìn)行分解因式。有些需要先提取公因式，而有些則需要運(yùn)用公式法進(jìn)行分解因式。通過分解因式，把分子分母中能夠分解因式的部分，分解成乘積的形式，然后找到其中的公因式約去。3．化簡2xA． B． C． D．2（x+1）【答案】A【解析】【解答】解：原式=2故答案為：A.【分析】先將分式的除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再化簡即可。4．a(chǎn)2÷b·1b÷c·1c÷d·A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2b2c2d【答案】B【解析】【分析】先把除化為乘，再約分即可。

a2÷b·1b÷c·1c÷d·1d=a2·1b·1b·1c·1c·1d·5．老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡過程如圖所示：老師x2?2xx?1÷x21?x→甲接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】【解答】解：x=x=?=?=?x?2∴出現(xiàn)錯誤的是乙和?。还蚀鸢笧椋篋．

【分析】利用分式的除法運(yùn)算法則及計(jì)算步驟逐項(xiàng)判斷即可。6．下列計(jì)算結(jié)果正確的有（）①3xx2·x3x=1x；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【解答】解：①3xx②8a③aa④a÷b·1故答案為：C.【分析】分式的乘法：把分子的積作為分子，分母的積作為分母，并將結(jié)果化為最簡形式；分式的除法，先根據(jù)除以一個式子等于乘以這個式子的倒數(shù)將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，進(jìn)而根據(jù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算，據(jù)此分別計(jì)算出結(jié)果，再判斷即可得出答案.7．某數(shù)學(xué)老師模仿學(xué)生喜歡的《王牌對王牌》節(jié)目在課堂上設(shè)計(jì)了一個接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算得到結(jié)果，再將計(jì)算結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡．過程如圖所示，接力中，自己負(fù)責(zé)的那一步出現(xiàn)錯誤的是（）A．只有乙 B．只有丙 C．甲和丙 D．乙和丙【答案】A【解析】【解答】x=x=x=?x由以上可得，甲正確，乙錯誤，x2x?2·故答案為：A．【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算，進(jìn)行判斷即可.二、填空題8．計(jì)算：a2cb【答案】b【解析】【解答】解：a2cb9．x+1x?【答案】1【解析】【解答】x+1x?故答案為：1x+1【分析】將分式的分子分母能分解因式的分別分解因式，然后約分化為最簡形式即可。10．小明在進(jìn)行兩個多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時，不小心把乘以x+y2錯抄成乘以x2，結(jié)果得到(x2xy)，則正確的計(jì)算結(jié)果是【答案】x2y2【解析】【解答】解：∵不小心把乘以x+y2錯抄成乘以x2，結(jié)果得到(x2xy)，

∴(x2xy)÷x2=2xx?yx

∴正確的計(jì)算結(jié)果為：2xx?yx【分析】先根據(jù)一個因式等于積除以另一個因式，可求出這個因式；再列式，利用分式乘以分式的法則進(jìn)行計(jì)算，可得結(jié)果。11．計(jì)算分式①yx÷ba，②nm?m2n，③2a÷4a，④【答案】①【解析】【解答】解：①yx÷yx=yx?ab=aybx，結(jié)果是分式；②nm?2nm=12，結(jié)果不是分式；③2a÷4a=2a?a4=1故答案為：①．【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．12．計(jì)算xn+1÷（xy2）n?（﹣x4【答案】﹣x5y2n﹣4【解析】【解答】解：原式=xn+1÷（xny2n）?（﹣x4y4）=﹣xn+1?y2n故答案為：﹣x5y2n﹣4．【分析】根據(jù)分式的乘方，可得分式的乘除法，根據(jù)分式的乘除法，做乘法運(yùn)算時要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后約分．三、解答題13．計(jì)算：（1）2（2）x【答案】解：（1）原式=4y4x6+（2）原式=x?12x+1x?1【解析】【分析】（1）原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算加法運(yùn)算即可得到結(jié)果；（2）原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．14．若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2【答案】猜想：M＜N理由：M﹣N=a+1a+2﹣=a+1=?1a+2∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴?1a+2∴M﹣N＜0，∴M＜N；【解析】【分析】直接將a=3代入原式求出M，N的值即可；直接利用分式的加減以及乘除運(yùn)算法則，進(jìn)而合并求出即可．15．已知x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）且x是整數(shù)，求證：是整數(shù)．【答案】解：x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1），∴==x+1．又∵x是整數(shù)，∴x+1是整數(shù)．故是整數(shù)．【解析】分析：可將x3﹣x2﹣x+1因式分解，再進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，可求出的結(jié)果，然后根據(jù)條件x是整數(shù)，即可得證．四、綜合題16．計(jì)算