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2025屆北京市西城35中高一上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列命題中正確的是()A.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B.模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C.若和都是單位向量,則=D.兩個(gè)相等向量的模相等2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域?yàn)榈氖牵ǎ伲虎?;③;④A.①② B.②③C.①④ D.③④3.若都是銳角,且,,則的值是A. B.C. D.4.已知函數(shù),則的概率為A. B.C. D.5.已知,,,則的大小關(guān)系A(chǔ). B.C. D.6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則()A. B.C. D.7.函數(shù)(且)的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是()A. B.C. D.8.若,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.()A. B.3C.2 D.10.“,”是“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù),若,,,則,,的大小關(guān)系為_(kāi)__________.12.已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________13.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f()=____________.14.已知函數(shù),則______,若,則______.15.函數(shù)y=1-sin2x-2sinx的值域是______16.若命題“”為真命題,則的取值范圍是______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知集合,(1)若,求;(2)在①,②,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍18.已知函數(shù)的圖象在定義域(0,+∞)上連續(xù)不斷,若存在常數(shù)T>0,使得對(duì)于任意的x>0,恒成立,稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)P(T).(1)若滿(mǎn)足性質(zhì)P(2),且,求的值;(2)若,試說(shuō)明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)T1、T2,同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)P(T1)和P(T2);(3)若函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)P(T),求證:函數(shù)存在零點(diǎn).19.計(jì)算下列各式:(1);(2)20.計(jì)算下列各式的值:(1)(2)21.如圖所示,在直三棱柱中,,,,,點(diǎn)是中點(diǎn)()求證:平面()求直線(xiàn)與平面所成角的正切值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】考查所給的四個(gè)選項(xiàng):向量是可以平移的,則若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定分別重合,A說(shuō)法錯(cuò)誤;向量相等向量模相等,且方向相同,B說(shuō)法錯(cuò)誤;若和都是單位向量,但是兩向量方向不一致,則不滿(mǎn)足,C說(shuō)法錯(cuò)誤;兩個(gè)相等向量的模一定相等,D說(shuō)法正確.本題選擇D選項(xiàng).2、C【解析】根據(jù)奇偶性的定義依次判斷,并求函數(shù)的值域即可得答案.【詳解】對(duì)于①,是偶函數(shù),且值域?yàn)?;?duì)于②,是奇函數(shù),值域?yàn)椋粚?duì)于③,是偶函數(shù),值域?yàn)?;?duì)于④,偶函數(shù),且值域?yàn)?,所以符合題意的有①④故選:C.3、A【解析】由已知得,,故選A.考點(diǎn):兩角和的正弦公式4、B【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得:,當(dāng)時(shí),脫去符號(hào)可得:,解得:,此時(shí);當(dāng)時(shí),脫去符號(hào)可得:,解得:,此時(shí);據(jù)此可得:概率空間中的7個(gè)數(shù)中,大于1的5個(gè)數(shù)滿(mǎn)足題意,由古典概型公式可得,滿(mǎn)足題意的概率值:.本題選擇B選項(xiàng).5、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵0<a=0.71.3<1,b=30.2>1,c=log0.25<0,∴c<a<b故選D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題6、D【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值即可.【詳解】故選:D7、D【解析】由函數(shù)解析式知當(dāng)時(shí)無(wú)論參數(shù)取何值時(shí),圖象必過(guò)定點(diǎn)即知正確選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)解析式,知:當(dāng)時(shí),,即函數(shù)必過(guò),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn),根據(jù)解析式分析自變量取何值時(shí)函數(shù)值不隨參數(shù)變化而變化,此時(shí)所得即為函數(shù)的定點(diǎn).8、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A(yíng),因?yàn)椋?,故A錯(cuò)誤對(duì)于B,因?yàn)?,,故,故,故B錯(cuò)誤對(duì)于C,取,易得,故C錯(cuò)誤對(duì)于D,因?yàn)?,所以,故D正確故選:D9、D【解析】利用換底公式計(jì)算可得答案【詳解】故選:D10、A【解析】先求出函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心,從而就可以判斷.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),則,,所以“,”是“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)”的充分不必要條件故選:A二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,由于函數(shù)在單調(diào)遞增,所以,由于,所以因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù),所以,即故答案為:12、-4【解析】點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),所以.由,所以當(dāng)時(shí)有最小值-4.故答案為-4.13、【解析】由f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),可得,,再結(jié)合已知的解析式可得,然后結(jié)合已知可求出,從而可得當(dāng)時(shí),,進(jìn)而是結(jié)合前面的式子可求得答案【詳解】因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù),所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,且因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù),所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),,所以,即,所以,即,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,則,因?yàn)?,所以,得,因?yàn)?,所以,所以?dāng)時(shí),,所以,故答案為:14、①.15②.-3或【解析】根據(jù)分段函數(shù)直接由內(nèi)到外計(jì)算即可求,當(dāng)時(shí),分段討論即可求解.【詳解】,,時(shí),若,則,解得或(舍去),若,則,解得,綜上,或,故答案為:15;-3或【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的解析式,已知自變量求函數(shù)值,已知函數(shù)值求自變量,屬于容易題.15、[-2,2]【解析】利用正弦函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì),求得函數(shù)f(x)的值域,屬于基礎(chǔ)題【詳解】∵sinx∈[-1,1],∴函數(shù)y=1-sin2x-2sinx=-(sinx+1)2+2,故當(dāng)sinx=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為-4+2=-2,當(dāng)sinx=-1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值為2,故函數(shù)的值域?yàn)閇-2,2],故答案為[-2,2]【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題16、【解析】依題意可得恒成立,則,得到一元二次不等式,解得即可;【詳解】解:依題意可得,命題等價(jià)于恒成立,故只需要解得,即故答案為:三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】(1)分別求出集合和集合,求并集即可;(2)選①,根據(jù)集合和集合的位置在數(shù)軸上確定端點(diǎn)的關(guān)系,列出不等式組即可求解,選②,先求出,再根據(jù)條件在數(shù)軸確定端點(diǎn)位置關(guān)系列出不等式組即可求解,選③,得到,根據(jù)數(shù)軸端點(diǎn)位置關(guān)系列出不等式組即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以【小?wèn)2詳解】若選①:則滿(mǎn)足或,所以的取值范圍為或若選②:所以或,則滿(mǎn)足,所以的取值范圍為若選③:由題意得,則滿(mǎn)足所以的取值范圍為18、(1)0;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由滿(mǎn)足性質(zhì)可得恒成立,取可求,取可求,由此可求的值;(2)設(shè)滿(mǎn)足,利用零點(diǎn)存在定理證明關(guān)于的方程至少有兩個(gè)解,證明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù),同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)和;(3)分別討論,,時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性,由此完成證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闈M(mǎn)足性質(zhì),所以對(duì)于任意的x,恒成立.又因?yàn)?,所以,,由可得,所以,;【小?wèn)2詳解】若正數(shù)滿(mǎn)足,等價(jià)于,記,顯然,,因?yàn)?,所以,,?因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷,所以存,使得,因此,至少存在兩個(gè)不等的正數(shù),使得函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)和.【小問(wèn)3詳解】若,則1即為零點(diǎn);因?yàn)?,若,則,矛盾,故,若,則,,,可得.取即可使得,又因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在零點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在零點(diǎn),若,則由,可得,由,可得,由,可得.取即可使得,又因?yàn)榈膱D像連續(xù)不斷,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在零點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在零點(diǎn),綜上,函數(shù)存在零點(diǎn).【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題,有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義,這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念,對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí),所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.19、(1)-37(2)0【解析】(1)利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì),算出結(jié)果;(2)利用誘導(dǎo)公式算出三角函數(shù)值試題解析:(1)原式;(2),,所以原式20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】21、(1)見(jiàn)解析(2).【解析】(1)設(shè)BC1與CB1交于點(diǎn)O,連接OD,利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì),證明OD∥AC1,利用線(xiàn)面平行的判定,可得AC1∥平面CDB1(2)過(guò)D作DE⊥BC,連結(jié)B1E,則DE⊥平面BCC1B1,于是∠DB1E為直線(xiàn)DB1與平面BCC1B1所成的角.利用勾股定理求出DE,B1E,計(jì)算tan∠DB1E【詳解】(1)證明:設(shè)BC1與CB
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