寒假作業(yè)14角中的動(dòng)態(tài)問題-2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)14角中的動(dòng)態(tài)問題一、常用解題方法動(dòng)角問題作為壓軸題，難度系數(shù)比較大，一般解題方法：①化動(dòng)為靜，分類畫圖；②轉(zhuǎn)化為常見角度計(jì)算題型.二、旋轉(zhuǎn)動(dòng)角問題一般采用三步解題技巧：①找：根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表：表示出目標(biāo)角度.常見類型如下：1)角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2)角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角速度×?xí)r間；3)角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度先變小后變大：變小：目標(biāo)角=起始角速度×?xí)r間變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間起始角③列：根據(jù)題意列方程求解.三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)．三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個(gè)特殊角的角度．1．將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），下列結(jié)論一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.∵，而和不一定相等，∴不一定成立，不符合題意；B.∵，而的值不固定，∴不一定成立，不符合題意；C.，即一定成立，符合題意；D.由題意得，而不一定成立，不符合題意.故選C．2．已知O是直線上的一點(diǎn)，，平分．如圖，與在直線的同側(cè)，我們探究一下與的數(shù)量關(guān)系：

(1)填表，當(dāng)取不同度數(shù)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出的度數(shù)，并填寫到下列表格中；20°35°…………(2)猜想，若，求的度數(shù)（用含有的式子表達(dá)），并說明理由．【解析】（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒?，所以，∴?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：40°，70°，；（2）解：因?yàn)椋?，因?yàn)槠椒郑?，∴?．如圖1，一直角三角尺的直角頂點(diǎn)在直線上，一邊在射線上，另一邊在直線的上方，將直角三角尺在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且平分，平分，如圖2．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，①求和的度數(shù)；②求的度數(shù)．(2)在直角三角尺旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)，若，則①求和的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②的度數(shù)是否發(fā)生變化，請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【解析】（1）①，由題意得，是直角三角形，，；②平分，，平分，，∴；（2）①當(dāng)時(shí)，，是直角三角形，，；當(dāng)時(shí)，，是直角三角形，，；②當(dāng)時(shí)，平分，，平分，，∴，∴的度數(shù)沒有發(fā)生變化；當(dāng)時(shí)，平分，，平分，，∴，∴的度數(shù)沒有發(fā)生變化．4．已知直線，O是上的一個(gè)定點(diǎn)．點(diǎn)A是直線下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作射線及的角平分線，點(diǎn)C與點(diǎn)A在直線的兩側(cè)，點(diǎn)D在線段的延長線上．(1)若，，在下圖中補(bǔ)全圖形，并求出的大?。?/p>

(2)射線是的角平分線；①如下圖，當(dāng)時(shí)，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②當(dāng)，且時(shí)，直接寫出的度數(shù)．

【解析】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示，

∵，是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①，理由如下，設(shè)，，

∵是的角平分線，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴；②設(shè)，，

∵，∴，∴，是的角平分線，∴，，∵是的角平分線，∴，即，解得，∴．5．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．(1)在圖1中，______．(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部，如圖2．若，求的度數(shù)．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若三角板在直線的上方，則與始終保持的數(shù)量關(guān)系是______．并請(qǐng)說明理由．【解析】（1）解：根據(jù)題意可得，，∵，且，∴，故答案為：．（2）解：∵，∴，∵，∵，∴，∴，解得，，∴，∴的度數(shù)為．（3）解：，理由如下，在旋轉(zhuǎn)過程中，若三角板在直線的上方，，，①如圖所示，在內(nèi)部，∵，則，，則，∴，∴；②如圖所示，在外部，∴，則，，則，∴，∴；綜上所述，，故答案為：．6．如圖1，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

(1)若，則__________．(2)當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長度是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出線段的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．(3)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，、分別平分和．類比以上發(fā)現(xiàn)的線段的規(guī)律，若，，求的度數(shù)．【解析】（1）解：，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，故答案為：22；（2）解：線段的長度不會(huì)發(fā)生變化；理由如下：∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴；（3）解：∵、分別平分和，∴，，∴．7．如圖，已知，射線繞點(diǎn)從位置開始，以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線繞點(diǎn)從位置開始，以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并且當(dāng)與成角時(shí)，與同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．則在旋轉(zhuǎn)的過程中，經(jīng)過秒，與的夾角是．

【答案】或【解析】設(shè)秒后，與的夾角是，如圖，

，∴，，∵，∴，即有，解得：，如圖，

∴，，∵，∴，即有，解得：，綜上可知：或，與的夾角是，故答案為：或．8．一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當(dāng)三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（從圖到圖）．設(shè)圖、圖中的的度數(shù)分別為，，度．

【答案】105【解析】如圖1：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；如圖2：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；∴；故答案為：105．9．已知，過頂點(diǎn)O作射線，且平分，平分．

(1)如圖，若在內(nèi)．①當(dāng)平分時(shí)，的度數(shù)為;②當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)嘉嘉說∶“若在內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)楹偷亩葦?shù)不能確定，所以的度數(shù)不能計(jì)算．”琪琪說∶“你說的不對(duì)，的度數(shù)能算到，且的度數(shù)不變．”請(qǐng)你判斷嘉嘉和琪琪誰的說法正確，并說明理由(3)若射線從出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于），請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【解析】（1）①∵，平分，∴，∵平分，∴；故答案為：；②∵，，∴．∴．∵平分，∴；（2）琪琪的說法正確，嘉嘉的說法不正確，理由如下：∵平分，平分，∴，，∴；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，①當(dāng)時(shí)，如圖，

∵平分，平分，∴．∵，，∴；②當(dāng)時(shí)，在的下方，如圖，

∵平分，平分，∴．∵，，∴.10．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可以用右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)來計(jì)算．如圖，數(shù)軸與數(shù)軸交于原點(diǎn)，且所夾銳角是．點(diǎn)，在數(shù)軸上，點(diǎn)，在數(shù)軸上．已知點(diǎn)是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，表示的數(shù)分別是，點(diǎn)，表示的數(shù)分別是．若點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為．請(qǐng)完成下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)，的距離相等時(shí)，______；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)，的距離相等時(shí)，______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍時(shí)，試求出，的值；(3)在（2）的條件下，若數(shù)軸以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫出第秒時(shí)，的度數(shù)．（用含的式子表示）【解析】（1）解：由題意，得：，解得：；，解得，故答案為：;（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)：，解得：；綜上：或；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：，解得：；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：，解得：；綜上：或；（3）設(shè)第秒時(shí)，數(shù)軸轉(zhuǎn)到了如圖所示的位置，點(diǎn)，點(diǎn)轉(zhuǎn)到，點(diǎn)轉(zhuǎn)到，

由圖可知：，；綜上：或．11．已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點(diǎn)O以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．①當(dāng)t=______秒時(shí)，平分；②試說明：當(dāng)t為何值時(shí)，？【解析】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案為：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案為：180；（2）解：①根據(jù)題意，得，即，解得．故答案為：6；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，∵，∴，解得；當(dāng)在的外部時(shí)，∵，∴，解得，綜上，t為或20時(shí)，12．已知，從的頂點(diǎn)引出一條射線，射線在的內(nèi)部，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成．

(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；(2)作射線，射線為的平分線，設(shè)．①如圖2，當(dāng)，若射線恰好平分，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）解：，理由如下：，，，又，，；（2）①恰好平分，，，為的平分線，，，，，，；②分情況討論：當(dāng)時(shí)，

，，為的平分線，，，；當(dāng)時(shí)，

，，為的平分線，，，；綜上所述，．13．已知，，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，求的值；(2)如圖2，當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會(huì)因的變化而變化？若不變化，請(qǐng)求出該定值；若變化，請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，．【解析】（1）解：因?yàn)槠椒?，平分，所以，．所以；?）解：的值是定值．根據(jù)題意，得：，則，．因?yàn)槠椒?，平分，所以，，所以；?）解：根據(jù)題意，得，所以，解得，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，．14．如圖1，已知繞點(diǎn)在的內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，平分，平分．

(1)如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)請(qǐng)判斷的大小是否隨的位置的變化發(fā)生改變？并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【解析】（1）解：如圖所示，，與OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不會(huì)隨的運(yùn)動(dòng)而改變大小，理由如下：平分，，平分，，，不會(huì)隨的運(yùn)動(dòng)而改變大?。?）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度數(shù)為或．15．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內(nèi)作射線、，且，，將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、A、在一條直線上時(shí)，______；(2)如圖2，若旋轉(zhuǎn)角為（），的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，求的值．【解析】（1）解：∵點(diǎn)、A、在一條直線上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：的度數(shù)不發(fā)生改變，且；∵旋轉(zhuǎn)角為，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，，，∵，，∴，，∴，∴．16．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起，．①若，則______；若，則_______；②猜想與的數(shù)量關(guān)系并驗(yàn)證．(2)如圖2，這是兩個(gè)同樣的直角三角尺銳角的頂點(diǎn)重合在一起，則與的數(shù)量關(guān)系為_______；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點(diǎn)重合在一起，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為：，；②猜想得（或與互補(bǔ)），理由：∵∴∴；故答案為：（2），理由如下：由于，故；故答案為：（3），理由：∵∴，即，∴．故答案為：17．已知：如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)．如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（）．下列說法正確的是（

）A．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，不存在的情況B．當(dāng)時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為20秒C．當(dāng)t值為36秒時(shí)，射線恰好平分D．當(dāng)時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為40秒【答案】C【解析】由題意知，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，即，解得秒，∴存在的情況；故A錯(cuò)誤，不符合題意；令，即，解得秒，令，即，解得秒，∴當(dāng)時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t不一定為20秒；故B、D錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴射線恰好平分，故C正確，符合題意.故選C．18．定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成1:2兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分線有兩條．如圖1，，則是的一條三分線．(1)如圖1，若，則；(2)如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①；②若以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，的值為．【解析】（1），，，故答案為：；（2）①如圖2，是的一條三分線，且，，，；故答案為：；②分兩種情況：如圖，當(dāng)是的三分線，且時(shí)，，，，；當(dāng)是的三分線，且時(shí)，，，.綜上所述，或．19．已知，是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點(diǎn)O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)時(shí)，求t的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴，由題意得：，∴，，∴；②由①知，，∵，∴，∵，，∴，把代入得：，解得，∴若，當(dāng)時(shí)，．20．在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，“卓越”小組準(zhǔn)備研究如下問題：如圖，為直尺的一條邊，四邊形為一正方形紙板（、、、均為直角）.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，小組成員小方把正方形的一條邊與重合放置，劉老師在與同學(xué)們交流研討時(shí)又做出了的平分線，交正方形的邊于點(diǎn)．則此時(shí)的度數(shù)為______；與的度數(shù)之間的關(guān)系為______．(2)【問題探究】受小方同學(xué)的啟發(fā)，小組成員小麗將正方形紙板按如圖②放置，若此時(shí)記的度數(shù)為，其他條件不變，請(qǐng)幫小麗同學(xué)探究：與的度數(shù)之間的關(guān)系是否發(fā)生改變，并說明理由．(3)【拓展延伸】組內(nèi)其他同學(xué)也都繼續(xù)探索，將正方形按如圖③放置，劉老師同樣做出了的平分線，請(qǐng)直接寫出與的度數(shù)之間的關(guān)系．【解析】（1）解：如圖，四邊形為正方形，，，平分，，；故答案為：，；（2）解：與的度數(shù)之間的關(guān)系沒有發(fā)生改變．理由如下：如圖，，，平分，，，即；（3）解：如圖，的平分線為，，，，，．21．綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)們自主探究角的三等分線．小明進(jìn)行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與射線重合時(shí)停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）解：∵，∴當(dāng)射線是射線的“友好線”時(shí)，．（2）解：∵，∴當(dāng)是的“友好線”時(shí)，，∴，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)